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        基于Schur補(bǔ)性質(zhì)的時變采樣系統(tǒng)控制器設(shè)計

        2017-12-29 07:23:55趙達(dá)
        關(guān)鍵詞:時變閉環(huán)小車

        趙達(dá)

        (黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院,大慶 163319)

        基于Schur補(bǔ)性質(zhì)的時變采樣系統(tǒng)控制器設(shè)計

        趙達(dá)

        (黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院,大慶 163319)

        針對一類具有多個采樣周期的時變采樣控制系統(tǒng)的控制問題,利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題,通過求解線性矩陣不等式設(shè)計出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器,解決了在多個采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,小車和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗證了控制器設(shè)計方法的有效性。

        時變采樣;Schur補(bǔ);線性矩陣不等式;控制系統(tǒng)

        在采樣控制系統(tǒng)中,通常都假定控制器按一個固定的周期采樣。但是計算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化以及一些偶發(fā)的事故都可能導(dǎo)致采樣周期發(fā)生波動,使采樣控制系統(tǒng)時變,從而影響系統(tǒng)運(yùn)行的性能,甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在這種情況下,如何設(shè)計控制器使系統(tǒng)更穩(wěn)定是一個非常實際的問題,受到研究者廣泛關(guān)注[1-11]。討論一類連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),系統(tǒng)的被動時變采樣周期在一個分布已知的有限個值之間切換,給出系統(tǒng)的控制器設(shè)計及仿真實例。

        1 問題的提出

        考慮如下的線性時不變系統(tǒng)

        x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)

        y=Cx(t)+Du(t) (1)

        其中 x(t),u(t)和 y(t)分別是具有適當(dāng)維數(shù)的狀態(tài)向量、控制輸入向量和量測輸出向量,A,B,C和D分別是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

        假設(shè)系統(tǒng)(1)的理想采樣周期是T,離散化后的狀態(tài)方程為

        由于計算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化等因素,可能導(dǎo)致采樣器的采樣周期發(fā)生波動。不妨設(shè)采樣周期在有限集{T1,T2,…,Tm}上取值,對應(yīng)系統(tǒng)(1)的離散系統(tǒng)有m個,狀態(tài)方程可以寫成

        如果此時按理想采樣周期的狀態(tài)方程設(shè)計控制器,則不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。下面設(shè)計狀態(tài)反饋控制器

        使得采樣周期在有限集{T1,T2,…,Tm}上任意取值時,由(2)和(3)構(gòu)成的閉環(huán)時變采樣控制系統(tǒng)一致穩(wěn)定。

        (1)S<0;

        (2)S11<0,S22-S12TS11-1S12<0;

        (3)S22<0,S11-S12S22-1S12T<0。

        2 控制器設(shè)計

        根據(jù)以上問題的描述以及離散時間線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,閉環(huán)系統(tǒng)(2)一致穩(wěn)定的充分條件可以得到。

        定理1如果存在對稱矩陣P>0和矩陣K,使得下面的矩陣不等式

        對所有的 i∈{1,2,…m}成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(4)一致穩(wěn)定。

        證明:考慮Lyapunov函數(shù)

        V(tk)=x(tk)TPx(tk)

        對于閉環(huán)系統(tǒng)(4)以及任意的 i=1,2,…,m 有

        如果 Γ(τ)<0,那么

        其中,β=inf{λmin(-Γ(Ti)),i=1,2,…,m}。因此,閉環(huán)系統(tǒng)(4)一致穩(wěn)定。

        定理1 給出了狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件,但是,所給矩陣不等式并不是線性的,實際當(dāng)中實現(xiàn)控制器設(shè)計很難,進(jìn)一步的定理如下。

        定理2 如果存在對稱矩陣p>0和矩陣Q,使得下面的矩陣不等式

        對所有的 i∈{1,2,…m)成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(4)一致穩(wěn)定。

        證明:根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì),(5)式可以轉(zhuǎn)化成

        將其左右同乘 diag(I,P)得

        令Q=KP得

        又由于以上各步均可逆,所以定理得證。

        由定理2,狀態(tài)反饋控制增益矩陣為

        K=QP-1。

        3 仿真實例

        如圖1,考慮小車和倒立擺問題。假定小車質(zhì)量m1=0.6 kg,倒立擺質(zhì)量 m2=0.3 kg,擺長 L=1 m,地面光滑。系統(tǒng)的狀態(tài)變量選為,線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

        圖1 小車和倒立擺Fig.1 A cart and inverted pendulum

        假定系統(tǒng)的采樣周期有三個可能取值T1=0.1 s,T2=0.12 s,T3=0.08 s,對應(yīng)的采樣控制系統(tǒng)是在三個采樣周期下的三個離散系統(tǒng)間切換,所以采樣控制系統(tǒng)是時變采樣控制跳躍系統(tǒng)。

        為仿真,假定在實際的控制系統(tǒng)中,Tk+1和最近的一次Tk有關(guān),將Tk看作一個Markov鏈,設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

        對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

        在上述采樣周期下,根據(jù)定理2,應(yīng)用Matlab軟件的LMI工具箱求解可得閉環(huán)系統(tǒng)的控制器增益為

        K=[1.126 5 3.198 7 -41.680 0 15.819 1]

        圖2 小車和倒立擺模型的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State response curve of a cart and inverted pendulum

        4 結(jié)論

        應(yīng)用線性矩陣不等式方法處理控制問題是目前控制領(lǐng)域中的一個熱點問題,而利用Schur補(bǔ)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題或線性矩陣不等式是線性矩陣不等式方法的重要內(nèi)容。針對一類具有多個采樣周期的時變采樣控制系統(tǒng)的控制問題,利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題,通過求解線性矩陣不等式設(shè)計出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器,解決了在多個采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,小車和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗證了控制器設(shè)計方法的有效性。

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        Controller Design for a Class of Time-varying Sampling System Based on Schur Complement

        Zhao Da
        (College of Science,Heilongjiang Bayi Agricultural University,Daqing 163319)

        The control question with regard to a class of time-varying sampling control systems was presented,the controller design ensuring the uniform stability of systems with multi-sampling periods was transformed into resolving linear matrix inequality by Schur complement,and the simulation results by cart and inverted pendulum verified the effectiveness of the proposed controller design.

        time-varying sampling;Schur complement;linear matrix inequality;control system

        O151.21

        A

        1002-2090(2017)06-0060-03

        10.3969/j.issn.1002-2090.2017.06.014

        2017-02-20

        趙達(dá)(1978-),男,副教授,黑龍江大學(xué)畢業(yè),現(xiàn)主要從事物理教學(xué)與科研方面的工作。

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