趙達(dá)
(黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院,大慶 163319)
基于Schur補(bǔ)性質(zhì)的時變采樣系統(tǒng)控制器設(shè)計
趙達(dá)
(黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院,大慶 163319)
針對一類具有多個采樣周期的時變采樣控制系統(tǒng)的控制問題,利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題,通過求解線性矩陣不等式設(shè)計出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器,解決了在多個采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,小車和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗證了控制器設(shè)計方法的有效性。
時變采樣;Schur補(bǔ);線性矩陣不等式;控制系統(tǒng)
在采樣控制系統(tǒng)中,通常都假定控制器按一個固定的周期采樣。但是計算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化以及一些偶發(fā)的事故都可能導(dǎo)致采樣周期發(fā)生波動,使采樣控制系統(tǒng)時變,從而影響系統(tǒng)運(yùn)行的性能,甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在這種情況下,如何設(shè)計控制器使系統(tǒng)更穩(wěn)定是一個非常實際的問題,受到研究者廣泛關(guān)注[1-11]。討論一類連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),系統(tǒng)的被動時變采樣周期在一個分布已知的有限個值之間切換,給出系統(tǒng)的控制器設(shè)計及仿真實例。
考慮如下的線性時不變系統(tǒng)
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)
y=Cx(t)+Du(t) (1)
其中 x(t),u(t)和 y(t)分別是具有適當(dāng)維數(shù)的狀態(tài)向量、控制輸入向量和量測輸出向量,A,B,C和D分別是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。
假設(shè)系統(tǒng)(1)的理想采樣周期是T,離散化后的狀態(tài)方程為
由于計算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化等因素,可能導(dǎo)致采樣器的采樣周期發(fā)生波動。不妨設(shè)采樣周期在有限集{T1,T2,…,Tm}上取值,對應(yīng)系統(tǒng)(1)的離散系統(tǒng)有m個,狀態(tài)方程可以寫成
如果此時按理想采樣周期的狀態(tài)方程設(shè)計控制器,則不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。下面設(shè)計狀態(tài)反饋控制器
使得采樣周期在有限集{T1,T2,…,Tm}上任意取值時,由(2)和(3)構(gòu)成的閉環(huán)時變采樣控制系統(tǒng)一致穩(wěn)定。
(1)S<0;
(2)S11<0,S22-S12TS11-1S12<0;
(3)S22<0,S11-S12S22-1S12T<0。
根據(jù)以上問題的描述以及離散時間線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,閉環(huán)系統(tǒng)(2)一致穩(wěn)定的充分條件可以得到。
定理1如果存在對稱矩陣P>0和矩陣K,使得下面的矩陣不等式
對所有的 i∈{1,2,…m}成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(4)一致穩(wěn)定。
證明:考慮Lyapunov函數(shù)
V(tk)=x(tk)TPx(tk)
對于閉環(huán)系統(tǒng)(4)以及任意的 i=1,2,…,m 有
如果 Γ(τ)<0,那么
其中,β=inf{λmin(-Γ(Ti)),i=1,2,…,m}。因此,閉環(huán)系統(tǒng)(4)一致穩(wěn)定。
定理1 給出了狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件,但是,所給矩陣不等式并不是線性的,實際當(dāng)中實現(xiàn)控制器設(shè)計很難,進(jìn)一步的定理如下。
定理2 如果存在對稱矩陣p>0和矩陣Q,使得下面的矩陣不等式
對所有的 i∈{1,2,…m)成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(4)一致穩(wěn)定。
證明:根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì),(5)式可以轉(zhuǎn)化成
將其左右同乘 diag(I,P)得
令Q=KP得
又由于以上各步均可逆,所以定理得證。
由定理2,狀態(tài)反饋控制增益矩陣為
K=QP-1。
如圖1,考慮小車和倒立擺問題。假定小車質(zhì)量m1=0.6 kg,倒立擺質(zhì)量 m2=0.3 kg,擺長 L=1 m,地面光滑。系統(tǒng)的狀態(tài)變量選為,線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為
圖1 小車和倒立擺Fig.1 A cart and inverted pendulum
假定系統(tǒng)的采樣周期有三個可能取值T1=0.1 s,T2=0.12 s,T3=0.08 s,對應(yīng)的采樣控制系統(tǒng)是在三個采樣周期下的三個離散系統(tǒng)間切換,所以采樣控制系統(tǒng)是時變采樣控制跳躍系統(tǒng)。
為仿真,假定在實際的控制系統(tǒng)中,Tk+1和最近的一次Tk有關(guān),將Tk看作一個Markov鏈,設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為
對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為
在上述采樣周期下,根據(jù)定理2,應(yīng)用Matlab軟件的LMI工具箱求解可得閉環(huán)系統(tǒng)的控制器增益為
K=[1.126 5 3.198 7 -41.680 0 15.819 1]
圖2 小車和倒立擺模型的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State response curve of a cart and inverted pendulum
應(yīng)用線性矩陣不等式方法處理控制問題是目前控制領(lǐng)域中的一個熱點問題,而利用Schur補(bǔ)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題或線性矩陣不等式是線性矩陣不等式方法的重要內(nèi)容。針對一類具有多個采樣周期的時變采樣控制系統(tǒng)的控制問題,利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題,通過求解線性矩陣不等式設(shè)計出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器,解決了在多個采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,小車和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗證了控制器設(shè)計方法的有效性。
[1] Zhang L Q,Shi Y,Chen T W,et al.A New Method for Stabilization of Networked Control Systems with Random Delays[J].2005 American Control Conference,2005(6):633-637.
[2] Hu B,Michel A N.Stability analysis of digital feedback control systems with time-varying sampling periods[J].Automatica,2000,36:897-905.
[3] Katayama H,Ichikawa A.Receding horizon H∞ control for time-varying sampled-data systems [C]//Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control,and the European Control Conference,2005:951-956.
[4] Mancilla-Aguilar J L,Garcia R A.On the exponential stability of nonlinear sampled-data systems with timevarying sampling periods[C]//Proceedings of the American Control Conference,2002:1290-1295.
[5] Yu H W,Zheng Y F,Wang Z M.Stabilization of a Class of Nonlinear Sampled-data Control Systems[C]//Proceeding of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation,2006:853-857.
[6] Hu L S,Bai T,Shi P,et al.Sampled-data control of networked linear control systems[J].Automatica,2007,43:903-911.
[7] Wang Y L,Yang G H.Yang,H∞ control of networked control systems with time-varying sampling period [J].Information and Control,2007,36(3):278-284.
[8] Wang Y L,Yang G H.H∞ controller design for networked control systems with packet dropout and time-varying sampling period[C]//Proceeding of the American Control Conference,2008:4973-4978.
[9] Wang Yulong,Han Qinglong.Quantitative analysis and synthesis for networked control systems with non-uniformly distributed packet dropouts and interval time-varying sampling periods[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2015,25:282-300.
[10] Wang Yulong,Han Qinglong.Modelling and controller design for discrete-time networked control systems with limited channels and data drift[J].Information Sciences,2014,269:332-348.
[11] Wang Yulong,Xiong Jie.Fault detection filter design for networked control systems with time-varying sampling periods and packet dropouts[J].International Journal of Adaptive Control and Signal Processing,2016,30:790-806.
Controller Design for a Class of Time-varying Sampling System Based on Schur Complement
Zhao Da
(College of Science,Heilongjiang Bayi Agricultural University,Daqing 163319)
The control question with regard to a class of time-varying sampling control systems was presented,the controller design ensuring the uniform stability of systems with multi-sampling periods was transformed into resolving linear matrix inequality by Schur complement,and the simulation results by cart and inverted pendulum verified the effectiveness of the proposed controller design.
time-varying sampling;Schur complement;linear matrix inequality;control system
O151.21
A
1002-2090(2017)06-0060-03
10.3969/j.issn.1002-2090.2017.06.014
2017-02-20
趙達(dá)(1978-),男,副教授,黑龍江大學(xué)畢業(yè),現(xiàn)主要從事物理教學(xué)與科研方面的工作。