江蘇蘇州滄浪新城第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 劉 瑋 施惠芳

劉 瑋江蘇省特級教師，中學(xué)高級教師，南京師范大學(xué)教育博士，江蘇省人民教育家培養(yǎng)工程培養(yǎng)對象，江蘇省人民政府教育督導(dǎo)團(tuán)專家組成員。

多年來致力于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理論與實(shí)踐研究、學(xué)校管理秩序的優(yōu)化和學(xué)校內(nèi)涵發(fā)展，主持多項(xiàng)省級以上教育科學(xué)研究課題。出版?zhèn)€人專著《小學(xué)數(shù)學(xué)理想課堂構(gòu)建與探究》《小學(xué)生多元發(fā)展與和諧教育研究》。

問題結(jié)構(gòu)化：從“木匠數(shù)學(xué)”走向“理性數(shù)學(xué)”

江蘇蘇州滄浪新城第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 劉 瑋 施惠芳

學(xué)生理性思維品質(zhì)、批判質(zhì)疑意識和探索創(chuàng)新精神是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)的應(yīng)然追求。以問題結(jié)構(gòu)化為引領(lǐng)，讓學(xué)生完善結(jié)構(gòu)型認(rèn)知，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，深化批判式思維，涵泳理性精神是實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)有效的方法和路徑。

深度教學(xué) 問題結(jié)構(gòu) 木匠數(shù)學(xué) 理性數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教育家項(xiàng)武義先生曾用形象的比喻解釋中外古代數(shù)學(xué)教育的差異，他認(rèn)為中國的古代數(shù)學(xué)教育多是“木匠數(shù)學(xué)”，而古希臘的數(shù)學(xué)教育則是“理性數(shù)學(xué)”?！澳窘硵?shù)學(xué)”多表現(xiàn)為實(shí)用性、實(shí)踐性數(shù)學(xué)知識、思想與方法，而“理性數(shù)學(xué)”則多表征為縝密的推理、概括與抽象，更突出數(shù)學(xué)的理性精神。《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》指出，要讓學(xué)生擁有科學(xué)精神，必須注重培育學(xué)生的理性思維、批判質(zhì)疑和勇于探究等品質(zhì)。那么，如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)從“木匠數(shù)學(xué)”走向“理性數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的理性精神呢？走出單一直覺與經(jīng)驗(yàn)教學(xué)的窠臼，以結(jié)構(gòu)化的問題貫串教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生完善結(jié)構(gòu)型認(rèn)知，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，啟迪批判式思維，涵泳理性精神，實(shí)施深度教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生理性思維發(fā)展的有效途徑，也是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)要求的行動應(yīng)答。

一、“由點(diǎn)及面”地問，讓學(xué)生完善結(jié)構(gòu)型認(rèn)知

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，知識編排常常散布于不同年段，學(xué)生習(xí)得的知識點(diǎn)往往以“散裝碎片”的方式貯存。唯有及時地盤點(diǎn)清理“信息碎片”，才能把相對獨(dú)立的知識點(diǎn)串成線、集成塊、連成網(wǎng)，從而促使學(xué)生經(jīng)歷知識形成、層遞與發(fā)展的整個過程，形成結(jié)構(gòu)性數(shù)學(xué)思考的方法體系。

“平面圖形的面積總復(fù)習(xí)”是六年級下學(xué)期的一節(jié)復(fù)習(xí)課。我們常見的教學(xué)設(shè)計往往是這樣的：通過提問，集中呈現(xiàn)小學(xué)階段學(xué)過的常見圖形，以及面積計算公式，然后讓學(xué)生在小組中進(jìn)行交流，匯報面積計算公式的推導(dǎo)過程，從而溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。反思這樣的設(shè)計，總感覺老師“牽”得太多，放得不夠。教師雖然有構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的意識，但學(xué)生沒有經(jīng)歷自主建構(gòu)過程。特級教師賁友林曾執(zhí)教過這節(jié)課，其獨(dú)特的教學(xué)設(shè)計讓筆者至今仍記憶猶新。課始，賁老師就拋出問題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些平面圖形的面積計算方法，請思考我們?yōu)槭裁匆葘W(xué)習(xí)長方形的面積計算呢？”這樣的問題，可能是以往教師研讀教材時思考的問題，賁老師將此移植到數(shù)學(xué)課堂中，以這一思維含量極高的大問題組織學(xué)生討論，推動學(xué)生自主地把各個平面圖形的面積計算與長方形聯(lián)系起來，然后讓學(xué)生在討論的基礎(chǔ)上用畫圖的方式外化他們的想法，并在交流之后，將學(xué)生繪制的其中一種平面圖形面積計算關(guān)系圖旋轉(zhuǎn)180°，以此形象地呈現(xiàn)平面圖形面積計算的“知識樹”。

縱觀賁老師的教學(xué)，以“一問”引領(lǐng)“一課”，用一個核心問題串起平面圖形面積計算的整片知識，學(xué)生在“由點(diǎn)及面”的大問題引領(lǐng)下，自主建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，在整體化的思考中促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的達(dá)成。

二、“由表及里”地問，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程

新知識來源于哪里，其與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識有著怎樣的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系？學(xué)生現(xiàn)在在哪里，要到哪兒去？這是兒童與新知相遇前老師必須厘清的問題。唯有從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引領(lǐng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，溝通新舊知識之間的關(guān)聯(lián)，去分析、探究、概括，在追根溯源的“數(shù)學(xué)化”過程中經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，學(xué)生的思維才有發(fā)展的可能。

《用數(shù)對確定位置》是蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊的內(nèi)容，主要包括規(guī)則的認(rèn)識和用數(shù)對確定位置的方法，學(xué)生學(xué)起來比較簡單。通常教學(xué)的重點(diǎn)會放在對數(shù)對的認(rèn)識與應(yīng)用上，即比較關(guān)注“是什么”的教學(xué)，但這樣的教學(xué)未免顯得淺嘗輒止。其實(shí)，看似簡單的數(shù)學(xué)知識往往背后蘊(yùn)含著深刻的數(shù)理。我們應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生突破表層，由表及里，實(shí)現(xiàn)對所學(xué)知識的深度理解。

課始，教師出示班級學(xué)生座位圖并提問：“這是班級的場景圖，想知道班長在哪里嗎？”順勢出示：班長的位置是第2排第5個。學(xué)生開始按照自己的理解與經(jīng)驗(yàn)尋找，老師組織學(xué)生討論自己的答案和采用的方法，結(jié)果出現(xiàn)了四種不同的答案，引發(fā)了認(rèn)知沖突。老師繼而追問：“為什么同一個位置，大家卻找到了不同的人？”“每個人都有自己找班長的方法，但班長只有一個，那該怎么辦？”引發(fā)學(xué)生思考與討論，進(jìn)而明確要“統(tǒng)一規(guī)則”。教師出示規(guī)則后再次讓學(xué)生“找班長”，對比提問：“剛才同一個位置大家找到了不同的班長，現(xiàn)在同一個位置全班都找到了同一個班長，這是什么原因？”

以上片段，老師在執(zhí)教這一內(nèi)容時，教學(xué)的重點(diǎn)從規(guī)則內(nèi)容的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)至對規(guī)則的必要性與價值的體會上，即由關(guān)注“是什么”轉(zhuǎn)為關(guān)注“為什么”。圍繞“班長的位置在哪里”這一主問題展開，制造沖突，引發(fā)統(tǒng)一認(rèn)識，并通過對比反思體會規(guī)則的價值，直入數(shù)學(xué)知識本源。

課中，教師又將班級場景圖抽象成點(diǎn)子圖，要求學(xué)生用第幾列第幾行的方式表示其中的某個點(diǎn)。接著提出要求：限時用第幾行第幾列的方法記錄1～8號學(xué)生的位置。然后組織交流，進(jìn)而追問：“大家都會記卻記不完是什么原因？怎樣能又快又準(zhǔn)確地確定位置？”學(xué)生自主創(chuàng)編記錄方法，進(jìn)而提煉，最后達(dá)成共識。這一片段，圍繞“怎樣才能又快又準(zhǔn)地確定位置”這一主問題，學(xué)生展開自主學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，學(xué)生在創(chuàng)造的過程中不斷接近數(shù)對知識的本質(zhì)。此時，學(xué)生完全是探索者和發(fā)現(xiàn)者，不僅完整經(jīng)歷了數(shù)對的認(rèn)識、理解與表達(dá)的過程，更深切地體會到了數(shù)對確定位置的簡潔與準(zhǔn)確。

三、“由疑到證”地問，讓學(xué)生養(yǎng)成批判式思維

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程來看，數(shù)學(xué)思維的展開一般要經(jīng)過兩個層級：第一個層級是基于數(shù)學(xué)信息的分析，產(chǎn)生沖動、困惑；第二個層級是依托信息之間的關(guān)系，思考解決問題的方法和策略?！皩W(xué)起于思，思源于疑”，疑惑或問題容易引起人的探究反射，當(dāng)一個人對某一事物與現(xiàn)象產(chǎn)生疑惑的時候，思維的火花已經(jīng)悄然生發(fā)。

蘇教版數(shù)學(xué)四年級中有這樣一道例題：四年級一班有22個男生，平均身高140厘米；18個女生，平均身高142厘米。全班學(xué)生的平均身高是多少厘米？這其實(shí)是一道求加上權(quán)平均數(shù)的題目，一些學(xué)生會認(rèn)為只要用男生的平均身高加上女生的平均身高除以2來計算即可，這種錯誤認(rèn)識在加權(quán)平均數(shù)的計算中非常普遍。對此，教師在教學(xué)時不是僅從正面強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生對照“平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)”進(jìn)行列式計算，而是設(shè)計這樣的情境。如下圖，鼓勵學(xué)生多角度思考，用不同的方法算出平均每

組有多少個算珠，接著引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同方法的比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“（6+4）÷2”最為便捷。在之后解答“全班學(xué)生平均身高是多少厘米”這一問題時，學(xué)生出現(xiàn)了兩種不同的解法：（1）（140×22+142×18）÷（22+18）=140.9（厘米），（2）（140+142）÷2=141（厘米）。 兩個不同的答案，學(xué)生議論紛紛。教師抓住機(jī)會組織雙方展開辯論。一組用“平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)”證明自己的思考正確，一組認(rèn)為“把男、女生兩個平均數(shù)相加再除以2，就是全班學(xué)生的平均身高”，并以剛才“求平均每組算珠的個數(shù)”反詰，此時教師沒有做出評判，順勢說：“剛才大家都認(rèn)為那是最便捷的方法，請觀察這兩幅圖，它們一樣嗎？”學(xué)生盯著那幅圖展開積極思考。一陣沉默后，學(xué)生終于“炸開”了：剛才兩種顏色算珠的組數(shù)是一樣的，都是3組，所以可以這樣算，但現(xiàn)在男女生人數(shù)是不一樣的，所以不能這樣計算。如果男女生人數(shù)相等就可以了。此時，教師對原題進(jìn)行修改，女生由18人改成22人，再要求學(xué)生用自己的方法計算，結(jié)果列式不同，得數(shù)相同。此時學(xué)生領(lǐng)悟其中原委，只有當(dāng)份數(shù)相同時才能用平均數(shù)求平均數(shù)。老師再次質(zhì)疑：“不改變女生人數(shù)，全班學(xué)生的平均身高偏向于男生還是女生？”學(xué)生從實(shí)例中觀察發(fā)現(xiàn)男生人數(shù)多，答案偏向于男生的平均身高。

在整個學(xué)習(xí)過程中，教師多次設(shè)疑，反復(fù)質(zhì)問，引導(dǎo)學(xué)生在比較反思中不斷接近真理、去偽存真。此過程不僅使學(xué)生知道求平均數(shù)的一般思考方法與特殊方法之間的關(guān)系，而且學(xué)會了在普遍性原理指導(dǎo)下，從特殊性出發(fā)靈活地解決問題，提高了解決問題的能力，學(xué)生思維在思辨中走向理性。

四、“由下而上”地問，讓學(xué)生涵泳理性精神

從“木匠數(shù)學(xué)”走向“理性數(shù)學(xué)”，需要從直覺、經(jīng)驗(yàn)走向理性，在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生尋找充分的思維依據(jù)，對問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象，進(jìn)而概括出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。合理而有梯度的問題，不僅有利于問題研究的展開，更有利于問題探索的深入。從具體的經(jīng)驗(yàn)和直覺之“形而下”的問題出發(fā)，走向理性思維之“形而上”的問題概括，是學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維品質(zhì)形成的必經(jīng)過程。

例如，在復(fù)習(xí)“平面圖形的面積計算”時，引導(dǎo)學(xué)生對平面圖形面積計算的相關(guān)知識進(jìn)行梳理后，我設(shè)計了以下幾組問題展開教學(xué)。

第一組問題：

問題1：觀察下面一組圖形，計算這四個圖形的面積，你有什么想法？學(xué)生自由闡述后，計算這四個圖形的面積。

問題2：它們的面積為什么會相等？如果要畫一個三角形，它的面積是平行四邊形的一半，你會怎么畫？

問題3：在你畫的這個三角形上，再畫一個和它等底等高但形狀不同的三角形，你會畫嗎？這些三角形形狀不同但面積相等，仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

基于此，討論：下圖A、B這樣的圖形面積相等嗎？

第二組問題：回顧作圖要求，畫一個面積是平行四邊形面積一半的三角形。

問題1：面積是平行四邊形的一半，只能是這些底4厘米、高6厘米的三角形嗎？

問題2：多想一想，就出現(xiàn)了這么多的情況。這些既不等底又不等高的三角形，面積怎么就相等呢？

第三四組問題：

問題1：仔細(xì)觀察，這個三角形和梯形，面積相等嗎？為什么？（如圖1）

圖1

圖2

圖3

動畫演示：梯形上底縮短一格，同時下底延長一格。（如圖2）

問題2：仔細(xì)觀察，現(xiàn)在的圖形與原來相比，有什么聯(lián)系？

繼續(xù)動畫演示：上底縮短一格，同時下底再延長一格。（如圖3）

問題3：想象一下，這樣繼續(xù)下去會怎樣？

根據(jù)學(xué)生回答，動畫演示：梯形上底縮為一點(diǎn)，下底延長，成為一個三角形。

問題4：你是怎么知道這個三角形和原來的梯形面積相等的？此問題意在讓學(xué)生知道求梯形面積并不是一定要轉(zhuǎn)化成平行四邊形再來推導(dǎo)，我們也可以把梯形轉(zhuǎn)化成三角形，再根據(jù)三角形的面積計算公式來推導(dǎo)。此后，教師介紹《九章算術(shù)》中梯形計算面積公式的推導(dǎo)過程。

以上四組問題，其涵蓋了三個維度的指向：第一維度指向于“橫向數(shù)學(xué)化”，著力于讓兒童已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與新的數(shù)學(xué)知識發(fā)生關(guān)聯(lián)；第二維度指向于“縱向數(shù)學(xué)化”，著力于讓兒童的數(shù)學(xué)思維生成、重塑與再發(fā)展，從而建立起數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系；第三維度則指向“橫向數(shù)學(xué)化”與“縱向數(shù)學(xué)化”的融通，著力于知識的系統(tǒng)化建構(gòu)。

深度教學(xué)是讓兒童深度參與教學(xué)過程、深刻掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)?！吧疃葏⑴c教學(xué)過程”旨在實(shí)現(xiàn)兒童與教材、兒童與教師之間全面而充分地交流，其是深度教學(xué)的過程性特征；“深刻掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容”是指兒童實(shí)現(xiàn)自身已有經(jīng)驗(yàn)與所學(xué)內(nèi)容的深度融合，其是深度教學(xué)的結(jié)果性特征?！皢栴}結(jié)構(gòu)化”則是一種“橋梁”，它使學(xué)習(xí)者與教學(xué)過程、學(xué)習(xí)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)了深度契合式的相遇。至此，我們不僅僅給予了學(xué)生“木匠數(shù)學(xué)”的直覺與經(jīng)驗(yàn)，還給予了學(xué)生“理性數(shù)學(xué)”的分析歸納、批判質(zhì)疑和系統(tǒng)思考。?

[1]鄭毓信.以“深度教學(xué)”落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（9）.

[2]劉瑋.回到數(shù)學(xué)本身：讓兒童在思考中學(xué)習(xí)——核心素養(yǎng)視域下兒童數(shù)學(xué)思考的教學(xué)建構(gòu)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（8）.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4]崔允漷.追問“核心素養(yǎng)”[J].全球教育展望，2016（5）.

[5]鐘啟泉.“核心素養(yǎng)”賦予基礎(chǔ)教育以新時代的內(nèi)涵[J].上海教育科研，2016（2）.

[6]羅祖兵.深度教學(xué)：“核心素養(yǎng)”時代教學(xué)變革的方向[J].課程·教材·教法，2017（4）.