發(fā)散思維的多端性也稱流暢性，它是創(chuàng)造思維的核心。它反映發(fā)散思維具有發(fā)散、流暢、敏捷的特性。因為，多則發(fā)散、多則寬、多則流暢；多中選優(yōu)、優(yōu)中求快、快則敏捷。所以，多端性的重點是突出個“多”字。即同一個問題的思考方向多、角度多、途徑多、方法多。在教學中引導學生進行發(fā)散思維“多端性”訓練，對于培養(yǎng)創(chuàng)造型人才是極其重要的。

在數學教學中進行發(fā)散思維“多端性”訓練，方法是多種多樣的。

一、多方位發(fā)散

這種訓練方式是：首先由教師給學生輸入一個信息，然后學生根據這一信息和已經掌握的知識，在教師的啟發(fā)、引導下，通過獨立思考，輸出許多新的信息，獲得許多新的知識。例如，在“一元二次方程根與系數的關系”的教學中，教師可向學生提出這樣的一個問題：“從一元二次方程根與系數的關系，你知道些什么？”學生在導出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1，x2與系數a、b、c的關系

之后，從（1）、（2）兩式的等量關系引導

學生經過認真的思考，可能會發(fā)現(xiàn)如下一系列有關“一元二次方程根與系數的關系”的新知識。

（一）從“一元二次方程根與系數的關系”的內涵入手牢牢抓?。?）、（2）兩式的相等關系，運用方程或方程組的思想仔細分析，很容易得出如下應用類型

1.已知a、b、c的值，不必解方程，就可直接求出x1+x2與x1·x2的值。例如：已知x1、x2是方程3x2-5x+2=0的兩個根，求x1+x2與x1·x2的值。

解：由（1）、（2）可直接得x1+x2=，與x1·x2=。

2.已知x1，x2或x1+x2與x1·x2的值，可求出與 的值，但當二次項系數a=1時可求出b和c的值，這時b=-（x1+x2），c=x1·x2。例如：已知方程x2+bx+c=0的兩根分別為3和2，求b與c的值。

解：這里由于a=1，所以b=-（3+2）=-5，c=3×2=6。

3.從方程的角度分別觀察，可看出（1）、（2）兩式中，每一個等式里只要已知三個量就可求出其他一個量。例如：已知方程2x2+bx+6=0的一個根x1=3，求另一個根x2的值。分析解答：這里的a=2，c=6，由（2）式x1·x2=得3x2=，故x2=1。

4.從方程組的角度聯(lián)合（1）、（2）兩式，再比較、分析，則易見：只要已知a、b、c、x1及x2的任意三者之值，就能通過解二元方程組而求出其余兩者之值。

例如：已知方程2x2-7x+c=0的一個根x1=，求另一個根x2及c的值。

解：由（1） 、（2）兩式得 解這個方程組得x2=3，c=3。

（二）從“一元二次方程根與系數的關系”的外延入手運用整體代入法，采用變式手段，直接用“x1+x2”與“x1·x2”解決問題，這類題型由于帶有一定的構造性，所以需要教師在教學中著意培養(yǎng)學生多方位、多層次靈活觀察、思考問題和整體代換的能力，才能優(yōu)化學生的認知結構，克服不利的思維定勢，突破根與系數關系的運用這一教學難點。

1.由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同除以a得x2+ x+=0對此不難引導學生看出=-（x1+x2），=x1·x2，所以有x2-（x1+x2）x+x1.x2=0 （3） 這表明，以兩個數x1和x2為根且二次項系數等于1的一元二次方程是（3）。例如：不解方程，求作一個新的一元二次方程，使它的兩根分別是方程2x2+3x-7=0的兩根的相反數。

解：設方程2x2+3x-7=0的兩個根是x1、x2，則所求方程的兩個根是-x1，-x2。

由根與系數的關系，得 x1+x2=- ，x1·x2=-

∴ （-x1）+（-x2）=-（x1+x2）=-（-）= （-x1）（-x2）=x1·x2=-∴所求的方程為x2-x-=0 即2x2-3x-7=0

2.不解方程，求一些代數式的值。這一類題型主要突出一個“湊”字，就是要設法將有關代數式變形湊成關于已知方程兩根之和與積的代數式，這就要求學生應掌握以下關系式：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5）

（6） 。

例如：設x1，x2是關于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+1，x2+1是關于x的方程x2+qx+p=0的兩根，求p、q的值。

分析解答：這里的x1+x2=-p，x1.x2=q，又因為x1+1與x2+1是方程x2+qx+p=0的兩根，所以由（1）式得（x1+1）+（x2+1）=-q，又變?yōu)椋▁1+x2）+2=-q，即：p-q=2，又由（2）式得（x1+1）（x2+1）=p，又變?yōu)椋▁1+x2）+x1x2+1=p，即：2p-q=1；再解方程組： ，得p=-1，q=-3。

二、多途徑解題

這種訓練方式是：教師對一道數學題，從不同的角度、不同的途徑引導學生去考慮，得到不同的思路，不同的解法。由于數學題中蘊含的數學關系的多樣性與復雜性，所以引導學生考慮得愈廣泛愈深刻，獲得的思路愈廣闊，解法愈多。教師若能經常地引導學生進行“一題多解”的訓練，不但能開拓學生的思維，而且還能提高分析、判斷和靈活運用知識解決實際問題的能力，從而養(yǎng)成“多思、善思”的良好學習習慣，達到培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。例如：解方程

分析解答一，把方程變形為=-（x+3）通過平方得一元二次方程：x2+5x+6=0，解之得x1=-3，x2=-2，經檢驗x=-2為增根，所以x=-3。

分析解答二：把原方程變形為x+3+=0，用換元法設得一元二次方程y2+y=0，解之得y1=0，y2=-1，因為y2<0舍去，所以y=0，即=0，得x=-3（檢驗略，下同）。

分析解答三：把原方程變形為=-（x+3），由得x+3≥0，即x≥-3，如要使=-（x+3）成立必有-（x+3）≥0，即x≤-3，而不等式x≥-3與x≤-3的解集為x=-3。

分析解答四：把原方程變形為（x+3）+=0，由 必有x+3≥0，因此（x+3）+=0實際上是兩個非負數的和為零的形式，即（x+3）+=0所以，得x=-3。

分析解答五：把原方程變形為（x+3）+=0聯(lián)想公式（得 ，由因式分解變?yōu)椋?1）=0，因為+1>0，所以必有=0，從而x=-3。

三、多角度引伸

這種訓練方式是：教師對同一題目從多角度作開拓思考引伸出新題型。通過這種訓練可以使學生把所學知識融會貫通，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，激發(fā)學生學習興趣，提高教學質量，減輕學生的作業(yè)負擔。

例如：求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。[證明略]

引伸（一）從四邊形的對角線著手有如下引伸：

1.求證：順次連結對角線相等的四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是菱形。

2.求證：順次連結對角線互相垂直的四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是矩形。

3.求證：順次連結對角線互相垂直且相等的四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是正方形。

引伸（二）從特殊四邊形著手有如下引伸。

1.求證：順次連結平行四邊開四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。

2.求證：順次連結矩形四邊形的中點，所得的四邊形是菱形。

3.求證：順次連結菱形四條邊的中點，所得的四邊形是矩形。

4.求證：順次連結正方形四條邊的中點，所得的四邊形是正方形。

5.求證：順次連結等腰梯形四條邊的中點，所得的四邊形是菱形。

教學實踐證明，在教學中適時、合理地引導學生進行發(fā)散思維“多端性”訓練，可以使學生更好地激發(fā)創(chuàng)新思維，增強實踐應用，培養(yǎng)解題技能，才能使學生思路清晰，達到觸類旁通，舉一反三，不管遇到什么難題，都能得心應用，迎刃而解。這樣才能真正把學生從題海中解放出來，從而達到減負的目的。（單位：開州區(qū)鎮(zhèn)東初級中學）