藤瑞品 宋曉琳

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，410082

二維隨機(jī)載荷作用下疲勞壽命的研究

藤瑞品 宋曉琳

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，410082

基于Goodman公式和Miner損傷定則，提出了一種考慮載荷均值影響的二維隨機(jī)載荷作用下疲勞壽命的計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上以幅值和均值均符合正態(tài)分布的隨機(jī)載荷為研究對象，推導(dǎo)出了其當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)和等效載荷的數(shù)學(xué)模型，采用Gauss-Legendre求積公式進(jìn)行積分運(yùn)算，對該載荷作用下的疲勞壽命進(jìn)行了研究。分析了等效載荷隨載荷均值和幅值不同分布參數(shù)變化而變化的規(guī)律，并與不考慮載荷均值的一維隨機(jī)載荷作用下的等效載荷進(jìn)行了對比。研究結(jié)果表明：載荷均值μm的正負(fù)變化對等效載荷產(chǎn)生明顯的影響，負(fù)的μm導(dǎo)致等效載荷降低，甚至低于一維隨機(jī)載荷作用下的等效載荷；而正的μm會(huì)導(dǎo)致等效載荷迅速增大以至到遠(yuǎn)大于一維隨機(jī)載荷作用的等效載荷；當(dāng)μm=0時(shí)，二維隨機(jī)載荷則略高于一維隨機(jī)載荷作用的等效載荷。

二維隨機(jī)載荷;載荷均值;高斯分布;等效載荷;疲勞壽命

0 引言

在進(jìn)行材料疲勞耐久性研究時(shí)，載荷的施加一般有兩種處理方法，一是施加循環(huán)載荷，二是施加隨機(jī)載荷。采用隨機(jī)載荷加載時(shí)由于考慮了載荷的統(tǒng)計(jì)特性，因此要比采用循環(huán)載荷加載更符合實(shí)際使用條件。

隨機(jī)載荷一般服從某種連續(xù)性的概率分布，例如正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布、極值分布以及三參數(shù)威布爾分布等[1]。胡建軍等[2]針對載荷幅值為正態(tài)分布的情況研究了載荷比例系數(shù)和變差系數(shù)之間的關(guān)系，并以隨機(jī)載荷為輸入對齒輪的疲勞壽命進(jìn)行了試驗(yàn)研究。高孝旺[1]針對載荷幅值為威布爾分布的情況分析了三參數(shù)威布爾分布的三個(gè)參數(shù)對等效載荷、載荷比例系數(shù)的影響趨勢，以及載荷波動(dòng)程度即變異系數(shù)對載荷比例系數(shù)的影響趨勢，對同均值條件下正態(tài)分布與三參數(shù)威布爾分布的等效載荷進(jìn)行了對比。武瀅等[3]針對載荷幅值和均值都為隨機(jī)分布的情況，以聯(lián)合概率密度為基礎(chǔ)建立了疲勞壽命的分布預(yù)測模型。郭虎等[4]對汽車前橋載荷進(jìn)行采集，得到包含幅值和均值的載荷譜，并對采用Goodman經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換后的等效載荷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，得出在各種路面下等效載荷的分布符合三參數(shù)威布爾分布的結(jié)論，并給出了分布參數(shù)。王正等[5]建立了應(yīng)力幅值為隨機(jī)變量的隨機(jī)載荷作用下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命計(jì)算模型。陳欣等[6]對汽車傳動(dòng)系統(tǒng)的載荷譜進(jìn)行了研究，結(jié)果表明：傳動(dòng)系的載荷幅值符合對數(shù)正態(tài)分布，均值符合正態(tài)分布，且二者相互獨(dú)立。

汽車在隨機(jī)載荷作用下工作時(shí), 其載荷的均值與幅值都是隨機(jī)變化的,載荷均值的變化同樣會(huì)對零件的疲勞壽命造成較大影響。為了更準(zhǔn)確地對零件的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測，對載荷幅值和均值均為隨機(jī)變量的二維隨機(jī)載荷作用下的疲勞壽命進(jìn)行深入研究是非常有必要的。

為了確定考慮載荷均值影響的隨機(jī)載荷的統(tǒng)計(jì)特性，文獻(xiàn)[4]首先將采集到的載荷幅值和載荷均值信息通過Goodman經(jīng)驗(yàn)公式轉(zhuǎn)化為等效載荷，然后再對等效載荷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，從而得出等效載荷的統(tǒng)計(jì)特性。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是由于不考慮載荷幅值和載荷均值各自的統(tǒng)計(jì)特性，因此不需進(jìn)行復(fù)雜的概率計(jì)算；缺點(diǎn)是在當(dāng)載荷幅值和均值各自服從一定的統(tǒng)計(jì)分布特性的情況下，采用該方法分析得出的等效載荷的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律不夠準(zhǔn)確或不夠完整。

為了準(zhǔn)確地得到等效載荷的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，則必須對載荷幅值和均值各自的統(tǒng)計(jì)分布特性進(jìn)行分析，得到載荷幅值和均值各自的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，再通過幅值和均值的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)概率理論來推算出等效載荷的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。

1 二維隨機(jī)載荷作用下的疲勞壽命

1.1 二維隨機(jī)載荷作用下的Miner定則

目前在工程實(shí)際中，Miner累積疲勞損傷定則廣泛地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)件在變幅載荷下疲勞壽命的預(yù)測中[7-9]，在隨機(jī)載荷作用下的Miner定則如下：

(1)

式中，D為材料的累積疲勞損傷;N為材料受到的循環(huán)載荷總數(shù)量；S為材料受到的載荷；f(S)為隨機(jī)載荷的概率密度函數(shù)；Nf為材料在載荷S作用下的疲勞壽命。

假設(shè)零件受到幅值為Sa、均值為Sm的循環(huán)載荷作用，可以把點(diǎn)(Sa，Sm)用等壽命曲線等效到對稱循環(huán)上，根據(jù)Goodman公式，當(dāng)量載荷Seq的表達(dá)式[10]為

(2)

式中，σb為材料的拉伸強(qiáng)度。

根據(jù)對金屬材料疲勞性能曲線的研究[10]，對于整個(gè)中長壽命區(qū)，疲勞壽命和載荷之間的關(guān)系建議采用以下三參數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式:

Nf(S-S0)β=α

(3)

式中，S0、α、β均為待定常數(shù)。

文獻(xiàn)[11]提出的應(yīng)力疲勞壽命公式為

Nf=Cf(Seq-(Seq)c)-2

(4)

式中，Cf、(Seq)c分別為疲勞抗力系數(shù)和用等效應(yīng)力幅表示的理論疲勞極限，它們均為材料常數(shù)。

為了對式(4)進(jìn)行驗(yàn)證，文獻(xiàn)[12-13]以16Mn鋼和15MnVN鋼為對象進(jìn)行了研究，測定了16Mn鋼和15MnVN鋼的拉伸性能，并測定了φ10 mm光滑試件疲勞壽命，進(jìn)行了回歸分析，分析結(jié)果顯示采用式(4)來擬合低合金高強(qiáng)度鋼R=-1時(shí)的疲勞試驗(yàn)結(jié)果是有效的[11]。

假設(shè)零件受到連續(xù)二維隨機(jī)載荷作用，其當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)為f(Seq)，根據(jù)Miner準(zhǔn)則，零件在受到載荷總循環(huán)數(shù)為N時(shí)的累積疲勞損傷為

(5)

式(5)即為基于Goodman公式的二維隨機(jī)載荷作用下的Miner定則的表達(dá)式。當(dāng)D=1時(shí)，式(5)反求得到的N即為在隨機(jī)載荷作用下的疲勞壽命。

1.2 疲勞壽命的計(jì)算

基于二維隨機(jī)載荷作用下的Miner定則，疲勞壽命的計(jì)算方法如下：

(1)利用試驗(yàn)采集載荷譜數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計(jì)學(xué)分析得出載荷幅值和均值的分布特性和概率密度函數(shù)。

(2)基于Goodman公式和概率統(tǒng)計(jì)理論推導(dǎo)當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)f(Seq)。

(3)根據(jù)式(5)反求疲勞壽命，即

(6)

2 二維正態(tài)分布隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)

2.1 概率密度函數(shù)推導(dǎo)

根據(jù)式(2)，設(shè)Y=Sa，X=1-Sm/σb， 則Seq=Y/X。

當(dāng)X服從正態(tài)分布，且X～N(μ,σ2)時(shí),Y=AX+B同樣服從正態(tài)分布，且Y～N(Aμ+B,(Aσ)2)，據(jù)此可以得出X=1-Sm/σb～N(-μm/σb+1,(σm/σb)2)。

(7)

設(shè)Z=Seq，根據(jù)式(7)，其概率密度函數(shù)fZ(z)推導(dǎo)如下:

令

采用第一類換元法：

可得

設(shè)

則

根據(jù)函數(shù)e-at2的對稱性質(zhì)可知：

得出當(dāng)量載荷Seq的概率密度函數(shù)fZ(z)為

(8)

2.2 概率密度函數(shù)性質(zhì)驗(yàn)算

fZ(z)屬于不可積分函數(shù)，即其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，采用數(shù)值分析的方法對其進(jìn)行積分運(yùn)算。

表1 分布參數(shù)取值

表2所示為部分計(jì)算結(jié)果。

2.3 函數(shù)圖形分析

圖1～圖4為不同μ1、σ1、μ2、σ2取值情況下的fZ(z)的函數(shù)圖形。

對圖1～圖4進(jìn)行分析，可以得出以下結(jié)論。

(1)fZ(z)函數(shù)圖形形狀和正態(tài)分布函數(shù)形狀相似，主要為以下三點(diǎn)：①函數(shù)值具有峰值點(diǎn)，且z離峰值點(diǎn)越遠(yuǎn)，函數(shù)值越??；②函數(shù)在峰值點(diǎn)兩側(cè)都有拐點(diǎn)；③曲線以水平軸為漸近線。

表2 部分驗(yàn)算結(jié)果

圖1 μ1對fZ(z)的影響曲線Fig.1 fZ(z) curve under influence of μ1

圖2 σ1對fZ(z)的影響曲線Fig.2 fZ(z) curve under influence of σ1

圖3 μ2對fZ(z)的影響曲線Fig.3 fZ(z) curve under influence of μ2

圖4 σ2對fZ(z)的影響曲線Fig.4 fZ(z) curve under influence of σ2

(2)在其他三個(gè)參數(shù)不變的情況下，μ1減小、σ1、μ2、σ2增大使函數(shù)峰值減小，同時(shí)函數(shù)曲線形狀變平緩。

(3)μ2的增大使得峰值點(diǎn)向右移動(dòng)，μ1和σ1的增大使峰值點(diǎn)向左移動(dòng)，σ2的變化不改變峰值點(diǎn)位置。

3 疲勞壽命分析

3.1 等效載荷

從總的作用效果來看, 在隨機(jī)載荷與循環(huán)載荷兩類載荷作用下的最終結(jié)果都是導(dǎo)致構(gòu)件的損傷狀態(tài)達(dá)到臨界值而發(fā)生失效[16],可以認(rèn)為對應(yīng)于某隨機(jī)載荷過程，一定存在一個(gè)與它等效的恒幅載荷，使得構(gòu)件在相同的初始狀態(tài)下, 經(jīng)過相同的作用時(shí)間同時(shí)發(fā)生損壞。定義該恒幅載荷為隨機(jī)載荷的等效載荷，用SD表示。

根據(jù)式(4)和式(6)，并對于小于疲勞極限(Seq)c的載荷按照小載荷省略準(zhǔn)則[7]進(jìn)行省略處理，可推導(dǎo)出等效載荷的計(jì)算公式為

(9)

等效載荷和疲勞壽命的對應(yīng)關(guān)系見式(4)，對疲勞壽命的研究可轉(zhuǎn)化為對等效載荷的研究。

3.2 分布參數(shù)對等效載荷的影響

以16Mn材料為例，針對不同的載荷分布參數(shù)μ1、σ1、μ2、σ2，對二維獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)載荷的等效載荷進(jìn)行分析計(jì)算。

在進(jìn)行分析時(shí)，不允許材料在加載過程中出現(xiàn)等效載荷超過抗拉強(qiáng)度的情況，所以計(jì)算等效載荷時(shí)，取積分上限為材料的抗拉強(qiáng)度。同時(shí)計(jì)算當(dāng)量載荷大于抗拉強(qiáng)度的概率，當(dāng)隨機(jī)載荷發(fā)生1次大于抗拉強(qiáng)度的概率所對應(yīng)的載荷樣本數(shù)量n小于所計(jì)算的等效載荷的疲勞強(qiáng)度所對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)時(shí)，以n做為該隨機(jī)載荷的疲勞強(qiáng)度，其對應(yīng)的載荷作為等效載荷。低于疲勞極限的情況按疲勞極限處理。

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)的研究結(jié)果[7]，16Mn的材料疲勞抗力系數(shù)Cf= 3.95×108，用當(dāng)量應(yīng)力幅表示的理論疲勞極限(Seq)c=261 MPa。以此數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)對表1中不同分布參數(shù)下的等效載荷進(jìn)行計(jì)算，并將μ2、σ2取值一樣時(shí)不考慮載荷均值影響下的一維隨機(jī)載荷作用下的等效載荷進(jìn)行對比。在進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，仍采用Gauss-Legendre求積公式。

表3為μ2和σ2為固定值(分別為210，40)、不同的μ1、σ1條件下等效載荷的計(jì)算結(jié)果。根據(jù)表3的計(jì)算結(jié)果可以得出：等效載荷的大小隨μ1增大而減小，隨σ1增大而增大。其他μ2和σ2情況下的分析可得出相同的結(jié)論。

對μ1<1，μ1=1，μ1>1(分別對應(yīng)μm>0、μm=0、μm<0)三種情況進(jìn)行分析，取μ1=0.75、μ1=1.00、μ1=1.25，并對應(yīng)σ1=0.05和σ1=0.1兩種情況，分析結(jié)果見表4～表7，表8為不考慮載荷均值的一維隨機(jī)載荷作用下的等效載荷。

對表4～表7進(jìn)行分析可以得到：

(1)等效載荷隨著μ2、σ2(σ、μ)的增大而增大。

(2)當(dāng)μ1=1時(shí)，考慮載荷均值的二維隨機(jī)載荷和不考慮載荷均值的一維隨機(jī)載荷的等效載荷基本相當(dāng)，前者比后者略大。

(3)當(dāng)μ1=0.75時(shí)，隨著μ2、σ2的增大，二維隨機(jī)載荷的等效載荷迅速增大，直至遠(yuǎn)大于一維隨機(jī)載荷的等效載荷。

(4)當(dāng)μ1=1.25時(shí)，二維隨機(jī)載荷的等效載荷小于一維隨機(jī)載荷的等效載荷。

(5)對μ1為其他取值的分析情況與上述結(jié)果類似，當(dāng)μ1>1時(shí)，二維隨機(jī)載荷的等效載荷減小直至小于一維隨機(jī)載荷的等效載荷，而當(dāng)μ1<1時(shí), 二維隨機(jī)載荷的等效載荷會(huì)迅速增大。

表3 不同μ1、σ1下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)(μ2=210，σ2=40)

表4 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)(μ1=0.75，σ1=0.05)

表5 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(μ1=1，σ1=0.05)

表6 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(μ1=1，σ1=0.1)

通過上述分析可知，μ1偏離1的正負(fù)方向?qū)Φ刃лd荷的影響非常大,其原因是：當(dāng)μ1>1時(shí)實(shí)際上對應(yīng)的載荷均值Sm的均值μm<0，而μ1<1對應(yīng)的μm>0。根據(jù)式(2)，正的Sm值會(huì)使當(dāng)量載荷增大，而負(fù)的Sm值則會(huì)對當(dāng)量載荷起到減小的作用，從而導(dǎo)致了等效載荷對μ1偏離1的正負(fù)方向敏感。

3.3 疲勞壽命計(jì)算

在得出等效載荷后，根據(jù)式(4)計(jì)算疲勞壽命，計(jì)算結(jié)果一并列入了表3～表8。

表7 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)(μ1=1.25，σ1=0.1)

表8 一維隨機(jī)載荷的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)

4 結(jié)論

(1)基于Goodman公式和Miner累積損傷定則，提出了一種考慮載荷均值影響的二維隨機(jī)載荷作用下疲勞壽命的計(jì)算方法；在此基礎(chǔ)上對載荷均值和載荷幅值均符合正態(tài)分布、且相互獨(dú)立的二維隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出了該二維隨機(jī)載荷的概率密度函數(shù)和等效載荷的數(shù)學(xué)模型。

(2)研究了二維獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)載荷作用下的等效載荷的變化規(guī)律，并與一維隨機(jī)載荷的等效載荷進(jìn)行了比較。研究結(jié)果表明，載荷均值對二維正態(tài)隨機(jī)載荷的等效載荷有較大的影響，在載荷均值Sm的均值μm<0時(shí)，等效載荷迅速減小甚至低于一維隨機(jī)載荷的等效載荷；當(dāng)μm=0時(shí)，考慮載荷均值的等效載荷比不考慮載荷均值的等效載荷略高；當(dāng)μm>0時(shí)，隨著μ2、σ2的增大，二維隨機(jī)載荷的等效載荷迅速增大，直至遠(yuǎn)大于一維隨機(jī)載荷的等效載荷。

(3)研究表明，在服從正態(tài)分布的二維隨機(jī)載荷的幅值和均值的分布特性為已知的情況下，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對疲勞壽命進(jìn)行分析和預(yù)測是可行的。該方法也適用于幅值和均值服從其他分布的二維隨機(jī)載荷，如威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布等。

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ResearchonFatigueLifeunderTwoDemensionRandomStresses

TENG Ruipin SONG Xiaolin

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

Based on Goodman formula and Miner damage rule, a calculation method of fatigue life was presented under two dimension random stresses considering influences of mean stress. The mathematical models of the probability density function of equivalent stress and the equivalent stress of two dimension random stress were deduced whose mean stress and stress amplitude followed Gaussian distribution. By integrating with Gauss-Legendre integration formula, the fatigue life was studied under the stress. The change regulations of the equivalent stress with the change of the distribution parameters of mean stress and stress amplitude were analyzed. The equivalent stress was compared with that under one dimension random stress not considering influences of mean stress. The results show: with positive and negative direction changing of the mean values of mean stress“μm”, the equivalent stress will be influenced obviously. Negativeμmwill result in equivalent stress reduction, even less than it under one dimension conditions. Positiveμmwill result in rapidly increase of equivalent stress, even greater than it under one dimension conditions. Whenμm=0, the equivalent stress under two dimension is a little more than it under one dimension conditions.

two dimension random stress； mean stress； Gaussian distribution； equivalent stress； fatigue life

2017-01-05

TH12;U46

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.019

(編輯王艷麗)

藤瑞品，男，1974年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生，高級工程師。研究方向?yàn)槠嚻谀途煤涂煽啃?。發(fā)表論文2篇。E-mail:trpll@163.com。宋曉琳，女，1965年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。