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        避開無窮 返璞歸真(上)

        2017-12-26 03:18:06張景中彭翕成
        湖南教育 2017年47期
        關鍵詞:弓形阿基米德中點

        文︳張景中 彭翕成

        避開無窮 返璞歸真(上)

        文︳張景中 彭翕成

        數(shù)學中的無窮,常用符號∞表示,來自于拉丁文的“infinitas”,取“沒有邊界”之義。

        無窮內容之豐富,就像一個深不可測的海洋,其中不知蘊藏著多少秘密。古今中外關于無窮的著作浩如煙海。

        對于無窮,數(shù)學家又愛又恨。面對無窮,常常能避則避,但避開無窮不是一件容易的事情。

        1.《幾何原本》中的無窮

        歐幾里得《幾何原本》中第五公設就涉及無窮。敘述如下:

        如圖1,如果一條線段與兩條直線相交,在某一側的內角和小于兩直角的和,那么這兩條直線在不斷延伸后,會在內角和小于兩直角和的一側相交。

        圖1

        這里“不斷延伸”的字句,已經涉及無窮。

        “由圓外一點P向⊙O作切線”,現(xiàn)在常見的的作圖法如圖2,連接OP,作OP中點M,以M為圓心,MO為半徑作圓,交⊙O于N,則PN即為所求作的切線。

        而《幾何原本》中的作圖法如圖3,連接OP,交⊙O于A,過A作OP的垂線,交以O為圓心,OP為半徑的圓于點B,連接OB,交以O為圓心,OA為半徑的圓于點C,則PC即為所求作的切線。

        圖2

        圖3

        為什么《幾何原本》中不采用圖2的簡單作法呢?因為圓的直徑所對的圓周角為直角,是由三角形內角和等于180°推導得到的。使用圖3的作法,就是希望避開平行公設,也就是避開無窮。

        素數(shù)有無窮多個,在《幾何原本》中的說法卻是“質數(shù)比任意給定的一群質數(shù)還多”。注意這里避開了無窮。

        2.從有限到無窮——三角形內角和定理的證

        理解無窮,要從有窮開始。

        研究表明:通過驗證一個三角形的內角和為180°,就能斷言所有三角形的內角和都為180°!

        首先把幾何問題代數(shù)化。如圖4,建立平面直角坐標系,設△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,0),B(1,0),C(u1,u2)。取 BC 的中點 M,延長AM至D,使得DM=AM,則∠DCB=∠CBA。取AC的中點N,延長BN至E,使得NE=NB,則∠ECA=∠CAB。于是要證明的命題轉化為:∠ECA+∠ACB+∠DCB=180°,也就是 D,C,E 三點共線。

        設 M(x1,x2),N(x3,x4),D(x5,x6),E(x7,x8),則命題的假設條件為 H:f1=2x1-(u1+1)=0,f2=2x2-u2=0,方程f1,f2表示M是BC的中點。

        f3=2x3-u1=0,f4=2x4-u2=0,方程 f3,f4表示 N 是AC的中點。

        f5=x5-2x1=0,f6=x6-2x2=0,方程 f5,f6表示 AM 延長1倍到D。

        f7=x7-2x3+1=0,f8=x8-2x4=0,方程 f7,f8表示 BN延長1倍到E。

        而要證明的結論是D,C,E三點共線,即C:g=(x5-u1)(x8-u2)-(x7-u1)(x6-u2)=0。

        問題一共涉及10個變元。其中u1,u2可任意取值,叫做自由變元。一旦 u1,u2定了,x1~x8都可以由條件H定下來,所以x1~x8叫做約束變元。利用條件H接觸x1~x8代入C,可得到關于u1,u2的多項式 G(u1,u2)。要證明條件H 之下有結論 C,也就是證明多項式G(u1,u2)恒等于0。容易推出G關于u1,u2的次數(shù)都不超過1,于是只要在u1,u2的一個2×2的格陣上檢驗G是否為0即可。這個格陣可?。?,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),立刻可以算出G在這幾組數(shù)值下為0。事實上,對于(u1,u2)=(0,0)=(1,0)根本不用算,因為此時 A,B,C 三點共線,結論顯然。而在(u1,u2)=(1,1)和(u1,u2)=(0,1)這兩種情形下得到的△ABC是全等的。因而只要對(u1,u2)=(0,1)作檢驗即可。把 u1=0,u2=1代入 H,得 x8=1,x6=1,x7=-1,x5=1,代入 C 得 g=0,這就完成了命題的證明。(參閱《自然雜志》1991年第1期《舉例子能證明幾何定理嗎》)

        圖4

        這表明,只要檢驗4個三角形(實質上是一個),便足以證明三角形內角和定理!

        3.“飛矢不動”中的無窮

        古希臘著名哲學家芝諾曾經提出“飛矢不動”的怪論。他說箭在每一個時刻都有一個確定的位置,因而在每一個時刻都沒有動。既然每個時刻都沒有動,它怎么能夠動呢?

        為了駁倒這個怪論,就要說清楚什么叫動,什么叫沒有動。

        如果一個物體的位置在時刻u和后來的一個時刻v不同,我們就說它在時刻u和v之間動了。反過來,如果它在任意時刻t∈[u,v]都有相同的位置,就說它在u到v這段時間內沒有動。

        這樣,動或不動都是涉及兩個時刻的概念。芝諾所說“在每一個時刻都沒有動”的論斷是沒有意義的!

        芝諾論題的令人迷惑之處,在于運動物體好像要經過無窮多個時刻才能完成運動。而我們在理清動與不動的概念時,可以避開無窮,只在兩個時刻考慮。

        4.避開無窮的天才——阿基米德

        古希臘的阿基米德是避開無窮的天才。他從拋物線弓形的內接三角形面積出發(fā),成功地求出了拋物線弓形的面積。

        如圖5,設拋物線的方程為y=kx2(k>0)。考慮區(qū)間[a-h,a+h]上的一段拋物線所構成的弓形。

        圖5

        從拋物線弓形去掉這個三角形之后,剩兩個小弓形。類似地作每個小弓形的內接三角形;重復操作,剩4個小弓形,如圖6。作每個小弓形的內接三角形,其面積為k·)3。

        圖6

        不斷做下去,得到無窮多的三角形,它們的面積之和是

        在阿基米德時代,他必須避開無窮,說出一個令人信服的理由。

        阿基米德計算到第n項就打住,得到等式

        這個方法在數(shù)學史上以“窮竭法”著稱。

        (待續(xù))

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