山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 陳傳璐

一道高考創(chuàng)新題的“追根溯源”
——拋物線焦點(diǎn)弦長有關(guān)結(jié)論的拓展及應(yīng)用

山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 陳傳璐

編者的話:“創(chuàng)新題追根溯源”欄目里的例、習(xí)題都非常新穎,有的是原創(chuàng)題,有的是改編題,每一道題都非常注重多解多變。當(dāng)然,在注重?cái)?shù)學(xué)閱讀的高考大背景下,同學(xué)們還要把握核心考點(diǎn),擴(kuò)大知識視野,用扎實(shí)的基本功應(yīng)對數(shù)學(xué)試題的萬千變化。

一、對一道高考題的思考

題目 (2 0 1 7年全國Ⅰ卷理1 0)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|A B|+|D E|的最小值為( )。

A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 0

探究:注意兩條弦互相垂直的特征,選兩直線的斜率為變量,利用曲線的定義和方程構(gòu)建弦長之和的目標(biāo)函數(shù),用均值不等式求最值。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直線l1的方程為y=k1(x-1)。

借助拋物線的定義構(gòu)建弦長之和的目標(biāo)函數(shù),選定方法求最值。

由題設(shè)k1k2=-1,依據(jù)拋物線定義可知|A B|+|D E|=++++2p=++4=++8≥2+8=1 6,當(dāng)且僅當(dāng)=-=1(或-1)時,取等號。

思考:借助定義和方程探究過拋物線焦點(diǎn)互相垂直的兩條弦長之和的最值,凸顯解析幾何的本質(zhì)屬性“用代數(shù)的方法研究幾何性質(zhì)”,若能探究出拋物線焦點(diǎn)弦長公式A B =,利用傾斜角之間的關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)將會使最值問題的求解多元化和簡單化。

二、拋物線焦點(diǎn)弦長有關(guān)常用結(jié)論

結(jié)論:設(shè)拋物線y2=2p x(p＞0),p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,θ為過焦點(diǎn)的弦A B的傾斜角,則有:

(1)弦長的端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標(biāo)之間的關(guān)系:x1x2=y1y2=-p2。

三、拋物線焦點(diǎn)弦長有關(guān)結(jié)論的應(yīng)用

例1 (2 0 1 7年遼寧朝陽三校聯(lián)考)過拋物線y2=4x(p＞0)的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦A B,C D,則+=( )。|

例2 (2 0 1 7年第二次全國大聯(lián)考新課標(biāo)Ⅰ卷)已知拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,|P F|=3。過F且傾斜角為3 0°的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△O A B的面積為____。解法1:用通法構(gòu)建方程探究面積的定值。由拋物線定義可知|P F|=2+=3,所2以p=2,所以拋物線方程為y2=4x。

例3 (2 0 1 7年四川瀘州四診)過拋物線C:y2=2p x(p＞0)焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D,若A B =B D ,則直線l的斜率k=( )

圖1