李苓苓，陳 瓊

（南昌工學院，江西 南昌 330108）

幾類偏微分方程非標準有限差分格式的研究

李苓苓，陳 瓊

（南昌工學院，江西 南昌 330108）

文章對偏微分方程以及其解法的概述做出了簡要的介紹，在此基礎(chǔ)上，文章對非標準有限差分進行了詳細的描述。除此之外，文章對Fisher方程、Burgers方程和Burgers-Fisher、粘性耦合Burgers方程這幾類偏微分方程非標準有限差分格式進行了詳細的介紹。

偏微分方程；非標準有限差分；格式

1 偏微分方程的概述

偏微分方程是解決現(xiàn)代數(shù)學問題的一個有效方法，在數(shù)學、自然、物理、天文中國均具有重要的應用，因此對其的研究也就格外具有現(xiàn)實意義。常微分方程和偏微分方程的區(qū)別為：常微分方程中問題的變量只有一個，偏微分方程中問題的變量為兩個或者多個。而在微分方程中，二階微分方程的應用和研究最為廣泛。

2 非標準有限差分

在非標準有限差分解決問題的方法中，精確差分方法是Potts在1982年提出的。除此之外，θ-方法也是解決問題的好辦法，此類方法在提出之后被一些研究者加以研究方法，在解決問題上具有更大的優(yōu)勢，這就比如說由Berzins改造的有限差分方法、Lubuma改造的有限差分方法。

3 幾類方程非標準有限差分格式

（1）Fisher方程。Fisher方程格式如下：ut=uxx+u(1-u)。根據(jù)方程的行波解對方程進行處理時，可以得到如下的非標準有限差分格式：

在這個由Albowitz和Zeppetella提出的等式中：b表示常數(shù)，0≤u（x,t）≤1。而Fisher方程方程的精確有限差分格式格式在學術(shù)上還是比較模糊的，以下是對此的詳細介紹。

首先，利用Mickens給Fisher方程進行離散處理，則式（1）可以變成如下式（2）。

而式（2）需所需要滿足的條件為：φ（Δt，λ）=Δt+O（Δt2）。而這個方法應用到離散二階倒數(shù)也是可行的。而利用Mickens方法給方程進行處理時，則可以得到這樣的公式：

（2）Burgers方程和Burgers-Fisher方程。Burgers方程是一類在數(shù)學中應用廣泛的方程，它得到了很多學者的研究。其基本方程格式為：ut=uxx-auuxx。而Burgers-Fisher方程則是對Burgers方程的轉(zhuǎn)換變化，其基本格式為：ut+uxx-auuxx=u(1-u)。以下對構(gòu)造Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精確有限差分格式做出簡要的介紹。

在構(gòu)造Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精確有限差分格式之前，對Mickens給出的文獻以及Roeger給出的文獻中的理論加以應用，這對進行方程的轉(zhuǎn)換具有十分重要的意義。

而在求粘性耦合Burgers方程中的非標準有限差分的格式的過程中，對上訴的方程進行一定的指數(shù)變換。在此之后，需要應用到精確有限差分的格式對得到的公式進行一定的變換。

4 注意事項

在進行幾類偏微分方程非標準有限差分格中的求解時，我們需要注重這樣幾個方面：①求解過程中對一些軟件的使用。由于求解的過程和求解的步驟是十分復雜的，我們需要對一些軟件加以使用來簡化我們的求解過程。在選擇軟件時，我們除了可以使用一些簡化計算步驟的軟件，我們也可以使用一些模擬軟件對結(jié)果進行模擬，這樣對結(jié)果變得更加直觀。②求解后進行驗證。在得到偏微分方程非標準有限差分格式后，我們需要對結(jié)果進行驗證，這樣才能保證結(jié)果的準確性。而進行結(jié)果的驗證時，我們可以從這樣兩個方面入手：首先，驗證計算過程以及使用的理論。其次，將計算的結(jié)果反向推導來驗證計算是否正確。除此之外，我們也可以通過不同的方法和理論進行多次計算，這樣可以保證計算結(jié)果的準確性。③在進行幾類偏微分方程非標準有限差分格式的計算中，注重對一些方法和理論加以利用，這樣可以大大地簡化計算步驟，這就比如說對Mickens給出的文獻以及Roeger給出的文獻中的理論加以利用。

5 結(jié)語

偏微分方程對解決實際問題具有十分重要的作用，因此研究幾種偏微分方程非標準有限差分格式也具有重要的意義。而求解Fisher方程、Burgers方程和Burgers-Fisher、粘性耦合Burgers方程的過程中，注重對一些諸如Mickens給出的文獻以及Roeger給出的文獻中的理論加以利用。

李苓苓，碩士研究生，講師，主要研究方向：拓撲動力系統(tǒng)。