王軍東

(中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，陜西 西安 710089)

0 引言

機(jī)載火控雷達(dá)探測(cè)距離是機(jī)載火控武器系統(tǒng)重要性能指標(biāo)之一，也是全機(jī)系統(tǒng)定型試驗(yàn)中必須驗(yàn)證考核項(xiàng)目，在以往型號(hào)試驗(yàn)項(xiàng)目當(dāng)中，通常雷達(dá)探測(cè)距離試飛是試驗(yàn)周期長(zhǎng)，需要的人力、物力多的試驗(yàn)項(xiàng)目之一。按照國(guó)軍標(biāo)要求，為得到置信度較高的試驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)入定型試驗(yàn)階段后，通常試驗(yàn)項(xiàng)目需進(jìn)行多次重復(fù)，從而不可避免地導(dǎo)致了試驗(yàn)周期長(zhǎng)、試驗(yàn)成本高等問(wèn)題，同時(shí)也給試驗(yàn)的組織、協(xié)調(diào)和實(shí)施帶來(lái)了極大難度。也有一些試驗(yàn)總共采集11組數(shù)據(jù)，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，按統(tǒng)計(jì)學(xué)中P分位數(shù)法給出試驗(yàn)結(jié)果，該方法雖簡(jiǎn)單便捷，但是樣本量少，導(dǎo)致置信概率偏小[1]，可信度不高。

為了解決這些實(shí)際問(wèn)題，需要對(duì)現(xiàn)有火控雷達(dá)探測(cè)距離的試驗(yàn)評(píng)估方法進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)，探索出一種合理的試驗(yàn)方法。要求評(píng)估結(jié)果可信，同時(shí)在定型試驗(yàn)中盡量減少飛行試驗(yàn)架次，小樣本 Bayes 方法可以滿足試驗(yàn)需求[2]。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)者和工程技術(shù)人員，從理論到工程應(yīng)用方面，特別在武器裝備可靠性、維修性和測(cè)試性試驗(yàn)領(lǐng)域，對(duì)Bayes小樣本理論方面作了大量的研究，并已取得了很好的成果[3-9]。

在火控雷達(dá)探測(cè)距離的試驗(yàn)中同樣適用。通過(guò)利用先驗(yàn)信息，使得試驗(yàn)樣本總量保持在一定數(shù)量。Bayes方法在利用定型階段試驗(yàn)所獲得的樣本信息的同時(shí)，還充分利用了先驗(yàn)信息。在定型試驗(yàn)之前，通過(guò)對(duì)試驗(yàn)過(guò)程中所獲得的先驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和決策，使得先驗(yàn)數(shù)據(jù)的部分或全部參與總體性能的估計(jì)[10-13}，同樣可達(dá)到相同的試驗(yàn)?zāi)康?，使得定型階段所需的樣本數(shù)目將大為減少，從而能夠有效地縮短試驗(yàn)周期，提高試驗(yàn)效率，降低試驗(yàn)成本。

1 Bayes 驗(yàn)前信息分析

Bayes 方法是目前解決小樣本問(wèn)題的主要方法，在保持檢驗(yàn)精度不變的前提下對(duì)定型試驗(yàn)階段試驗(yàn)樣本量的要求相比原始方法要小。由于在開(kāi)展定型試驗(yàn)之前，已經(jīng)得到了一些驗(yàn)前信息，該驗(yàn)前信息可以彌補(bǔ)定型試驗(yàn)信息的不足。Bayes 小樣本統(tǒng)計(jì)推斷方法就是驗(yàn)前信息的獲取和處理。在定型試驗(yàn)中，應(yīng)用 Bayes 方法來(lái)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，一個(gè)重要的環(huán)節(jié)是必須充分利用驗(yàn)前信息，即在應(yīng)用當(dāng)前定型試驗(yàn)信息的同時(shí)，還必須考慮其他試驗(yàn)信息的充分利用，包括前期研制試驗(yàn)中的部件試驗(yàn)、分系統(tǒng)試驗(yàn)、系統(tǒng)鑒定試驗(yàn)等信息，只要驗(yàn)前信息的獲得接近實(shí)際試驗(yàn)條件，則大部分驗(yàn)前信息都可以收集、分析、處理和利用。

火控雷達(dá)在進(jìn)行系統(tǒng)定型試驗(yàn)前，通常要進(jìn)行設(shè)備級(jí)、分系統(tǒng)級(jí)等大量的研制試飛，最后才進(jìn)入系統(tǒng)設(shè)計(jì)定型階段。按照研制試飛過(guò)程特點(diǎn)，雷達(dá)探測(cè)威力通常是研制階段首先要摸清的性能，在設(shè)備級(jí)和分系統(tǒng)級(jí)研制試飛階段已經(jīng)得到了大量探測(cè)距離試驗(yàn)信息。因此，調(diào)整試飛階段的探測(cè)距離信息都是寶貴的驗(yàn)前信息，經(jīng)過(guò)分析整理，完全可以應(yīng)用到定型信息當(dāng)中。這樣雷達(dá)探測(cè)距離的考核就得到了較多的驗(yàn)前信息量，可以補(bǔ)充到定型試驗(yàn)信息當(dāng)中，增加定型試驗(yàn)樣本。

2 驗(yàn)前信息的應(yīng)用

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，雷達(dá)探測(cè)距離的 Bayes 估計(jì)問(wèn)題就是有定型試驗(yàn)樣本(Rfi，1≤i≤n1)和定型之前所得試驗(yàn)樣本(Rsi，1≤i≤n2)，即調(diào)整試驗(yàn)樣本，2個(gè)樣本分別來(lái)自正態(tài)母體，如何估計(jì)定型試驗(yàn)總體分布的分位點(diǎn)。要解決此問(wèn)題，首先要解決如何估計(jì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。首先，如果知道兩母體分布無(wú)差異。則把調(diào)整試驗(yàn)樣本合并到定型試驗(yàn)樣本中，用合并樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差(即完全合并均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)) 作估計(jì)，這將很好地改進(jìn)只用定型試驗(yàn)樣本信息作出的估計(jì)?？蓪?shí)際上，從工程概念上兩母體肯定是有聯(lián)系，但不能確定兩母體是否有差異，差異有多大。另外，如果兩母體有比較顯著的差異，那么無(wú)疑用合并均值和標(biāo)準(zhǔn)差作估計(jì)，其估計(jì)精度會(huì)很差。在這種情況下，就需要一種檢驗(yàn)方法，就是用一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)兩母體是否有顯著差異，如果不顯著，則用完全合并均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)，否則，通過(guò)對(duì)驗(yàn)前信息調(diào)整試驗(yàn)樣本進(jìn)行分析整理，利用調(diào)整試驗(yàn)樣本提供的信息，避免了只用定型試驗(yàn)樣本的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差作估計(jì)樣本量太少問(wèn)題，或者對(duì)調(diào)整試驗(yàn)提供的樣本信息全用或不用的錯(cuò)誤估計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，兩母體肯定會(huì)有差異，比較合理的辦法就是根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，使用調(diào)整試驗(yàn)樣本中部分(或全部)數(shù)據(jù)。

2.1 均值對(duì)比法檢驗(yàn)驗(yàn)前樣本

零假設(shè)H0：μs<μf，備擇假設(shè)H1：μs≥μf

檢驗(yàn)步驟如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

第2步：計(jì)算自由度

ν1=n1-1，ν2=n2-1.

第3步：給出顯著性水平α，分別用ν1,ν2查T(mén)分布分位數(shù)表，得到tα(ν1)和tα(ν2)值，并用式(5)計(jì)算：

(5)

第4步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的值

(6)

第5步：判斷檢驗(yàn)結(jié)果。

若T>Tα，則拒絕H0，即認(rèn)為調(diào)整試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)可以直接利用；若T≤Tα，則不能拒絕H0，不能直接將調(diào)整試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)合并到定型試驗(yàn)樣本當(dāng)中。

2.2 驗(yàn)前樣本的剔除-逆序減尾檢驗(yàn)法

若以上對(duì)比檢驗(yàn)結(jié)果為T(mén)≤Tα，則驗(yàn)前樣本不能全部利用，部分驗(yàn)前樣本需要剔除。當(dāng)然，對(duì)樣本的剔除不能簡(jiǎn)單地剔除大值或小值。對(duì)于定型試驗(yàn)設(shè)備而言，試驗(yàn)設(shè)備的各項(xiàng)性能，通常會(huì)隨著試驗(yàn)時(shí)間的推移，性能慢慢更趨于穩(wěn)定，因此，越接近定型階段所得的驗(yàn)前樣本，更能反映設(shè)備的工作性能。鑒于此，提出了采用“逆序減尾檢驗(yàn)法”，剔除部分驗(yàn)前試驗(yàn)樣本，將其余部分驗(yàn)前試驗(yàn)樣本合并到定型試驗(yàn)樣本當(dāng)中，來(lái)完成總體分布的估計(jì)。具體方法如下：

假設(shè)開(kāi)始所得驗(yàn)前試驗(yàn)樣本為Rs1，Rs2，…，Rsn2，試驗(yàn)樣本排列順序按所得先后進(jìn)行排列，即Rs1為驗(yàn)前第1個(gè)所得試驗(yàn)樣本，Rsn2為驗(yàn)前最后一個(gè)所得試驗(yàn)樣本。通過(guò)以上2.1中的檢驗(yàn)步驟，得到檢驗(yàn)結(jié)果為T(mén)≤Tα?xí)r，第1次剔除Rs1，用其余n2-1個(gè)樣本重復(fù)進(jìn)行2.1中的5步檢驗(yàn)。若仍不能達(dá)到T≤Tα，則繼續(xù)將Rs1和Rs22個(gè)樣本剔除，依次重復(fù)進(jìn)行檢驗(yàn)，直到T>Tα為止。再將剩余樣本用于總體分布的估計(jì)。

3 雷達(dá)探測(cè)距離估計(jì)

火控雷達(dá)探測(cè)距離(記作Rmax)，通常是指一定累積概率條件下的檢測(cè)距離。雷達(dá)檢測(cè)目標(biāo)也是在特定狀態(tài)下進(jìn)行，包括目標(biāo)的雷達(dá)截面積、相對(duì)飛行速度和飛行高度，試驗(yàn)載機(jī)的飛行高度等。當(dāng)載機(jī)和目標(biāo)機(jī)以一定距離相互接近過(guò)程，機(jī)組成員在雷達(dá)或戰(zhàn)術(shù)臺(tái)顯示器上最先發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的距離，即判定為本次進(jìn)入雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的最大發(fā)現(xiàn)距離。重復(fù)此動(dòng)作，即可得到雷達(dá)探測(cè)距離的一組試驗(yàn)樣本。

雷達(dá)探測(cè)距離可定義為試驗(yàn)最大探測(cè)距離R的分布函數(shù)的p分位點(diǎn)，即

P(R>Rmax)>1-p.

(7)

假設(shè)雷達(dá)探測(cè)距離的分布為正態(tài)分布N(μ，σ2)，如果記Φ-1(p)為正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)的p分位點(diǎn)。則最大探測(cè)距離為

Rmax=μ-Φ-1(p)σ.

(8)

因?yàn)镽的分布類型已知，μ，σ2未知，現(xiàn)對(duì)μ，σ2進(jìn)行估計(jì)，按最大似然法，似然函數(shù)為

(9)

將其取對(duì)數(shù)，并令關(guān)于μ，σ2的一階導(dǎo)數(shù)為0，則得

(10)

(11)

(12)

解此關(guān)于μ，σ2方程組得μ，σ2的估計(jì)值：

(13)

(14)

為了得到σ2的無(wú)偏估計(jì)用

(15)

從而得到標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)：

(16)

通過(guò)以上可得，最大探測(cè)距離的估計(jì)

S.

(17)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，樣本量在10～30之間，通常認(rèn)定為小樣本，總體為正態(tài)分布的處理按小樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，即利用T分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。文中討論雷達(dá)探測(cè)距離試驗(yàn)總樣本量要求小于30，因此，雷達(dá)探測(cè)距離試驗(yàn)樣本服從非中心T分布，非中心T分布的密度函數(shù)為

-∞

(18)

式中:n為自由度;δ=μ/σ為非中心參數(shù)，稱非心度[14]。

式(7)可轉(zhuǎn)換為

(19)

點(diǎn)tp(n-1)為該T分布的下p分位數(shù)。

Φ-1(x)被t1-p(n-1)代換，式(17)可表為

(20)

式(20)中，可通過(guò)分位數(shù)p值和自由度n-1 值查找T分布分位數(shù)表可得。

(21)

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)上述方法，就可得雷達(dá)探測(cè)距離的 Bayes 估計(jì)結(jié)果，那么樣本總量達(dá)到多少組，才使探測(cè)距離的估計(jì)精度比較合理？由式(13)和(16)可得探測(cè)距離平均值的均方根差為

(22)

令

(23)

圖1 Q 與觀測(cè)次數(shù)n 的關(guān)系曲線Fig.1 Relationship curve between Q and n

雷達(dá)最大探測(cè)距離是按T分布進(jìn)行的估計(jì)，由于T分布在樣本量達(dá)到一定程度后，隨著樣本量的變化，其概率分布曲線形狀的變化相當(dāng)緩慢，也就是T分布分位數(shù)值tp(n-1)的變化很小，在樣本總量大于20以后，分位數(shù)值變化相當(dāng)緩慢[15]，綜合考慮，雷達(dá)探測(cè)距離統(tǒng)計(jì)樣本總量取20組比較合理。下面以試驗(yàn)數(shù)據(jù)說(shuō)明樣本總量取20組的合理性。

該試驗(yàn)數(shù)據(jù)為以往雷達(dá)對(duì)特定目標(biāo)的23組探測(cè)距離數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)按試驗(yàn)先后所得順序排列。數(shù)據(jù)結(jié)果如下,km：

(49.4, 52.8, 46.7, 53.5, 50.8, 39.4, 41.8, 52.6, 43.2, 50.8, 45.2, 44.6, 49.3, 45.5, 48.0, 47.0, 46.5, 48.5, 46.0, 46.5, 49.0, 49.5, 47.5).

對(duì)以上樣本數(shù)據(jù)按式(20)估計(jì)最大探測(cè)距離，按90%探測(cè)概率查T(mén)分布分位數(shù)表，即下p分位數(shù)值為0.10。式(20)中，各變量與樣本量對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。從表1最大探測(cè)距離估計(jì)結(jié)果可以看出：隨著樣本量n的增加，最大探測(cè)距離估計(jì)結(jié)果趨于穩(wěn)定，在樣本量大于20以后，最大探測(cè)距離估計(jì)值變化很小。

表1 樣本量與最大探測(cè)距離對(duì)應(yīng)案例Table 1 Case of sample size and maximum detection distance

5 結(jié)束語(yǔ)

機(jī)載武器裝備定型試驗(yàn)中，機(jī)載火控雷達(dá)指標(biāo)的驗(yàn)證通常要消耗大量時(shí)間，難以滿足目前武器急需裝備的要求，本文對(duì)小樣本條件下雷達(dá)探測(cè)距離的試驗(yàn)評(píng)估進(jìn)行了探索和研究，對(duì)研制試驗(yàn)階段數(shù)據(jù)通過(guò)分析，實(shí)現(xiàn)研制階段試驗(yàn)信息的綜合利用，從而完成雷達(dá)探測(cè)距離指標(biāo)的考核和鑒定，達(dá)到減少試驗(yàn)次數(shù)，縮短試驗(yàn)周期，節(jié)約試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)，提高試驗(yàn)效益的目的。

[1] ISO 16269-6-2005，Statistical Interpretation of Data-Determination of Statistical Tolerance Intervals[S].Switzerland：IX-ISO，2005.

[2] Thomas Leonard，John S J Hsu． Bayesian Methods：An Analysis for Statisticians and Interdisciplinary Researchers[M]．Cambrige:Cambridge University Press，1999．

[3] 張學(xué)東.基于貝葉斯方法的導(dǎo)彈維修性試驗(yàn)與評(píng)定研究[J].現(xiàn)代防御技術(shù)，2013，41(1)：31-36.

ZHANG Xue-dong.Research on Missile Maintainability Test and Evaluation Based on Bayesian Method[J].Modern Defence Technology，2013，41(1)：31-36.

[4] 王敏，楊江平，盧雷，等.利用分系統(tǒng)數(shù)據(jù)制定整機(jī)測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案[J].現(xiàn)代防御技術(shù)，2015，43(5)：213-217.

WANG Min，YANG Jiang-ping，LU Lei，et al.Making the Test Verification Scheme of The Whole System by Using the Data of Subsystem[J].Modern Defence Technology，2015，43(5)：213-217.

[5] 湯巍，景博，黃以鋒.小子樣變總體下的Bayes測(cè)試性驗(yàn)證方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2014，36(12)：2566-2570.

TANG Wei，JING Bo，HUANG Yi-feng.Testability Verification Method Based on Bayes Theory Under Small Sample and Varying Population Circumstance[J].Systems Engineering and Electronics，2014，36(12)：2566-2570.

[6] 賈旭山，金振中.Bayes 假設(shè)檢驗(yàn)及樣本數(shù)量問(wèn)題研究[J].現(xiàn)代防御技術(shù)，2012，20(4)：67-70.

JIA Xu-shan，JIN Zhen-zhong.Bayes Hypothesis Testing and Sample Quantity[J].Modern Defence Technology，2012，20(4)：67-70．

[7] 王睿，牛海，徐亞光.基于評(píng)估需求的艦艇通信訓(xùn)練數(shù)據(jù)挖掘研究[J].現(xiàn)代防御技術(shù)，2016，44(6)：54-60.

WANG Rui，NIU Hai，XU Ya-guang.Research on Data Mining of Warship Communication Training Based on Evaluation Requirement[J].Modern Defence Technology，2016，44(6)：54-60.

[8] 劉琦，武小悅.Bayes方法應(yīng)用中驗(yàn)前分布選擇的一致性與可信性原則[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32(11)：2356-2359.

LIU Qi，WU Xiao-yue.Principles of Consistency and Reliability for Prior Distributions Selection in Bayesian Method Application[J].Systems Engineering and Electronics，2010，32(11)：2356-2359.

[9] 韓旭，王建宇，祖先鋒.基于Bayes序貫檢驗(yàn)的長(zhǎng)周期系統(tǒng)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(9)：1957-1965.

HAN Xu，WANG Jian-yu，ZU Xian-feng.Dynamic Test Methodology for Long-Working Systems Based on Bayesian Sequential Test Theory[J].Systems Engineering and Electronics，2012，34(9)：1957-1965.

[10] 徐廷學(xué)，劉勇，趙建忠，等.維修性先驗(yàn)信息的融合方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2014，36(9)：1887-1892.

XU Yan-xue，LIU Yong，ZHAO Jian-zhong，et al.Fusion Method of Prior Maintainability Information[J].Systems Engineering and Electronics，2014，36(9)：1887-1892.

[11] 應(yīng)新雅，張志華.產(chǎn)品可靠性新型順序約束及評(píng)估算法改進(jìn)[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2015，37(2)：468-472.

YING Xin-ya，ZHANG Zhi-hua.Improvement on the New Ordering Constraints Evaluation Algorithm of Product Reliability[J].Systems Engineering and Electronics，2015，37(2)：468-472.

[12] 雷華軍，秦開(kāi)宇.確定測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案的貝葉斯方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(12)：2612-2616.

LEI Hua-jun，QIN Kai-yu.Bayesian Method for Determination of Testability Demonstration Test Scheme[J].Systems Engineering and Electronics，2012，34(12)：2612-2616.

[13] 夏佩倫，李本昌，李博.假設(shè)檢驗(yàn)在軍事工程應(yīng)用中的若干問(wèn)題[J].火力與指揮控制，2015，40(3)：100-103．

XIA Pei-lun，LI Ben-chang，LI Bo.Some Issues Concerning Applications of Hypothesis Testing in Military Engineering[J].Fire Control & Command Control，2015，40(3)：100-103．

[14] 閆章更，魏振軍.試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2001：27-30.

YAN Zhang-geng，WEI Zhen-jun.Statistical Analysis of Test Data[M].Beijing：National Defense Industry Press，2001：27-30.

[15] Robert E McShea.Test and Evaluation Aircraft Avionics and Weapon Systems[M].Mojave CA:SciTech.2005：601-602.