周 鵬 吳繼春 周會成 楊世平 劉金剛 馬秋成

1.湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心，湘潭，4111052.華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,武漢，430074

基于弧長參數(shù)的Akima刀位軌跡擬合算法研究

周 鵬1吳繼春1周會成2楊世平1劉金剛1馬秋成1

1.湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心，湘潭，4111052.華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,武漢，430074

在數(shù)控加工中，通常用小線段表達刀位軌跡，往往會導(dǎo)致刀位點龐大且軌跡不平滑。基于Akima曲線具有光順連接且端點連接處保證G1以上連續(xù)等特點，將刀位點擬合成Akima樣條曲線，提出了基于弧長參數(shù)的保凸Akima擬合刀位軌跡算法。該算法分為刀位點搜索和擬合兩個階段：首先利用擬合刀位軌跡的誤差測試(雙弦誤差測試和弦切誤差測試)約束，獲得該段的首末刀位點；然后在該段內(nèi)根據(jù)首末刀位點計算切線矢量，用弧長信息對刀位點參數(shù)化，生成一段Akima樣條。利用UG軟件生成了內(nèi)含75個刀位點的鞋底模型，通過MATLAB編程和仿真實驗，設(shè)置不同測試閾值，對比了弧長參數(shù)化Akima曲線與節(jié)點參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線之間的擬合效果，驗證了算法的有效性。

小線段；Akima算法；弧長參數(shù)；雙弦誤差測試法；弦切誤差測試法

0 引言

隨著數(shù)控技術(shù)的日臻完善以及人們對加工產(chǎn)品要求的日趨多樣化，以簡單的直線插補和圓弧插補見長的傳統(tǒng)數(shù)控插補技術(shù),用于自由曲線或曲面加工已經(jīng)不能達到理想的效果。自由曲線、曲面是一種復(fù)雜的幾何形狀，如飛機機翼、發(fā)動機的葉片、凸輪曲面輪廓以及復(fù)雜模具的型腔等，其解析表達式一般難以求得，且對于復(fù)雜輪廓，根據(jù)加工精度和加工余量等約束條件生成的刀位文件過大，能達到十幾兆甚至幾百兆。NURBS方法具有將刀位點擬合成高階連續(xù)的效果且使刀位文件減小[1-5]，但是段與段之間只是C0連續(xù)，且實時計算量大。針對實際刀位點分布不均的特點，用NURBS曲線擬合可能出現(xiàn)曲線扭曲等現(xiàn)象，因此既要保證段內(nèi)與段間有較好的連續(xù)性，也要降低擬合曲線的失真度，采用Akima算法擬合刀位點不失為一種好的選擇。來燕菁等[6]比較了Akima插值曲線的累加弦長參數(shù)化法與修正弦長參數(shù)化法，并通過仿真得出后者生成的曲線更接近理想曲線的結(jié)論。ALEXANDRU[7]針對Akima曲線的端點提出了誤差估計優(yōu)化算法。袁維濤等[8]利用Akima插值算法在數(shù)控系統(tǒng)中以高級宏程序?qū)崿F(xiàn)了凸輪的數(shù)控編程加工。由于Akima插值算法自身具有G1連續(xù)和較小的節(jié)點影響因子的優(yōu)勢，尤其是其中一個節(jié)點改變影響其周圍6個節(jié)點的特征[9]，這對于約束數(shù)據(jù)量大的刀位點是十分有利的。TAO等[10]將雙Akima樣條曲線插值用于連接數(shù)控加工中的刀位點，比傳統(tǒng)三維弦長法更為有效地減少數(shù)據(jù)點，從而獲得更加光滑的加工/擬合表面。劉俊等[11]提出了對CAD模型的B樣條曲線曲面密集控制點進行壓縮編碼的二階預(yù)測編碼算法。本文提出基于弧長參數(shù)的約束刀位點Akima擬合算法，在測試約束(雙弦測試法和弦高測試法)的條件下，搜索不滿足測試閾值的相鄰刀位點并進行分段擬合，在不同閾值下對Akima曲線的相關(guān)誤差進行分析，并在MATLAB實驗中驗證算法的有效性。

1 Akima算法的基本原理

Akima算法是Hiroshi Akima于1970年提出的一種曲線擬合算法，它是一種在已知數(shù)據(jù)點間建立一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的三次多項式算法[12]。在每兩個數(shù)據(jù)點間建立一條三次擬合曲線，整條曲線保證一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，該算法也被稱為五點擬合算法。

已知n個數(shù)據(jù)點pi(xi,yi)(i=0,1,…,n-1),在兩相鄰數(shù)據(jù)點pi(xi,yi)和pi+1(xi+1,yi+1)間確定一個三次多項式：

r(u)=Ai+Bi(u-ui)+Ci(u-ui)2+
Di(u-ui)3

(1)

u∈[ui-1,ui]

(2)

k=1,2,…,n-1

式中，uk為刀位點的節(jié)點參數(shù);Ai、Bi、Ci、Di均為系數(shù)向量。

式(1)稱為“節(jié)點參數(shù)化”的Akima曲線多項式，該Akima曲線稱作“節(jié)點參數(shù)化Akima曲線”。

為了得到式(1)的三次多項式，需要確定其中的系數(shù)向量Ai、Bi、Ci和Di，計算表達式為

(3)

k=1,2,…，n-1i=1,2,…,n-1

式中，mk為pi(xi,yi)和pi+1(xi+1,yi+1)兩數(shù)據(jù)點間線段的斜率向量；s(ui)為pi(xi,yi)和pi+1(xi+1,yi+1)兩數(shù)據(jù)點間線段的切線向量。

2 基于弧長參數(shù)的約束刀位點Akima擬合算法

2.1 基于測試約束的刀位點分段

在數(shù)控加工中，不同的曲線或曲面輪廓對應(yīng)不同的刀位點分布，根據(jù)加工件輪廓的復(fù)雜程度，生成的刀位點大多數(shù)是疏密不一的，平坦的局部輪廓曲線的刀位點比較分散，有曲率的輪廓處的刀位點則相對密集，而且曲率越大，刀位點密集度越大。

針對刀位點的疏密程度，考慮利用Akima曲線誤差測試約束對刀位點進行分段的預(yù)處理。Akima曲線誤差測試包括雙弦誤差測試和弦切誤差測試。如圖1所示，給定任意依次連接的3個刀位點Pi-1、Pi和Pi+1，ai-1和ai是相鄰刀位點之間的連線長度，R是通過Pi-1、Pi和Pi+1的圓半徑，δ1和δ2是雙弦誤差。如果弦誤差δ1和δ2同時都小于設(shè)定的最大輪廓誤差δmax,那么相鄰兩條小線段Pi-1Pi和PiPi+1就可以看成一條符合Akima曲線擬合條件的連續(xù)小線段。

圖1 雙弦誤差Fig.1 The bi-chord error

在滿足上述雙弦誤差條件的前提下，對于任意兩個刀位點Pi和Pi+1，必須符合弦切誤差標準，如圖2所示，點M是分別過點Pi和Pi+1的兩條切線的交點，d是交點M到直線PiPi+1的距離，PiM和Pi+1M分別是點Pi和Pi+1處的弦切值。

圖2 弦切誤差Fig.2 The tangent-chord error

圖3 刀位點約束分段擬合示意圖Fig.3 The segmented fitting with CL points

2.2 刀位點的弧長參數(shù)化

針對刀位點的Akima分段擬合，在進行刀位點搜索時，隨著搜索持續(xù)和中止的交替進行，擬合分段數(shù)不斷發(fā)生變化，而節(jié)點參數(shù)ui與刀位點分段有關(guān)，根據(jù)刀位點的累計弦長計算每個刀位點的節(jié)點參數(shù)，因此可將刀位點弧長參數(shù)化，實現(xiàn)Akima刀位軌跡擬合方法。

計算斜率向量(mix,miy]，其表達式為

(4)

i=1,2,…,n-1

其中，li表示相鄰刀位點的弧長，考慮刀位點距離不均和計算方便，用雙弦誤差測試方法中的圓弧[9]近似代替弧長：

(5)

式中，R為弧長li所在的半徑；β為li對應(yīng)圓心角。

R與β的計算如下：

(6)

式中，θi為相鄰弦長之間的夾角。

于是,弧長參數(shù)化Akima曲線為

ri(l)=Ai+Bi(l-li)+Ci(l-li)2+
Di(l-li)3

(7)

l∈[0,li]

i=1,2,…，n-1

由于計算需要，在首末刀位點處補充4個輔助斜率向量，計算如下：

(8)

s(li)=

(9)

i=1,2,…,n-1

依次由式(6)、式(7)、式(4)、式(8)和式(9)聯(lián)立得出式(5)的系數(shù)向量Ai、Bi、Ci和Di，計算表達式為

(10)

i=1,2,…,n-1

在擬合中，前一段的末點已計算的切線向量保留為下一段起點切線向量，以保證擬合曲線的G1連續(xù)性，下一段末點切線向量，根據(jù)弧長參數(shù)化，依此遞推方式計算。

如圖4所示，點Pi,Pi+1,…,Pi+5分別是2.1節(jié)中搜索中止的部分刀位點，ai,ai+1,…，ai+4分別是搜索中止的相鄰刀位點之間的距離，li,li+1,…,li+4分別是3個相鄰刀位點之間的圓弧長度，近似為相鄰刀位點的曲線弧長。按圖中箭頭的方向，保留Pi點的切線向量s(li)，在未知全部刀位點的前提下，搜索下一個刀位點Pi+1，通過弧長參數(shù)化，計算Pi+1點的切線向量s(li+1)，然后計算Pi與Pi+1段的Akima曲線r(l)(0≤l≤li)。同樣保留該點的切線向量s(li+1)，繼續(xù)向下搜索如圖中的Pi+2、Pi+3、Pi+4、Pi+5時，在相鄰刀位點之間依次利用弧長參數(shù)進行Akima曲線的遞推式擬合，直至結(jié)束。

圖4 刀位點弧長參數(shù)化遞推示意圖Fig.4 The recursive schematic of arc length parameterization

2.3 刀位點的約束算法流程

利用UG10.0軟件, 以鼠標模型為加工實例，在選擇好刀具、加工余量、加工方法等參數(shù)后，生成的刀位點云圖見圖5，圖6是它的局部放大圖。

圖5 鼠標刀位點云圖Fig.5 The Cl points with mouse map

圖6 鼠標局部刀位點放大圖Fig.6 Local CL points enlargement with mouse

采用基于弧長參數(shù)的Akima刀位軌跡擬合方法進行擬合，如圖7所示。首先依據(jù)測試約束依次搜索要擬合段的終點刀位點 ，然后計算刀位點切線向量等幾何信息，擬合Akima曲線。將搜索到的刀位點作為下一段Akima曲線的起點，繼續(xù)搜索不滿足閾值的刀位點，并作為下一段終點，且擬合該段Akima曲線。

圖7 弧長參數(shù)化的Akima擬合流程圖Fig.7 Akima fitting flow chart with arc length parameterization

3 實例分析

為了驗證本文提出的弧長參數(shù)化Akima曲線擬合方法，利用UG建立鞋底模型，生成75個刀位點NC文件。具體驗證步驟是通過文獻[9]中的節(jié)點參數(shù)化Akima曲線與本文方法進行同種曲線的“內(nèi)部對比”，再與NURBS曲線進行曲線之間的“外部比較”，具體對比情況如圖8與表1所示。

(a)Akima曲線與NURBS曲線對比圖

(b)1處的局部放大圖

(c)2處局部放大圖圖8 三種曲線擬合方法對比Fig.8 Comparison of three curve fitting methods

誤差測試約束參數(shù)dset=0.002δset=0.02δset=0.01δset=0.06dset=0.001dset=0.0025刀位點及節(jié)點參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線數(shù)目75757575弧長11.060211.060211.060211.060211.118411.118411.118411.1184測試后刀位點及弧長參數(shù)化Akima曲線數(shù)目45355434弧長11.060211.060211.060211.060211.105611.099611.106211.1045

圖8a是三種曲線擬合方法對比圖，實線表示節(jié)點參數(shù)化曲線，虛線表示弧長參數(shù)化Akima曲線，點畫線表示NURBS曲線。通過誤差測試約束的弧長參數(shù)化Akima曲線與節(jié)點參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線從整體上看吻合程度較好，如圖8b所示。圖8c中兩種Akima擬合方法逼近效果較好，而與NURBS 擬合曲線吻合效果不好，究其原因,NURBS沒有通過刀位點,與Akima曲線有較大偏差，無論NURBS是逼近還是插值，所擬合曲線均是全局擬合且由控制點個數(shù)決定，同時與刀位點均勻分布緊密相關(guān)，當?shù)段稽c分布不均勻時，可能導(dǎo)致NURBS 曲線有扭曲現(xiàn)象。而弧長參數(shù)化Akima曲線是遞推進行、局部擬合的，且具有弧長信息，為后續(xù)插補提供方便。

綜上所述，在Akima曲線的“內(nèi)部對比”方面，經(jīng)誤差測試約束的刀位點數(shù)與原始刀位點相比，數(shù)量有了很大減少，表明后續(xù)的擬合Akima曲線段數(shù)會有明顯減少。設(shè)置不同參數(shù)，擬合Akima曲線的弧長與原始刀位點的弧長接近，表明曲線能夠重構(gòu)出原始的幾何形狀，且能保證曲線的凸凹性。設(shè)置不同誤差測試約束參數(shù)，得到不同的測試后保留的刀位點；在曲線之間的“外部對比”方面，盡管NURBS曲線與Akima曲線的整體擬合效果比較接近，但在局部效果上，由于NURBS的曲線全局擬合性質(zhì)，呈現(xiàn)出與Akima曲線有所偏差的擬合狀態(tài)，且從擬合曲線弧長看，以節(jié)點參數(shù)化Akima曲線弧長為參考，NURBS曲線弧長比弧長參數(shù)化Akima曲線弧長略大(表1)。因此，基于鞋底模型的Akima與NURBS插值擬合刀位點約束算法的擬合效果相對較好的條件是：δset=0.02、dset=0.0025，約束后刀位點34個。

4 結(jié)論

為了將刀位點擬合成Akima樣條曲線，本文提出了基于弧長參數(shù)的Akima刀位軌跡擬合算法。首先利用誤差測試約束方法來選取擬合曲線的起止刀位點，然后對選取的刀位點進行弧長參數(shù)化，實現(xiàn)遞推式擬合過程，即實現(xiàn) “加入刀位點—對其進行弧長參數(shù)化—擬合Akima曲線”這種遞推式擬合模式，且上一段終點刀位點切線向量等幾何信息也是下一段起點的幾何信息，不需要重復(fù)計算從而提高計算效率。利用UG生成的鞋底模型，通過誤差測試約束刀位點，對比了弧長參數(shù)化Akima曲線與節(jié)點參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線之間的擬合，驗證了提出方法的有效性。

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StudyonAkimaCurve-fittingAlgorithmwithTool-pathBasedonArc-lengthParameters

ZHOU Peng1WU Jichun1ZHOU Huicheng2YANG Shiping1LIU Jingang1MA Qiucheng1

1.The Engineering Center of Ministry of Education of Complex Trajectory Processing Technology and Equipment,Xiangtan University,Xiangtan,Hunan,411105 2.National NC System Engineering Research Center,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan,430074

In NC machining, tool-path was usually expressed by micro-line shocks, which might result in the magnitude of the cutter location(CL)points whose trajectory was unsmooth. The CL points were fitted into Akima spline curve with its advantages of smooth junction and the node points for over G1-continuity,thus the Akima curve-fitting algorithm preserving convexity for tool-path was proposed based on arc-length parameters. The algorithm was divided into two stages including CL points’ searching and curve fitting. Firstly the features of CL points, the error testing constraints including bi-chord error tests and tangent error tests for fitting the tool trajectory were used to judge the adjacent CL points by the threshold of the testing constraints, if they were satisfied with the threshold continue to search the next tool location point(TLP), otherwise, CL points’ searching might be suspended and the first and end points of the segment were attained, then the tangent vectors were calculated according to the first and end points in this segment to ensure the concavity and convexity of the fitted curves, and the arc-length was used to parameterize the CL points ,so that a section of Akima spline between the adjoining CL points which had paused to searching were generated. When this segment of Akima curve fitting was accomplished, then the end point of the section was regarded as the first point of the next section, as the circle to the end. The model of the shoe sole(consists of 75 CL points) were generated by ultilizing UG software. The different testing thresholds were set up to compare the Akima curves whose arc-length was parameterized with the Akima curves whose knots were parameterized and NURBS curves based on MATLAB programming and simulation experiments were used to validate effectiveness of the algorithm.

micro-line shock; Akima algorithm; arc-length parameter; bi-chord error test; tangent error test

2016-08-25

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375419，51575466，51575210)；湖南省自然科學(xué)聯(lián)合基金資助項目(2017JJ4053)；湖南省教育廳創(chuàng)新平臺資助項目(17K091)

TH-39

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.005

(編輯華中平)

周鵬，男，1991年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心碩士研究生。主要研究方向為樣條擬合、三維造型。吳繼春(通信作者),男,1979年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心博士、副教授。E-mail:xlzy888@163.com。周會成,男,1974年生。華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心副教授。楊世平,男,1970年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心副教授。劉金剛，男，1979年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心副教授。馬秋成，男，1964年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心教授。