張合遠

【摘要】錯題是初中數(shù)學教學中的重要資源，教師要重視其教育價值，將錯題靈活地運用于數(shù)學教學當中，引發(fā)思維碰撞，進而激發(fā)學生學習興趣，提升學生反思能力，促進學生合作學習，優(yōu)化課堂結構，巧讓“錯題”生成“精彩”。

【關鍵詞】錯題資源 有效利用 思維能力

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）48-0112-02

布魯納說：“錯誤是有價值的”。怎樣才能發(fā)揮學生出錯的最大價值，這取決于教師在課堂教學中，如何有效利用學生的錯誤資源，順應學生的思維，挖掘錯誤背后根源，追尋糾錯策略。錯誤是學生學習中的寶貴經(jīng)歷，也是教學過程中的重要資源。面對錯題，我們應本著以人為本的教育理念，以研究者的角色，以積極的態(tài)度，善加利用，巧妙引導，抓住稍縱即逝的教學機遇，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生反思意識，提高學生的合作探究及創(chuàng)新能力，拓展學生思維空間，優(yōu)化課堂結構，從而促進學生情感、態(tài)度、價值觀的和諧發(fā)展，巧讓“錯題”生成“精彩”。

一、善用錯題，激發(fā)興趣，喚醒精彩

英國心理學家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的”。對待錯誤，是“一棍子”打死，還是師生一同尋找錯因、商討對策？還是利用錯誤中的合理因素，把錯誤作為一種可利用的資源？唯物辯證法認為，事物之間是有聯(lián)系的，在一定的條件下可以互相轉化，壞事可以變成好事?！板e誤”資源巧妙地“轉化”，不僅能讓學生盡快走出誤區(qū)，而且能激活學生的創(chuàng)新思維。

【案例1】計算分式：-

對于本題，有個學生給出了下面的解法：

原式=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8

顯然有誤，有學生在下面竊竊私語。

師：“錯在哪？”

生：“張冠李戴了，把分式運算當成了解方程?！?/p>

師：“這位同學把分式運算當成了解方程，顯然是錯的，但這種想法很有創(chuàng)意，它給我們一個啟示，能否考慮利用解方程的方法來解它呢？”

學生經(jīng)過思考、討論，最后終于形成了以下解法：

設-=A

去分母得：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-2）

解得：A==-

【評析】本案例中，正是因為筆者對學生錯誤的悅納和欣賞，且因勢利導，才使學生的好奇心和創(chuàng)造力在“出錯”中發(fā)出異常的光彩。因此，在現(xiàn)實的數(shù)學課堂中，教師要勇于面對學生的非預設生成的錯誤資源，積極對待，冷靜處理，發(fā)掘出學生錯誤中的合理內(nèi)涵，把學生的這些非預設生成盡可能轉化為有助于課堂教學的素材，合理地予以運用，變廢為寶，使課堂變得絢麗多彩。

二、巧用錯題，引導反思，成就精彩

在學習過程中，不同的學生有著不同的知識背景，不同的情感體驗，不同的表達方式和參差不齊的思維水平，因此，出錯在所難免。出錯是因為學生還不成熟，認識問題往往帶有片面性；出錯，是因為學習是從問題開始，甚至是從錯誤開始的；出錯，才會有點撥、引導和解惑，才會有反思、創(chuàng)新和超越。教師不僅應該適當?shù)卦O置一些有一定思維價值、能激發(fā)學生驚奇感的問題，讓學生在這些錯誤中進行切身體會，還要引導學生在辨析錯誤的同時去領悟、去反思，激發(fā)學生學習探索的興趣，并帶著如何解決這些問題的強烈愿望去遷移知識、分析思考，從而加深對知識本質的理解。

【案例2】已知，如圖1，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，求證：AB=AC.

生1（不假思索）：證△ABD≌△ACD就能得到。

師：△ABD≌△ACD的條件有嗎？

生（異口同聲）：∵∠1=∠2，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSA）

師：三角形全等的判定中有“SSA”嗎？

生2：沒有，但是“HL”不就是“SSA”嗎？

師：“HL” 和“SSA”分別是什么意思？

生2：“HL”是指滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；“SSA” 是指滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等。

師：“HL”是指：如圖2，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∵∠C=90°，∠C′=90°，AB= A′B′，BC=B′C′

∴Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′

“SSA” 是指：如圖3，在△ABC和 △ A′B′C′中，

∵ AB= A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′

∴△ABC≌ △A′B′C′它們滿足的條件一樣嗎？

生3：一樣。因為圖2中∠C=90°，∠C′=90°，這不就是∠C=∠C′嗎？如此一來，圖2中的兩個三角形和圖3中的兩個三角形，它們滿足的條件不都是“兩邊和其中一邊的對角對應相等”嗎？

師：不錯，的確如此。

生4：（沉不住氣）：那么“HL”就是“SSA”， “SSA”可以判定兩個三角形全等。

師：下面大家來思考這問題，如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，在BC上取一點D（中點除外），那你們說△ABD和△ACD是不是也滿足“SSA”的條件？

生5：AB=AC，AD=AD，∠B=∠C，的確滿足“SSA”的條件。

師：那你說它們?nèi)葐幔?/p>

生（齊）：一看就知道不全等。

師：其實當兩個三角形滿足“兩邊和其中一邊的對角對應相等”條件時，是不能判定這兩個三角形全等的，除非只有當此“對角”大于另一組等量的邊的對角時，它們才全等。而直角三角形恰能滿足此條件，所以判定三角形全等只有“HL”而沒有“SSA”。

……

【評析】通過對錯解的辨析與反思，強化刺激學生思維，產(chǎn)生思維碰撞，達到“去偽存真”的目的。這一過程也充分調動了學生的參與熱情，全面激發(fā)了學生的個體潛能，幫助學生突破思維障礙，使他們由“誤”到“悟”。endprint

三、錯就錯，合作交流，呈現(xiàn)精彩

數(shù)學教學應最大限度地滿足每一個學生的需要，最大限度地開啟每一個學生的智慧潛能。對于似是而非，學生不易察覺的錯誤，如果教師只告訴正確的做法，難以觸及問題的實質，容易抑制學生主動性和創(chuàng)造性的發(fā)展。如果對這些錯誤巧妙地加以利用，將錯就錯，多給學生思維的時間和空間，這不僅能使不同層次的學生發(fā)現(xiàn)錯誤，提高學習的積極性，而且可以揚長補短，促進學生合作交流意識的發(fā)展。

【案例3】一道關于特殊三角形的測試題：將一張長方形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到兩張三角形紙片如圖5，將這兩張紙片擺放成如圖6的形式，使點B，D重合，B，C，E在同一直線上，已知AB=4，BC=3，現(xiàn)固定△ABC位置，將△DEF沿射線BC方向平移，在整個平移過程中，要使△ACE成為等腰三角形，△DEF平移的距離為 。

生1：距離為1。

生2：距離為2。

生3：距離為

生4：距離為1，2或。

師：大家同意哪位同學的觀點？

生5：好像還有種情形。

師：那么就請同學們分組討論，探究△DEF平移的距離為多少？

【評析】大部分學生學習習慣較差，分析問題能力比較薄弱，他們雖然注意到了問題中“要使△ACE成為等腰三角形”這個條件，但沒有意識到需要完整的分類討論，而只對AC=AE或AC=CE或AE=CE這三種情形中的一種或兩種情形給出解答。給出三個答案的學生，有分類討論的意識，但忽視了“將△DEF沿射線BC方向平移”的條件，認為點E只能在線段BC上，或當AE=CE時點E在線段AE的中垂線上，卻無法求平移的距離。

本案例中，教師先讓學生獨立思考后再進行交流，無論是發(fā)言者還是傾聽者，都會有較大的收獲。在合作探究中學生不但復習了特殊三角形的相關知識，并充分感受了分類的數(shù)學思想方法，同時使學生的思辨能力和合作探究能力得到培養(yǎng)與發(fā)展。當然，在交流過程中，難免會出現(xiàn)一些爭論，教師就是希望通過這樣的爭論讓學生明白，哪種做法是正確的，哪種做法是錯誤的，錯誤的原因在哪兒。這樣的合作和交流所起的效果遠遠超過了師生之間、生生之間單向的信息交流。這也正是新課程倡導的合作交流的魅力所在。

四、因勢利導，培養(yǎng)創(chuàng)新，點亮精彩

在數(shù)學教學中企圖讓學生完全避免錯題是不可能的，學生犯錯的過程就是一種嘗試和創(chuàng)新的過程。教師應該將錯題作為培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的契機，引領學生從錯題中找出與正確方法之間的聯(lián)系，因勢利導，發(fā)揮學生分析、解決問題的創(chuàng)造性潛能，讓學生成為教學活動的主體，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維。

【案例4】九年級上冊期末復習課中一個題目：在△ABC中，∠B= 25°，AD是BC邊上的高線，并且AD2 = BD·DC，求∠BAC的度數(shù)。

學生一看到題目馬上動手畫起如圖7所示的圖形，并作解答。

∵AD是BC邊上的高線

∴∠ADB =∠ADC=90°

∵AD2=BD·BC

∴=

∴△ABD ∽ △CAD

∴∠CAD=∠ABC=25°

∴∠ACB=90°-25°=65°

師：這個答案正確嗎？

生2： 還有可能是115°。

教師讓這位學生板演一下圖形，師生共同歸納了AD的位置，有二種情況：即當∠C是銳角時，高AD在三角形內(nèi)部；當∠C是鈍角時，高AD在三角形外部（如圖8），所以此題的解為65°或115°。正當全班無比興奮時，教師又提出了下列問題：設點H是等腰三角形ABC三條高線的交點（如圖9），在底邊BC保持不變時，頂點A到底邊BC的距離發(fā)生變化時，乘積 S△ABC·S△HBC是否發(fā)生變化？（提示把乘積S△ABC·S△HBC用含BC的代數(shù)式來表示）。

學生得到信息后，首先進行畫圖分析：S△ABC·S△HBC=BC·ADBC·HD=AD·HD·BC2，乘積S△ABC·S△HBC是否發(fā)生變化關鍵在AD· HD是否發(fā)生變化。觀察圖形易證Rt△BDH∽Rt△ADC，得AD· HD=BD· DC，由題意易知BD=DC=BC，則乘積S△ABC·S△HBC=BC2。所以當?shù)走匓C保持不變時，乘積S△ABC·S△HBC不發(fā)生變化。這時有些學生就有疑慮是否也要分類。我們知道，三角形三條高線的交點位置有在三角形內(nèi)，三角形外，三角形頂點上三種情況.因此本題解答時必須對∠A進行分類，有∠A是銳角、鈍角、直角三種情況。同學們再對∠A是鈍角、直角時用同樣方法進行探究，得出結論同∠A是銳角時一樣。所以當?shù)走匓C保持不變時，乘積S△ABC·S△HBC不發(fā)生變化。

【評析】數(shù)學學習的過程是一個再創(chuàng)造的過程，本案例中，對于錯誤的出現(xiàn)，教師留給了學生充分“講理”的機會，順應了學生的思維，挖掘出錯題背后的創(chuàng)新因素，細心呵護學生創(chuàng)新的萌芽，適時、適度地給予點撥和鼓勵，使其茁壯成長，為課堂教學增添生命的活力。

五、捕捉錯題，優(yōu)化課堂，綻放精彩

優(yōu)化課堂教學結構是減輕學生負擔，提高課堂效率的主渠道。而錯題作為數(shù)學學習的必然產(chǎn)物，教師要善于捕捉錯題中的“閃光點”，及時調整教學流程，利用錯題資源重組教學，使教學處于動態(tài)的平衡之中，從而實現(xiàn)教學過程的優(yōu)化。讓學生在全方位剖析錯題的過程中，培養(yǎng)其問題意識和獨立思考能力，提高數(shù)學探究能力，綻放數(shù)學課堂的精彩。

【案例5】九年級復習課中一個題目：在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與坐標軸圍成的三角形，叫作一次函數(shù)的坐標三角形。若某個一次函數(shù)的圖像與x，y軸分別于點A，B，則△ABC為此函數(shù)的坐標三角形。

（1）求函數(shù)y=-x+3的坐標三角形的三邊長。

（2）求函數(shù)y=- x+b（b為常數(shù)）的坐標三角形的周長為16，求此三角形面積。

對于第（2）題，學生是這樣解答的：因為y=- x+b的圖像與y軸的交點為（0，b），與x軸的交點為（b，0），所以坐標三角形的斜邊長為b，所以由b+b+b=16，得b=4，所以S△=b·b=。

【評析】 第（2）小題解法中的錯誤經(jīng)常出現(xiàn)在有關坐標與線段長度轉換的問題中，是比較普遍和典型的。由于解題的答案是正確的，出現(xiàn)這種錯誤很具迷惑性，因此教師把解答過程展示給學生，讓他們自己辨析和判斷，很多學生不能很快發(fā)現(xiàn)以上解答的錯誤原因。此時若教師不直接告知學生，而是讓他們經(jīng)過畫圖討論和交流，學生加深了對坐標系中怎樣“用點的坐標表示線段長度”這個知識點的認識（有的學生發(fā)自內(nèi)心地說：原來是這樣，下次我會注意的）。這種把學生錯誤解答作為資源，糾正他們對知識的錯誤認知，在教學中起到的效果大于教師正面的講解和引導，從而優(yōu)化了課堂結構，促進了生態(tài)課堂的形成。

錯題是學生學習、教師教學過程中動態(tài)生成的“利教、研學”資源，善待并巧用“錯題”，可以激發(fā)學生學習興趣，增加學生學習信心，促進學生合作學習，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維，提升學生反思能力，從而優(yōu)化課堂結構?？傊處熡行Ю贸踔袛?shù)學教學中的錯題資源可以使數(shù)學課堂綻放別樣的“精彩”。

參考文獻：

[1]李宗梅.讓創(chuàng)新之花盛開在數(shù)學課堂——談在初中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維[J].數(shù)學學習與研究：教研版2010，（20）.

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