董奇穎，高敏芬，賈春福

（1.南開大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，天津300353；2.南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300071）

0 引言

“講一練二考三”的基本教學(xué)理念就是精講、多練和廣考[1]，即在教學(xué)過程中控制教師講授量，增加學(xué)生練習(xí)量，擴(kuò)大考試知識(shí)覆蓋面[2]。在“講一練二考三”教學(xué)實(shí)踐中，要注意保證學(xué)習(xí)內(nèi)容的品質(zhì)與總量，平衡學(xué)習(xí)過程的時(shí)間和強(qiáng)度，目的是使學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)吸收消化、靈活運(yùn)用和拓展創(chuàng)新，達(dá)到融會(huì)貫通的效果[3]。在教學(xué)中實(shí)踐“講一練二考三”，目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)“教是為了不教”和“學(xué)是為了會(huì)學(xué)”，從而提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探索的能力以及創(chuàng)新意識(shí)。

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是信息安全專業(yè)本科生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，主要講授后繼課程，如密碼學(xué)、網(wǎng)絡(luò)安全等課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，課程內(nèi)容主要包括數(shù)論基礎(chǔ)、抽象代數(shù)基礎(chǔ)、橢圓曲線理論3個(gè)部分[4]，具有較強(qiáng)的邏輯性和抽象性，具有一定的學(xué)習(xí)難度[5]。對于一門專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，教師在講授的同時(shí)引入其在密碼學(xué)等其他信息安全課程中的應(yīng)用實(shí)例，點(diǎn)明此課程與后繼課程的關(guān)系及其在后繼課程中的地位，對學(xué)生今后理解和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)以及了解學(xué)科前沿進(jìn)展具有重要意義。

1 “講一練二考三”在信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的改革方案及其實(shí)踐

1.1 “講一練二考三”改革方案

文獻(xiàn)[4]給出有關(guān)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“講一練二考三”改革方案，強(qiáng)調(diào)根據(jù)課程各部分內(nèi)容的特點(diǎn)，在教學(xué)過程中適當(dāng)調(diào)整教師和學(xué)生的角色變化以及教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)要求的變化。

“講一”要求教師在課上精簡講授核心內(nèi)容，充當(dāng)知識(shí)引導(dǎo)者的角色，注意重點(diǎn)突出，詳略得當(dāng)；學(xué)生則充當(dāng)學(xué)習(xí)主導(dǎo)者的角色，充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，提升自主學(xué)習(xí)能力。“練二”要求教師采用多種練習(xí)形式提高講授效果，鼓勵(lì)學(xué)生增加練習(xí)量，更好地掌握和運(yùn)用知識(shí)，可以采用課堂隨機(jī)提問、布置課后習(xí)題、加強(qiáng)編程訓(xùn)練、培養(yǎng)研究素質(zhì)等形式?！翱既卑▽W(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)情況考查和期末考試考查，前者主要通過“練二”部分所列方式進(jìn)行，并根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)情況給出相應(yīng)評價(jià)；后者主要對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力進(jìn)行考查，根據(jù)本課程的特點(diǎn)，題型可以采用計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題和實(shí)踐題。

針對課程各部分內(nèi)容，教學(xué)中須相應(yīng)地調(diào)整教學(xué)重點(diǎn)。對于數(shù)論基礎(chǔ)部分，應(yīng)使學(xué)生透徹理解其數(shù)學(xué)原理，了解其在密碼學(xué)等課程中的實(shí)際應(yīng)用，還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用這些數(shù)學(xué)原理獨(dú)立學(xué)習(xí)密碼學(xué)知識(shí)的能力；對于抽象代數(shù)基礎(chǔ)部分，其作為本課程的核心，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯能力，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)定理的證明；對于橢圓曲線理論部分，考慮到其在密碼學(xué)等課程中主要應(yīng)用于橢圓曲線上的公鑰密碼體制，因此應(yīng)強(qiáng)化計(jì)算方法和計(jì)算能力。

1.2 “講一練二考三”改革方案的實(shí)踐

1）“講一”。

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的授課方式有兩種，即教師主導(dǎo)的知識(shí)介紹課和助教講解的習(xí)題課。由于“講一”首先要做到“教師少講、學(xué)生多想”，因此在教學(xué)過程中，教師須更加注意觀察學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理及其應(yīng)用的領(lǐng)悟情況，以此調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和改進(jìn)教學(xué)方式。對于簡單易懂的概念，如預(yù)備知識(shí)部分的集合相關(guān)概念、映射、函數(shù)等，教師只需簡單介紹或者留給學(xué)生預(yù)習(xí)自學(xué)即可。對于較難理解的概念和定理，可以由教師按照自己的經(jīng)驗(yàn)和理解方式，用淺顯易懂的方式講解，并詢問學(xué)生的接受情況。教師可以在課堂上主動(dòng)提問學(xué)生，讓其講述對概念或定理的理解，如抽象代數(shù)部分的陪集、商群的定義和相關(guān)性質(zhì)等。對于需要學(xué)生課下閱讀相關(guān)文獻(xiàn)或者增加相關(guān)練習(xí)才能有所領(lǐng)悟的概念，教師可以等學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)之后再詢問或考查其掌握情況，必要時(shí)作補(bǔ)充講解，如抽象代數(shù)部分的同態(tài)基本定理等。

助教主要負(fù)責(zé)習(xí)題課的講解，其在整個(gè)課程設(shè)計(jì)中是連接教師和學(xué)生的橋梁。一方面，助教扮演著教師的角色，承擔(dān)講解練習(xí)和補(bǔ)充知識(shí)的工作；另一方面，助教比教師更加貼近學(xué)生，能近距離觀察和掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，反饋給教師。助教在課堂上講授的內(nèi)容主要分為兩部分：對課本內(nèi)容的總結(jié)補(bǔ)充（包括自己對重點(diǎn)概念的理解）和習(xí)題講解。對于第一部分內(nèi)容，由于本課程是一門專業(yè)數(shù)學(xué)課程，注重邏輯梳理和體系構(gòu)建，助教沿著知識(shí)脈絡(luò)總結(jié)出學(xué)習(xí)框架，對學(xué)生從整體上把握這門課程大有裨益；對于教材遺漏的知識(shí)點(diǎn)，助教可以適當(dāng)補(bǔ)充；此外，對于某些精深難解的概念和定理，助教也可以補(bǔ)充講解自己的理解方式，幫助學(xué)生更好地掌握。對于第二部分內(nèi)容，主要由助教講解教師布置的習(xí)題，包括解題技巧、方法等，并回答學(xué)生提出的疑問；簡單問題給出基本思路，復(fù)雜問題給出詳細(xì)解答步驟；認(rèn)真批改學(xué)生上交的作業(yè)并對發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行歸納，著重解決學(xué)生存在的共性問題。

2）“練二”。

“練二”最終目的是提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，鼓勵(lì)學(xué)生有針對性地練習(xí)所掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，并尋找其他途徑擴(kuò)大學(xué)習(xí)面，以加深對本課程的理解，提升專業(yè)能力。因此，教師首先需要布置適量包含各種難度的課后習(xí)題，并盡量全面地覆蓋課程知識(shí)，以達(dá)到既能鍛煉學(xué)生的計(jì)算和應(yīng)用能力，又能培養(yǎng)學(xué)生的思維和創(chuàng)新能力的效果。

除了完成教師在課堂上布置的課后習(xí)題之外，還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過其他方式增強(qiáng)練習(xí)，如鼓勵(lì)學(xué)生著重理解重要定理的證明過程，并嘗試自行證明；對于難度較大的證明，鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)證明思路，這對學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理和定理有很大幫助。學(xué)生也可以自己查找課外習(xí)題，針對學(xué)習(xí)難點(diǎn)和薄弱知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行練習(xí)；還可以嘗試編程實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，了解其在實(shí)踐中的運(yùn)用情況，為后續(xù)課程密碼學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

除了上述一些基本的練習(xí)之外，還希望學(xué)生能了解學(xué)科前沿發(fā)展和知識(shí)實(shí)際應(yīng)用。教師可以為學(xué)生布置研讀高水平論文和其他相關(guān)研究資料的任務(wù)，甚至可以讓學(xué)生提前學(xué)習(xí)一些密碼學(xué)的知識(shí)，了解其在密碼學(xué)中的運(yùn)用。

在學(xué)生采用各種方式進(jìn)行課外自主學(xué)習(xí)之后，教師可以組織學(xué)生在自由討論課上分享學(xué)習(xí)收獲和心得，作為“練二”的重要實(shí)踐方式之一。例如，學(xué)生在課下單獨(dú)或分組研讀相關(guān)文獻(xiàn)，寫成總結(jié)報(bào)告，在開放課上討論交流；用本課程所講授的數(shù)學(xué)知識(shí)編碼設(shè)計(jì)一種密碼體制，并讓其他學(xué)生分析其安全性等。學(xué)生自主討論形式多樣，氛圍輕松，教師可進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，并把握討論進(jìn)度。

3）“考三”。

對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的考查應(yīng)該是一個(gè)持續(xù)的過程，不應(yīng)該僅僅反映為期末試卷的成績，因此評定學(xué)生學(xué)習(xí)情況的總成績（滿分為100分）由兩部分組成：平時(shí)成績（占比20%）和期末試卷成績（占比80%）。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程作為一門專業(yè)數(shù)學(xué)課，主要考查學(xué)生的邏輯能力和數(shù)學(xué)能力，因此期末試卷成績占比較大（為80%）是合理的。

平時(shí)成績包括作業(yè)成績、研究報(bào)告成績和考勤成績3部分。課后作業(yè)可以作為學(xué)生的基本練習(xí)內(nèi)容，完成情況可作為對學(xué)生學(xué)習(xí)成果和學(xué)習(xí)態(tài)度的基本考核；研究報(bào)告是學(xué)生閱讀相關(guān)文獻(xiàn)并總結(jié)核心內(nèi)容之后，綜合自己的理解和改進(jìn)建議所撰寫的學(xué)習(xí)報(bào)告，可作為對學(xué)生創(chuàng)新能力和科研素養(yǎng)的考核；考勤可以表征學(xué)生對本門課程的學(xué)習(xí)態(tài)度，也可作為平時(shí)成績的一部分進(jìn)行考核。上述3部分考核內(nèi)容應(yīng)該在平時(shí)成績中合理分配比重，以實(shí)現(xiàn)對學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)情況的客觀評價(jià)。

由于期末試卷成績所占比重較大，占總成績的80%，因此要特別注意試卷考核內(nèi)容對知識(shí)點(diǎn)的全面覆蓋、難易題目比例的合理設(shè)置、要點(diǎn)難點(diǎn)的重點(diǎn)考查等。為達(dá)到上述要求，試卷中設(shè)計(jì)了4種題型：解答題、計(jì)算題、應(yīng)用題和證明題。其中，解答題占比25%，主要考查數(shù)論基礎(chǔ)和抽象代數(shù)基礎(chǔ)的概念；計(jì)算題占比30%，主要考查數(shù)論基礎(chǔ)和橢圓曲線理論的計(jì)算方法；應(yīng)用題占比15%，主要考查本課程數(shù)學(xué)知識(shí)在密碼學(xué)中的應(yīng)用和數(shù)學(xué)原理證明；證明題占比30%，主要考查數(shù)論基礎(chǔ)和抽象代數(shù)基礎(chǔ)重要定理的證明。

2 教學(xué)實(shí)踐效果分析

為了客觀地評價(jià)改革方案，對其實(shí)施效果進(jìn)行分析，我們首先收集并分析學(xué)生的反饋信息，然后對期末試卷的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，最后提出對本課程改進(jìn)的建議，以期達(dá)到更好的教學(xué)效果。

2.1 學(xué)生反饋信息分析

教師可采用“授課課時(shí)+習(xí)題課時(shí)+開放課時(shí)”的授課方式，達(dá)到知識(shí)講解、題目練習(xí)和學(xué)習(xí)拓展的目標(biāo)，并實(shí)現(xiàn)理論理解與實(shí)際踐行的結(jié)合與平衡。在授課課時(shí)中，教師能主動(dòng)詢問學(xué)生的接受情況，掌握課堂進(jìn)度，并適時(shí)細(xì)致地講解難點(diǎn)；在習(xí)題課時(shí)中，課堂氣氛較為活躍，助教能有針對性地根據(jù)習(xí)題的難易程度詳略得當(dāng)?shù)刂v解習(xí)題，講明解題思路，指出易錯(cuò)點(diǎn)，并補(bǔ)充講解知識(shí)點(diǎn)；在開放課時(shí)中，學(xué)生能根據(jù)閱讀的文獻(xiàn)，主動(dòng)分享自己的收獲和感悟，由其他學(xué)生提出疑問并發(fā)表見解。課程授課從整體上做到了“講得精、想得深、參與廣”，取得了良好的效果。

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程具有抽象性和具體性的雙重特點(diǎn)：一方面，許多數(shù)學(xué)理論較難理解，和學(xué)生以往的數(shù)學(xué)背景知識(shí)相差較大，尤其是抽象代數(shù)基礎(chǔ)部分，如群、環(huán)、域、同態(tài)、同構(gòu)等相關(guān)概念十分抽象；另一方面，它又是許多信息安全專業(yè)課的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，尤其體現(xiàn)在密碼學(xué)課程上，許多數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和數(shù)學(xué)上的難解問題被運(yùn)用于密碼學(xué)的編碼和分析過程，如大整數(shù)因式分解的困難性與RSA加密算法、有限域上的橢圓曲線問題與橢圓曲線密碼體制等。作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)課程，其對培養(yǎng)邏輯思維和數(shù)學(xué)思維也很有幫助，如抽象代數(shù)基礎(chǔ)部分的群的相關(guān)內(nèi)容、子群的概念、循環(huán)群與置換群、陪集與商群的若干性質(zhì)等。因此，信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)不僅要讓學(xué)生清楚概念和定理之間的相互關(guān)系，還要讓其明白證明思路，并能推導(dǎo)出一些衍生的性質(zhì)和定理。

2.2 期末考試情況分析

通過合理設(shè)計(jì)期末試卷，學(xué)生的得分情況能較好地反映其對知識(shí)的掌握和運(yùn)用情況。我們統(tǒng)計(jì)了期末測試中學(xué)生的得分情況，并分析其中體現(xiàn)的教學(xué)實(shí)踐效果。本次考試得分情況基本符合正態(tài)分布，其中超過80%的學(xué)生卷面及格，50%以上學(xué)生得分區(qū)間為70～89分。為方便陳述，我們稱得分80～100分為高分段，得分70～79分為中分段，得分50～69分為低分段，并用得分百分比（學(xué)生實(shí)際平均得分/該題型總分）描述得分情況，針對學(xué)生在各題型的得分情況展開分析。

解答題和計(jì)算題的考題形式類似于課后習(xí)題，總體難度適中，只要學(xué)生平時(shí)認(rèn)真完成作業(yè)，課下勤于練習(xí)，就可以較好地掌握并作答，因此得分情況可以較好地反映學(xué)生的課后作業(yè)完成情況和練習(xí)情況。其中，高分段學(xué)生得分約為85%，中分段學(xué)生得分約為78%，低分段學(xué)生得分略低于60%。得分情況表明，高分段學(xué)生基本做到了深入理解基本概念和熟練掌握計(jì)算方法，練習(xí)效果較好；而中分段和低分段學(xué)生還須透徹理解和掌握基礎(chǔ)概念和計(jì)算方法，認(rèn)真完成作業(yè)，并加大課下針對基礎(chǔ)知識(shí)掌握的練習(xí)量。

應(yīng)用題的總體難度偏低。其中，高分段和中分段學(xué)生得分接近滿分，而低分段學(xué)生得分僅約為75%?？碱}重點(diǎn)涉及數(shù)學(xué)原理在密碼學(xué)中的應(yīng)用，得分情況可以反映學(xué)生的課下拓展學(xué)習(xí)情況，考查范圍廣泛，如課程內(nèi)容如何運(yùn)用到RSA、AES和ECC上的公鑰密碼體制等；如在題目中給出設(shè)計(jì)要求，讓學(xué)生設(shè)計(jì)一種加密解密方案或密碼體制；還可以給出一種新型密碼，讓學(xué)生分析其數(shù)學(xué)原理、論證安全性等。這要求學(xué)生在課下仔細(xì)思考課程內(nèi)容在密碼學(xué)中的運(yùn)用，甚至動(dòng)手實(shí)踐、改進(jìn)或設(shè)計(jì)某種加密方案或密碼體制，提升自主學(xué)習(xí)能力。

證明題的總體難度偏高，各分?jǐn)?shù)段學(xué)生得分相差較大實(shí)屬正常。其中，高分段學(xué)生得分約為90%，中分段學(xué)生得分約為65%，低分段學(xué)生得分約為40%。這啟示我們在今后的教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)更加深入細(xì)致地講解重要定理，增加有關(guān)證明的練習(xí)量，鼓勵(lì)學(xué)生仔細(xì)研讀課本并主動(dòng)查閱相關(guān)資料。

2.3 課程改進(jìn)建議

通過對教學(xué)改革方案的實(shí)踐效果分析，得出兩點(diǎn)改進(jìn)建議。

第一，鼓勵(lì)學(xué)生廣泛參加專業(yè)競賽，以促進(jìn)課程學(xué)習(xí)。由于本課程的教學(xué)過程中涉及一部分密碼學(xué)知識(shí)，且學(xué)生也有一定的編程基礎(chǔ)，因此其完全有能力參加相關(guān)競賽，如全國密碼技術(shù)競賽。專業(yè)競賽會(huì)大量用到本課程講授的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以幫助學(xué)生更好地掌握和理解課程內(nèi)容；同時(shí)，比賽既能促使學(xué)生不斷自學(xué)新的知識(shí)，發(fā)掘興趣，又可以讓學(xué)生更加深入地理解課程內(nèi)容。參加專業(yè)競賽不僅對學(xué)生學(xué)習(xí)課程大有益處，還可以培養(yǎng)其學(xué)習(xí)熱情和團(tuán)隊(duì)精神，增強(qiáng)應(yīng)用能力和協(xié)作能力，進(jìn)一步推動(dòng)素質(zhì)教育。

第二，從教材出發(fā)，并在授課過程中豐富和完善教學(xué)內(nèi)容。本課程所用的教材[4]是在南開大學(xué)信息安全專業(yè)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程授課講義的基礎(chǔ)上整理而成的，凝結(jié)了師生的共同心血和智慧，是一本精心編著的教材。在實(shí)踐運(yùn)用中，可以根據(jù)教學(xué)需要，適當(dāng)豐富和完善教學(xué)內(nèi)容，如可以及時(shí)給出某些知識(shí)點(diǎn)的先導(dǎo)概念，使之更加體系化；可以在對應(yīng)知識(shí)點(diǎn)后增加一些例題，加強(qiáng)對抽象的概念或定理的理解和記憶；還可以細(xì)化教材中部分例題的步驟，以免思維跳躍過大而增加學(xué)生理解的難度。

3 結(jié)語

為了完善上述改革方案，在今后的教學(xué)活動(dòng)中，我們還需要對教學(xué)情況進(jìn)行及時(shí)統(tǒng)計(jì)分析，不僅要在學(xué)期結(jié)束后采集并分析學(xué)生的反饋內(nèi)容和試卷得分情況，還要在平時(shí)教學(xué)過程中實(shí)時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，以便及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃、優(yōu)化教學(xué)過程和提高教學(xué)效果；同時(shí)，還要緊跟學(xué)科發(fā)展趨勢，并將其有機(jī)地融入教學(xué)過程中，使學(xué)生能夠及時(shí)了解信息安全領(lǐng)域的發(fā)展動(dòng)態(tài)和趨勢，激發(fā)其對科學(xué)研究的熱情，為今后的學(xué)習(xí)和研究奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

[1]徐娟,宋繼華,胡佳佳.初論“講一、練二、考三”[J].計(jì)算機(jī)教育,2006(6):22-26.

[2]蔡峻,嚴(yán)冰.“講一練二考三”教學(xué)理念的再思考[J].高校生物學(xué)教學(xué)研究,2013,3(4):7-9.

[3]陳德富,陳喜文.“講一練二考三”在南開大學(xué)遺傳學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐[C]//2014全國遺傳學(xué)理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)會(huì)議手冊及論文集.天津:中國遺傳學(xué)會(huì),2014:71-74.

[4]賈春福,鐘安鳴,楊駿.信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2017.

[5]李瑞琪,高敏芬,賈春福.信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“講一練二考三”改革方案設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)教育,2016(11):27-30.