孫東振 (廈門一中海滄分校 福建 廈門 361000)

關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)模型疑問引發(fā)的思考

孫東振
(廈門一中海滄分校 福建 廈門 361000)

由學(xué)生的一個(gè)疑問入手，簡要分析行星運(yùn)動(dòng)模型與雙星模型之間的關(guān)系.

日心參考系 質(zhì)心參考系 雙星模型

1 提出疑問

高中階段一般將行星繞恒星運(yùn)動(dòng)近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在講授“動(dòng)量守恒定律”這節(jié)課時(shí)， 有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問題：行星運(yùn)動(dòng)模型動(dòng)量不守恒，以地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)模型為例，如圖1所示，該運(yùn)動(dòng)是以地球和太陽之間的萬有引力作為向心力，而地球與太陽之間的萬有引力是一對(duì)相互作用的力，屬于內(nèi)力，若將其他星體對(duì)該系統(tǒng)的力忽略掉，那地球與太陽構(gòu)成的系統(tǒng)應(yīng)該符合動(dòng)量守恒定律．由圖1可以看出，地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，系統(tǒng)只有地球存在動(dòng)量且方向隨著圓周運(yùn)動(dòng)在不斷變化，很顯然動(dòng)量不守恒，那么到底問題出在哪兒呢？

圖1 地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)

2 問題分析與討論

對(duì)于上述問題，筆者起初也是有點(diǎn)迷惑，深入思考之后發(fā)現(xiàn)問題出在參考系的選取上．首先我們需要了解，在描述地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過程中，我們其實(shí)默認(rèn)選取了太陽的中心為參考系，即日心參考系O，而實(shí)質(zhì)上該參考系為非慣性系，變換一下參考系，選取日地系統(tǒng)的質(zhì)心參考系C(慣性系)，如圖2所示．

圖2 選取日地系統(tǒng)的質(zhì)心參考系

以太陽中心為參考系的日心參考系O相對(duì)于質(zhì)心參考系C的離心加速度為aM，則太陽受到的慣性力為MaM，物體受到的慣性力為maM，在日心參考系C中引入慣性力[1]，則有

d(mv)=(M+m)aMdt

(1)

其中v是地球在日心參考系中的速度，可以看出慣性力的存在是日心參考系動(dòng)量不守恒的原因，式(1)也可以看成是該參考系的動(dòng)量定理方程．但值得注意的是，雖然對(duì)于日心參考系來講系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，但是角動(dòng)量確實(shí)是守恒的，其原因在于該系統(tǒng)慣性力沒有力矩，也不做功．另外需要說明的是這里提到的慣性力指的是慣性離心力，在地球繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的理想模型里沒有考慮科氏力．

為了更簡單地為學(xué)生解釋，我們可以將日地系統(tǒng)看成雙星模型，即選該系統(tǒng)的質(zhì)心為參考系，如圖3所示.

圖3 雙星模型

則滿足

mω2r1=Mω2r2

(2)

v1=ωr1v2=ωr2

(3)

r1+r2=R

(4)

其中，m，M，r1，r2，v1，v2，分別是地球和太陽的質(zhì)量、軌道半徑和線速度.由式(2)～(4)可得

mv1=Mv2

(5)

(6)

式(5)說明在質(zhì)心參考系中動(dòng)量是守恒的，所以我們?cè)谶\(yùn)用動(dòng)量守恒定律時(shí)是需要考慮參考系的選擇問題的.

3 行星運(yùn)動(dòng)模型與雙星模型的關(guān)系

經(jīng)過以上的討論我們發(fā)現(xiàn)高中階段學(xué)習(xí)的雙星模型即選擇的是質(zhì)心參考系，那日地系統(tǒng)兩種參考系區(qū)別有多大呢，對(duì)于日心參考系，如圖4所示，地球利用其與太陽之間的萬有引力做向心力來做圓周運(yùn)動(dòng)，則對(duì)地球有

(7)

圖4 地球以萬有引力繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)

在質(zhì)心參考系中對(duì)m來分析，如圖3所示，應(yīng)用牛頓第二定律和萬有引力定律有

(8)

由(7)、(8)兩式有

(9)

又由式(6)可得

(10)

由于太陽的質(zhì)量約是地球質(zhì)量的33萬倍，則由(9)、(10)兩式可得

(11)

即對(duì)于日地系統(tǒng)來講，兩種參考是近似等價(jià)的.

4 結(jié)論

由此可以看出，在M?m情況下，以日心為參考系的行星模型可以看成是以質(zhì)心為參考系的雙星模型的特例，在特定條件下它們是可以相互轉(zhuǎn)化的．實(shí)際在太陽系八大行星中質(zhì)量最大的木星，其質(zhì)量也不足太陽質(zhì)量的千分之一，所以盡管日心參考系為非慣性系，但在太陽質(zhì)量遠(yuǎn)大于其他行星的情況下，我們也可以近似地將其簡化為慣性參考系來研究行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

1 高炳坤，謝鐵增.地球所受的一種易被忽視的慣性力.大學(xué)物理，1991，10(11)：46～47

2 李鐵.非慣性系中的動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒.電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004,33(5):624～626

2017-05-27)