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        例談格點(diǎn)問(wèn)題的解題策略

        2018-01-01 05:06:56周衛(wèi)國(guó)
        關(guān)鍵詞:外心格點(diǎn)本題

        周衛(wèi)國(guó)

        摘 要:尋求“格點(diǎn)”問(wèn)題解法的關(guān)鍵是抓住題目關(guān)鍵詞,挖掘出題目所含條件的作用,把非格點(diǎn)轉(zhuǎn)化為格點(diǎn)問(wèn)題處理,合理利用題目已知條件,多種知識(shí)處理問(wèn)題。這也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題基本方法。

        關(guān)鍵詞:抓住題目關(guān)鍵詞;化歸思想;合理處理已知條件

        中圖分類(lèi)號(hào):G633.63????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A???? 文章編號(hào):1992-7711(2018)20-068-2

        “格點(diǎn)”問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中一類(lèi)重要題型,很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可利用格點(diǎn)問(wèn)題出現(xiàn)。近幾年中考中,常常出現(xiàn)以“格點(diǎn)”為背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題,但學(xué)生對(duì)格點(diǎn)問(wèn)題往往掌握的不好,得分率不高。如何利用“格點(diǎn)”,并在這類(lèi)問(wèn)題中,理清頭緒,解決問(wèn)題,這需要教師教學(xué)時(shí)提煉解題策略,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題,利用“格點(diǎn)”解決問(wèn)題。下面本文從三個(gè)方面來(lái)談?wù)劇案顸c(diǎn)”問(wèn)題的解題策略:

        策略一、尋找問(wèn)題突破口,抓住題目關(guān)鍵詞

        例1 (2017泰州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為(1,0),(2,5),(4,2)。若點(diǎn)C在第一象限內(nèi),且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù),P是△ABC的外心,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為??? 。

        [解題過(guò)程] 本題的關(guān)鍵詞:外心。外心是三角形外接圓的圓心,外心是三角形三條中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。本題的解決應(yīng)充分利用外心的性質(zhì):點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上。解決方法:以點(diǎn)P為圓心,AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,圓P在第一象限內(nèi)的格點(diǎn)即為所求點(diǎn)C,答案為:(1,4)(6,5)(7,4)。

        [解后反思] 本題的解題策略在于如何用好“外心”,而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)即為“格點(diǎn)”??蓪W(xué)生在解答時(shí),往往缺乏分析思路,分析不了外心的作用,同時(shí)學(xué)生即使會(huì)分析也會(huì)出現(xiàn)漏解的情況。因此,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力,比解決一道題目更重要:如何用好外心是解決本題的關(guān)鍵。

        【變式練習(xí)】

        (17鹽城)如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中,將△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置,則點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為?? 。

        略解:在本題的教學(xué)中,重點(diǎn)理解好旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心O,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的最短路徑為以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,OB為半徑,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,lBB′=90π13180=13π2。

        反思:本題的解題策略在于旋轉(zhuǎn)前后的圖形有何聯(lián)系。由旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形,尋找旋轉(zhuǎn)中心,只要找兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的中垂線(xiàn)交點(diǎn)即可。利用格線(xiàn),構(gòu)造中垂線(xiàn)a,b,交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心。教學(xué)時(shí),只要緊緊抓住旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行教學(xué)即可。

        策略二、化歸思想,把非格點(diǎn)角度轉(zhuǎn)化為“格點(diǎn)”角度

        例2 如圖,在2×6的網(wǎng)格中,AD與BC相交于點(diǎn)E,則sin∠DEC=(? )

        A.12??? B.22??? C.32??? D.2/3

        師:要求sin∠DEC,你們有什么方法嗎?

        生1:轉(zhuǎn)化,把∠DEC轉(zhuǎn)化到“格點(diǎn)角”去,即(如圖)連接AF,過(guò)A作AG⊥AD交AD于點(diǎn)G,則∠DEC=∠GAF,利用面積公式算出FG=102,且AF=5,由此可得sin∠DEC=22,答案選B;

        生2:還有另一種轉(zhuǎn)化方法:過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線(xiàn),交格點(diǎn)于F,連接BF,則∠DEC=∠BCF,易證△BCF為直角三角形,則sin∠DEC=22,答案選B。

        師:很好,兩位同學(xué)的方法有異曲同工之妙,都把一個(gè)“非格點(diǎn)角”轉(zhuǎn)化為“格點(diǎn)角”,并把它們擺在一個(gè)直角三角形中,從而利用三角函數(shù)解決問(wèn)題。這都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“化歸思想”,你們的思維很有創(chuàng)造性。

        點(diǎn)評(píng):在本題的解答中,解題策略是如何轉(zhuǎn)化“非格點(diǎn)角”,在分析這道問(wèn)題時(shí),老師要利用題目的已知條件,所求角度的正弦值方法有兩種:要么構(gòu)造直角三角形,求解三角函數(shù)值,在本題中顯然不可行,因?yàn)椤螪EC不在格點(diǎn)上,構(gòu)造了直角三角形也無(wú)法計(jì)算邊長(zhǎng);要么轉(zhuǎn)化角度,把∠DEC轉(zhuǎn)化為“格點(diǎn)角”,再構(gòu)造直角三角形,求解∠DEC的正弦值。有了這一解題策略,整個(gè)問(wèn)題也就不難處理了。

        策略三、合理處理題目條件,用多個(gè)知識(shí)結(jié)合解決問(wèn)題

        例3 在如圖所示的正方形方格紙中,每個(gè)小四邊形都是相同的正方形,A、B、C、D都是格點(diǎn),AB與CD相交于M,則AM∶BM=______ 。

        師:本題有一定的難度,請(qǐng)大家認(rèn)真思考后解決問(wèn)題?

        (學(xué)生埋頭解答,教師教室巡視)

        生1:老師,可用相似解決問(wèn)題:先在圖中X型相似中,利用AMBN=ANBC;再利用A型相似,NECF=DEDF=13,從而可得ANBC=512,∴AM∶BM=5∶12。

        生2:老師,我還有一種方法:建系法,即建立平面直角坐標(biāo)系,通過(guò)求直線(xiàn)交點(diǎn)的方法求解。解法如下:

        建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)B(5,0),點(diǎn)C(1,0),點(diǎn)D(2,3)。直線(xiàn)AB:y=-25x+2,直線(xiàn)CD:y=3x-3,聯(lián)立方程:y=-25x+2y=3x-3,解得點(diǎn)M(1725,2417),利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比求得AM∶BM=5∶12。

        師:兩位同學(xué)的解法,非常具有想象力,我們對(duì)這兩位同學(xué)的解法表示祝賀(教室里響起熱烈的掌聲)。

        點(diǎn)評(píng):本題有一定的難度,難點(diǎn)有兩個(gè):第一點(diǎn)M非“格點(diǎn)”,第二AM∶BM如何求。在破解第一個(gè)難點(diǎn)時(shí),這道題目不需轉(zhuǎn)化,它與本文的例2解法有著本質(zhì)區(qū)別。第二個(gè)難點(diǎn)為轉(zhuǎn)化AM∶BM,如何轉(zhuǎn)化有兩種思路:方法一利用兩次相似求解;方法二構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)解析式求解。這也是解好此類(lèi)問(wèn)題的解題策略:當(dāng)所求結(jié)果無(wú)法轉(zhuǎn)化時(shí),可合理利用多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)處理問(wèn)題。

        “格點(diǎn)”問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的一種重要題型,要解好這類(lèi)問(wèn)題,需要在平時(shí)教學(xué)中加強(qiáng)此類(lèi)題目的訓(xùn)練,在訓(xùn)練中提升學(xué)生能力,在解題中找到解決問(wèn)題的方法。同時(shí)教師在教學(xué)中,應(yīng)注意收集問(wèn)題,把問(wèn)題分類(lèi)并總結(jié)。只有這樣,才能真正讓學(xué)生舉一反三,只有掌握了方法,才真正把握了解決問(wèn)題的“鑰匙”。

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