劉凱倫

(山東省青島第二中學 山東 青島 266061)

學生創(chuàng)新園地

三維空間凸透鏡成像坐標定位法

劉凱倫

(山東省青島第二中學 山東 青島 266061)

通過深入探究空間點和線段的凸透鏡成像規(guī)律,概括總結創(chuàng)建出一新的成像方法“凸透鏡成像坐標定位法”．突破解決了傳統幾何光學“透鏡成像作圖法”所無法解決的一些難題，可精確定位每一像點在坐標系中的位置以及物體凸透鏡成像的形狀，畫出三維空間物體跨越焦平面時的立體發(fā)散圖像．舉例闡明了“凸透鏡成像坐標定位法”的作圖要點及注意事項.

凸透鏡成像作圖法 坐標定位法 坐標定位數據表

在幾何光學的學習中，當使用“透鏡成像作圖法”作圖時，往往會碰到兩類問題無法解決：

一是，物點的兩條特征光線接近平行時，無法確定像點的準確位置，圖像嚴重變形；

二是，構成物體的某一線段接近或跨越焦平面時，無法畫出它的光路圖，得不到物像．

我們的目的就是要找出凸透鏡成像更為有效的方法，解決上述難題．

1 建立凸透鏡成像的數學模型

1.1 空間點的凸透鏡成像坐標定位

首先，假設透鏡為理想透鏡．建立直角坐標系．

圖1 沒跨越焦平面線段的凸透鏡成像

討論通過S0的兩條特征光線:

由通過光心光線的基本性質，得

(1)

由平行于光軸光線的基本性質，得

(2)

解之得

(3)

(4)

則可以證明，必有

(5)

結論1：對空間任一物點，其對應的凸透鏡成像點由公式(3)、(4)、(5)唯一確定．

公式(3)、(4)、(5)被稱為凸透鏡成像坐標定位公式．

1.2 空間線段的凸透鏡成像坐標定位

1.2.1 如果線段S1S2沒跨越焦平面F，則其凸透鏡成像必為一線段．如圖1所示.

證明：在線段S1S2上任取一點S3(X3，Y3)，因S1S2，S3在一直線上，線段S1S3與線段S3S2斜率相等

代入公式(3)、(4)，整理，可得其斜率

代入公式(3)、(4)，可得其斜率

因為

所以

K1=K2

由數學定理：通過同一點的兩直線，如果它們斜率相等，則它們必重合．

圖2 跨越焦平面線段的凸透鏡成像

1.2.3 上述兩結論，同理也可推廣到空間直角坐標系．

結論2：對空間任一線段，第一，若它未跨越焦平面，其對應的凸透鏡成像仍為一線段；第二，若跨越焦平面，其凸透鏡成像便分裂、向兩端發(fā)散，變?yōu)槿栽谝恢本€上的兩射線．而且線段與焦平面交點的像，便是此直線的無窮遠“端點”．

此結論被稱為凸透鏡成像坐標定位法則．

2 凸透鏡成像坐標定位法作圖

2.1 由“凸透鏡成像坐標定位公式”可逐點描繪平面圖形的精確成像

【例1】畫出一不跨越界面F的圓的凸透鏡成像圖，如圖3所示.

圖3 不跨越焦平面F的圓的凸透鏡成像圖

(1)建立坐標系，定焦距f=100；圓的直徑為80．

(2)用八邊形來逼近此圓，設定拐點坐標．若需要更精細的部位，可多增設幾個點；

(3)根據結論1公式(3)、(4)計算出對應像點的坐標．建立數據表(略)．

(4)逐點描繪出圖像．

若使用“Excel”或“幾何畫板”等工具，則數據表和圖像都可自動生成，非常方便、快捷．

2.2 由凸透鏡成像坐標定位法結論2描繪跨越界面f的圖形的精確成像

【例2】精確畫出一跨越界面F的三角形的凸透鏡成像，如圖4所示.

圖4 跨越焦平面的平面三角形凸透鏡成像圖

(1)設定f=60，a，d，g的坐標如表1所示．

表1 跨越焦平面的平面三角形凸透鏡成像數據表

(2)由結論1公式(3)、(4)，計算出像點a′，d′，g′的坐標．列出數據表．

(3)由結論2第一條，因線段ag沒跨越界線F，可直接連接a′，g′； 由結論2第二條，因線段ad，gd均跨越界線F，故先用虛線連接a′，d′和g′，d′，再反向向兩端畫延長線．即得完整圖形．

2.3 結合凸透鏡成像坐標定位法兩個結論描繪跨越焦平面F的空間立體圖形的精確成像

在空間直角坐標系O-XYZ中，置透鏡于OYZ平面，光心與原點O重合、光軸與OX軸重合．

【例3】空間三棱錐凸透鏡坐標定位成像(Z坐標：45°，1∶2)如圖5所示.

圖5 空間三棱錐凸透鏡坐標定位成像圖

表2 空間三棱錐凸透鏡坐標定位成像數據表

從數據表可以看出C點已越過焦平面．所以在作圖時，A′，B′，D′之間可直接連接． 但由結論2，所有連接像點C′的線段A′C′，B′C′，D′C′都必須向兩端反向延長至無窮．

3 “凸透鏡成像坐標定位法”作圖要點

由上節(jié)所述，可概括總結得出坐標定位作圖法的作圖要點：

(1)建立坐標系，定焦距f；

(2)在坐標系左側畫出物體圖形，設定拐點坐標．應避免將拐點設在焦平面F上；

(3) 根據結論1公式(3)、(4)，計算出對應像點的坐標，建立數據表；

(4) 根據結論2第一條，先畫沒跨越焦平面F的線段的像線，可直接連接其像點；根據結論2第二條，對跨越焦平面F的線段，應先用虛線連接其像點，再反向向兩端畫出延長線．即得物體完整的凸透鏡成像圖．

4 結論

(1) 本文簡要地對“凸透鏡成像坐標定位法”的創(chuàng)建進行了證明．重點突破傳統“透鏡成像作圖法”存在的問題．精確確定了每一像點的位置，并畫出跨焦平面物體的發(fā)散光路圖．

(2) 舉例闡明了“凸透鏡成像坐標定位法”的作圖方法、要點及注意事項．

(3) 本文所建立的“凸透鏡成像坐標定位法” 可廣泛應用于幾何光學教學、研究，以及教學儀器的設計制作等．

(4) 此方法同樣適用于其他各類透鏡、反射鏡等．

1 李曉彤.幾何光學·像差·光學設計(第三版).杭州：浙江大學出版社，2014.2～90

2 王家偉.巧用數學法解凸透鏡成像問題.中學物理,2013,31(8):89

3 劉凱倫.凸透鏡成像的數學模型——凸透鏡數據成像基本原理的探究.第32屆青島市科技創(chuàng)新成果大賽.

CoordinateLocationMethodofConvexLensImaginginThreeDimensionalSpace

Liu Kailun
(Qingdao second middle school,Shandong Qingdao,Shandong 266061)

In this paper, we deeply explore the law of convex lens imaging of spatial point and line segment, a new imaging method "convex lens imaging coordinate positioning method" is summarized. It breaks through some difficult problems that cannot be solved by traditional geometrical optics " The drawing method of lens imaging ",The position of each image point in the coordinate system and the shape of Convex lens imaging can be accurately located, Draw the solid divergence image of the three-dimensional object across the focal plane。The drawing key points and matters needing attention of "convex lens imaging coordinate positioning method" are illustrated by examples

the drawing method of convex lens imaging；coordinate positioning method；coordinate positioning data table

2017-04-12)