□何 瓊 馬冬文

（江西工業(yè)貿(mào)易職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江西 南昌 330038）

基于微積分思想的幾何應(yīng)用

□何 瓊 馬冬文

（江西工業(yè)貿(mào)易職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江西 南昌 330038）

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)開設(shè)的一門重要課程，旨在微積分思想的學(xué)習(xí)，本文從曲邊梯形面積求解的過程理解微積分，并引出定積分的定義，然后對(duì)這個(gè)定義進(jìn)行特殊化，從而有了一系列的應(yīng)用，為今后的學(xué)習(xí)作好鋪墊和借鑒。

微積分；定積分定義應(yīng)用；二重積分

微積分概括起來，主要有四種類型的問題：第一類是物理問題，研究物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，也就是變速直線運(yùn)動(dòng)中求瞬時(shí)速度的問題。第二類是幾何問題，求曲線在某一點(diǎn)處的切線。第三類問題是函數(shù)問題，求函數(shù)在某區(qū)間上的最大值和最小值。第四類問題是求曲線弧長、若干條曲線圍成圖形的面積、若干個(gè)曲面圍成立體的體積，還有不規(guī)則物體的重心、物體外一點(diǎn)對(duì)物體的引力。其中第四類問題中求若干曲線圍成圖形的面積，演化為求曲邊梯形的面積，這就是微積分思想的核心定義——定積分的定義。

1 定積分的定義

定積分的定義就從求解曲邊梯形面積的角度去理解，由曲線y=f(x)，直線x=α,x=b以及x軸所圍的圖形，稱為曲邊梯形，求其面積需要分四個(gè)步驟求解。

第一步，概括為“分割”，將區(qū)間[α,b]分割成n份，α=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b每一小份的長度記為△xi=xi-xi-1(i=1,2,…)。

第二步，歸納為“取近似”，將分割的每個(gè)小的曲邊梯形近似為長方形，求其面積，近似為求長方形的面積，長方形面積是長乘以寬，在區(qū)間[xi-1,xi]上任意取一點(diǎn)ξi，以此點(diǎn)在曲線上的高度f(ξi)為高，以△xi為寬，長方形面積就是△Ai≈f(ξi)·△xi。

第三步，簡稱為“求和”，我們需要求的是整個(gè)曲邊梯形的面積，上一步只求了其中一小塊面積的近似值，所以整個(gè)面積是將所有小塊面積相加

最后一步，為了到達(dá)精確，完成求曲邊梯形的面積的真實(shí)值，需將第一步無限分割下去，總結(jié)為“求極限”，注意到第一步的分割是隨意分割的，為描述無限分割，記，那么當(dāng)λ→0，就說明所有的小段均趨向于零，ξi、xi-1、xi三點(diǎn)就無限靠近，幾乎重合，高f(ξi)就成為某一點(diǎn)處的高度，就可以計(jì)算出真實(shí)面積，將此定義為定積分

2 定積分定義應(yīng)用于求極限

現(xiàn)在將上述第一步和第二步進(jìn)行特殊化，第一次特殊化是將區(qū)間[α,b]任意的分割，換成特意分成n等份，每一段的長度就為；第二次在區(qū)間[xi-1, xi]上任意取一點(diǎn)ξi，由于是在閉區(qū)間上取得點(diǎn)可以任意取，所以ξi取右端點(diǎn)xi，那么第三次，取α=0,b=1，則,那么，這樣一來，定積分的定義式變成了如下模樣：

由我們推到出來的等式，可以用來求解較復(fù)雜的數(shù)列極限，下面給兩個(gè)例題進(jìn)行說明。

3 應(yīng)用的升華

我們上面特殊化的第二步：ξi取右端點(diǎn)xi，當(dāng)然也可以取左端點(diǎn)xi-1，定積分定義式又可以變成此外，還可將其推廣到二重積分：積分區(qū)域D取作正方形D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，用平行于x軸和平行于y軸的直線分割成小矩形，分割出來的一小塊的面積在小塊矩形內(nèi)任取的點(diǎn)取特殊化那么二重積分就變成

它可用于求解二重積分。

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.22.108

1004-7026（2017）22-0137-01

O172-4;G642

A