李莉莉, 劉 晨, 羅靜文

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116029)

一類切換時(shí)滯系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性

李莉莉, 劉 晨, 羅靜文

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116029)

無源性是描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的重要性質(zhì),增長(zhǎng)無源性是無源性的一種推廣形式。受時(shí)滯系統(tǒng)無源性和非時(shí)滯系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性的啟發(fā),提出一類切換時(shí)滯系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性定義。基于多李雅普諾夫函數(shù)方法,設(shè)計(jì)依賴于狀態(tài)的切換規(guī)則,Wirtinger積分不等式與Finsler引理相結(jié)合用于處理系統(tǒng)中的時(shí)滯項(xiàng),以線性矩陣不等式的形式給出切換時(shí)滯系統(tǒng)具有增長(zhǎng)無源性的充分條件。特別地,當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí),討論了切換時(shí)滯系統(tǒng)具有輸入增長(zhǎng)無源性和輸出增長(zhǎng)無源性的充分條件。作為詹森積分不等式的拓廣形式,在處理時(shí)滯項(xiàng)時(shí)選取Wirtinger積分不等式有助于降低所得結(jié)果的保守性。

切換時(shí)滯系統(tǒng); 增長(zhǎng)無源性; 多李雅普諾夫函數(shù)

0 引 言

無源性是聯(lián)系系統(tǒng)輸入輸出的一個(gè)重要性質(zhì)。增長(zhǎng)無源性通過增量供給率建立任意2個(gè)輸入差與對(duì)應(yīng)的輸出差之間的聯(lián)系。對(duì)于非切換系統(tǒng)而言,文獻(xiàn)[1]提出了非線性系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性,并證明了增長(zhǎng)無源系統(tǒng)經(jīng)過反饋聯(lián)結(jié)后仍是增長(zhǎng)無源的;文獻(xiàn)[2]提出了非線性切換系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性,并討論了相應(yīng)的輸出跟蹤問題;文獻(xiàn)[3]提出了離散線性切換系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性,證明了增長(zhǎng)無源的離散線性切換系統(tǒng)反饋聯(lián)結(jié)后仍是增長(zhǎng)無源的,并進(jìn)一步基于增長(zhǎng)無源性討論了輸出調(diào)節(jié)問題;文獻(xiàn)[4]針對(duì)非線性切換系統(tǒng)提出了一種新的增長(zhǎng)無源性,解決了相應(yīng)的輸出調(diào)節(jié)問題。但切換時(shí)滯系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性尚未被提出。

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

考慮如下形式的一類切換時(shí)滯系統(tǒng)

定義在給定的切換信號(hào)σ(t)下,切換時(shí)滯系統(tǒng)(1)是增長(zhǎng)無源的,如果存在光滑函數(shù)Vi(x1,x2):R2n→R+以及標(biāo)量γ1≥0,γ2≥0,使得系統(tǒng)(1)的任意2個(gè)輸入v1(t)和v2(t)及其對(duì)應(yīng)輸出y1(t)和y2(t)滿足下列不等式

其中Vi(x1,x2)稱做系統(tǒng)(1)第i個(gè)子系統(tǒng)的存儲(chǔ)函數(shù)。特別地,當(dāng)γ1=0時(shí),切換時(shí)滯系統(tǒng)(1)是輸入增長(zhǎng)無源的;當(dāng)γ2=0時(shí),切換時(shí)滯系統(tǒng)(1)是輸出增長(zhǎng)無源的。

2 切換時(shí)滯系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性

下面給出系統(tǒng)(1)具有增長(zhǎng)無源性的充分條件。

定理考慮系統(tǒng)(1),如果存在正定矩陣Pi,Q,R和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Mi1,Mi2,Mi4,Mi6,Ni6,Ni7,以及標(biāo)量αij≥0,γ1≥0,γ2≥0滿足下列線性矩陣不等式

其中

那么系統(tǒng)(1)在切換規(guī)則

下是增長(zhǎng)無源的.

證明 構(gòu)造如下存儲(chǔ)函數(shù)

則

由Wirtinger積分不等式[5]可知

其中

由Finsler引理[6]可知,上述不等式等價(jià)于

故對(duì)于任意t∈[tk,tk+1),系統(tǒng)(1)是增長(zhǎng)無源的。在切換點(diǎn)tk上由切換規(guī)則(4)可知

推論1 考慮系統(tǒng)(1),如果存在正定矩陣Pi,Q,R和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Mi1,Mi2,Mi4,Mi6,Ni6,Ni7和標(biāo)量αij≥0,γ1=0,γ2≥0滿足式(3),那么系統(tǒng)(1)在切換規(guī)則(4)下是輸入增長(zhǎng)無源的。

推論2 考慮系統(tǒng)(1),如果存在正定矩陣Pi,Q,R和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Mi1,Mi2,Mi4,Mi6,Ni6,Ni7和標(biāo)量αij≥0,γ1≥0,γ2=0滿足式(3),那么系統(tǒng)(1)在切換規(guī)則(4)下是輸出增長(zhǎng)無源的。

3 數(shù)值例子

例考慮含有2個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)(1),其中

選取α11=1,α12=1,α21=1,α22=1,γ1=0.8,γ2=1.5,d=0.8,μ=0.2?？傻?/p>

圖1 切換信號(hào)Fig.1 The switching signal

圖2 切換系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 The state responses of the switched systems

4 結(jié) 論

本文提出了一類切換時(shí)滯系統(tǒng)的增長(zhǎng)無源性定義。基于多Lyapunov函數(shù)方法,設(shè)計(jì)依賴于狀態(tài)的切換規(guī)則,利用Wirtinger積分不等式和Finsler引理給出了切換時(shí)滯系統(tǒng)是增長(zhǎng)無源的充分條件。最后,作為特例,給出了系統(tǒng)輸入增長(zhǎng)無源和輸出增長(zhǎng)無源的充分條件。在處理時(shí)滯項(xiàng)時(shí),Wirtinger積分不等式作為Jensen積分不等式的擴(kuò)展式比Jensen積分不等式具有更小保守性。而文獻(xiàn)[5]中比較了不同形式的Wirtinger積分不等式的保守性,本文選取的是保守性最小的一種形式。

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[6]劉健辰,章兢,張紅強(qiáng),等.時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定:一種基于Finsler引理的統(tǒng)一觀點(diǎn)[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2011,28(11):1577-1582.

Incrementalpassivityforaclassofswitchedtime-delaysystems

LILili,LIUChen,LUOJingwen

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

Passivity is an important property to describe the relation between the system input and output, and the incremental passivity is a generalization type of the passivity. Inspired by the passivity of time-delay systems and the incremental passivity of non-time-delay systems, this paper proposes the definition of the incremental passivity for a class of switched time-delay systems. Based on the multiple Lyapunov function method, switching rules dependent on the system state is designed, and the Wirtinger integral inequality and Finsler Lemma are combined to deal with the delay terms in the systems, sufficient conditions for the incremental passivity of the switched time-delay systems are given in the form of linear matrix inequalities. In particular, when parameters take some special values, the sufficient conditions for the incremental input passivity and the incremental output passivity of the systems are discussed meanwhile. As the extension form of Jensen integral inequality, the Wirtinger integral inequality which is chosen to deal with the delay terms is helpful to reduce the conservativeness of the proposed results.

switched time-delay systems; incremental passivity; multiple Lyapunov functions

2017-09-01。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61304056;11671184); 大連市高層次人才創(chuàng)新支持計(jì)劃項(xiàng)目(2016RQ049)。

李莉莉(1982-),女,遼寧大連人,遼寧師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2017)04-0415-04

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.04.007