趙達(dá)

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

基于Schur補(bǔ)性質(zhì)的時變采樣系統(tǒng)控制器設(shè)計

趙達(dá)

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

針對一類具有多個采樣周期的時變采樣控制系統(tǒng)的控制問題，利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題，通過求解線性矩陣不等式設(shè)計出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器，解決了在多個采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，小車和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗證了控制器設(shè)計方法的有效性。

時變采樣；Schur補(bǔ)；線性矩陣不等式；控制系統(tǒng)

在采樣控制系統(tǒng)中，通常都假定控制器按一個固定的周期采樣。但是計算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化以及一些偶發(fā)的事故都可能導(dǎo)致采樣周期發(fā)生波動，使采樣控制系統(tǒng)時變，從而影響系統(tǒng)運(yùn)行的性能，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在這種情況下，如何設(shè)計控制器使系統(tǒng)更穩(wěn)定是一個非常實際的問題，受到研究者廣泛關(guān)注[1-11]。討論一類連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的被動時變采樣周期在一個分布已知的有限個值之間切換，給出系統(tǒng)的控制器設(shè)計及仿真實例。

1 問題的提出

考慮如下的線性時不變系統(tǒng)

x˙（t）=Ax（t）+Bu（t）

y=Cx（t）+Du（t） （1）

其中 x（t），u（t）和 y（t）分別是具有適當(dāng)維數(shù)的狀態(tài)向量、控制輸入向量和量測輸出向量，A，B，C和D分別是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

假設(shè)系統(tǒng)（1）的理想采樣周期是T，離散化后的狀態(tài)方程為

由于計算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)的影響、設(shè)備的老化等因素，可能導(dǎo)致采樣器的采樣周期發(fā)生波動。不妨設(shè)采樣周期在有限集{T1，T2，…，Tm}上取值，對應(yīng)系統(tǒng)（1）的離散系統(tǒng)有m個，狀態(tài)方程可以寫成

如果此時按理想采樣周期的狀態(tài)方程設(shè)計控制器，則不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。下面設(shè)計狀態(tài)反饋控制器

使得采樣周期在有限集{T1，T2，…，Tm}上任意取值時，由（2）和（3）構(gòu)成的閉環(huán)時變采樣控制系統(tǒng)一致穩(wěn)定。

（1）S＜0；

（2）S11＜0，S22-S12TS11-1S12＜0；

（3）S22＜0，S11-S12S22-1S12T＜0。

2 控制器設(shè)計

根據(jù)以上問題的描述以及離散時間線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，閉環(huán)系統(tǒng)（2）一致穩(wěn)定的充分條件可以得到。

定理1如果存在對稱矩陣P＞0和矩陣K，使得下面的矩陣不等式

對所有的 i∈{1，2，…m}成立，則閉環(huán)系統(tǒng)（4）一致穩(wěn)定。

證明：考慮Lyapunov函數(shù)

V（tk）=x（tk）TPx（tk）

對于閉環(huán)系統(tǒng)（4）以及任意的 i=1，2，…，m 有

如果 Γ（τ）＜0，那么

其中，β=inf{λmin（-Γ（Ti）），i=1，2，…，m}。因此，閉環(huán)系統(tǒng)（4）一致穩(wěn)定。

定理1 給出了狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，但是，所給矩陣不等式并不是線性的，實際當(dāng)中實現(xiàn)控制器設(shè)計很難，進(jìn)一步的定理如下。

定理2 如果存在對稱矩陣p＞0和矩陣Q，使得下面的矩陣不等式

對所有的 i∈{1，2，…m）成立，則閉環(huán)系統(tǒng)（4）一致穩(wěn)定。

證明：根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)，（5）式可以轉(zhuǎn)化成

將其左右同乘 diag（I，P）得

令Q=KP得

又由于以上各步均可逆，所以定理得證。

由定理2，狀態(tài)反饋控制增益矩陣為

K=QP-1。

3 仿真實例

如圖1，考慮小車和倒立擺問題。假定小車質(zhì)量m1=0.6 kg，倒立擺質(zhì)量 m2=0.3 kg，擺長 L=1 m，地面光滑。系統(tǒng)的狀態(tài)變量選為，線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

圖1 小車和倒立擺Fig.1 A cart and inverted pendulum

假定系統(tǒng)的采樣周期有三個可能取值T1=0.1 s，T2=0.12 s，T3=0.08 s，對應(yīng)的采樣控制系統(tǒng)是在三個采樣周期下的三個離散系統(tǒng)間切換，所以采樣控制系統(tǒng)是時變采樣控制跳躍系統(tǒng)。

為仿真，假定在實際的控制系統(tǒng)中，Tk+1和最近的一次Tk有關(guān)，將Tk看作一個Markov鏈，設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

在上述采樣周期下，根據(jù)定理2，應(yīng)用Matlab軟件的LMI工具箱求解可得閉環(huán)系統(tǒng)的控制器增益為

K=[1.126 5 3.198 7 -41.680 0 15.819 1]

圖2 小車和倒立擺模型的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State response curve of a cart and inverted pendulum

4 結(jié)論

應(yīng)用線性矩陣不等式方法處理控制問題是目前控制領(lǐng)域中的一個熱點問題，而利用Schur補(bǔ)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題或線性矩陣不等式是線性矩陣不等式方法的重要內(nèi)容。針對一類具有多個采樣周期的時變采樣控制系統(tǒng)的控制問題，利用Schur補(bǔ)性質(zhì)將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題，通過求解線性矩陣不等式設(shè)計出保持系統(tǒng)一致穩(wěn)定的控制器，解決了在多個采樣周期下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，小車和倒立擺模型的仿真結(jié)果驗證了控制器設(shè)計方法的有效性。

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Controller Design for a Class of Time-varying Sampling System Based on Schur Complement

Zhao Da
（College of Science，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319）

The control question with regard to a class of time-varying sampling control systems was presented，the controller design ensuring the uniform stability of systems with multi-sampling periods was transformed into resolving linear matrix inequality by Schur complement，and the simulation results by cart and inverted pendulum verified the effectiveness of the proposed controller design.

time-varying sampling；Schur complement；linear matrix inequality；control system

O151.21

A

1002-2090（2017）06-0060-03

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.06.014

2017-02-20

趙達(dá)（1978-），男，副教授，黑龍江大學(xué)畢業(yè)，現(xiàn)主要從事物理教學(xué)與科研方面的工作。