徐小建

(南通市通州區(qū)平潮實驗初中226361)

在“學(xué)程總結(jié)”過程中階段性總結(jié)一般有兩種分類標(biāo)準(zhǔn)，一種是按時間段落分類，如每月總結(jié)、期中總結(jié)、期末總結(jié)等，第二是按知識結(jié)構(gòu)分類，如單元總結(jié)(較小范圍內(nèi)的相近知識總結(jié))，專題總結(jié)(較大范圍內(nèi)的相近知識總結(jié))等．本文通過一個案例來談“專題性總結(jié)”．

1 教學(xué)過程簡介

說明課前學(xué)生已經(jīng)完成相關(guān)學(xué)習(xí)材料，本節(jié)課是在此基礎(chǔ)上的交流、共享、提高課．

1.1 小題熱身：回顧相似三角形的判定和性質(zhì)

1.如圖1，下列正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均相等，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是( )

2.在第1小題的條件下，若△ABC的面積為6，則和它相似的那個三角形的面積為，

此時，正形網(wǎng)格的邊長為.

【教學(xué)片斷】(略)

點評通過一組低起點的客觀題回顧三角形相似的判定和性質(zhì)，在與學(xué)生的交流、追問中對相似的判定和性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理，揭示了靈活選用判定和性質(zhì)的策略，引導(dǎo)學(xué)生自主小結(jié)、提升，促使學(xué)生系統(tǒng)地理解、掌握知識，形成靈活運用知識的能力．

1.2 探究一:一個常見的圖形

如圖2，等腰直角△PCD的銳角頂點P放在另一個等腰直角△PAB的直角頂點處，△PCD繞點P在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．

圖2

1.若 ∠CPD的兩邊始終與斜邊AB相交，PC交AB于點M，PD交AB于點N．

(1) 求證：△APN∽△PMN；

(2)找出圖中除等腰直角三角形外的一對相似三角形并證明；

(3)請根據(jù)上面所證明的相似，寫出一個形如“NP2=NA·NM”的式子；

(4)請根據(jù)(3)的結(jié)果，編寫一道求線段長的計算題考考你的同桌.

2.若 ∠CPD的兩邊始終與直線AB相交，PC交AB于點M，PD交AB于點N，請畫出相應(yīng)的圖形，判斷1中結(jié)論是否成立，并說明理由．

3.若將上述問題中的“兩個等腰直角三角形”改為“兩個頂角相等的等腰三角形”，上述結(jié)論還成立嗎？

【教學(xué)片斷】

師：哪們同學(xué)來說說第一小問是怎么證明的？有哪些啟發(fā)？

生9：因為∠PNM=∠PNA，∠NPM=∠NPA，所以△APN∽△PMN；在做這道題的時候我覺得要會找相似的條件，那就是一要抓住相等的角，二要抓公共角，這樣就容易一些．

師：這是一個經(jīng)典的問題，生9總結(jié)的經(jīng)驗也很經(jīng)典．下面再來看看第二小問．

生10：△BPM∽△PNM．

(生10回答了一個答案之后準(zhǔn)備坐下，師追問)

師：還有嗎？你再想想我們剛才研究的第一小問題的結(jié)論喲！

生10：(思考了一會兒)還有，其實圖中有三個三角形相互相似，△APN∽△PMN∽△BMP．

師：好，下面誰來說說第三小問．

生11：我寫的是MP2=MB·MN．

師：你是怎么寫出來的？有什么經(jīng)驗可以總結(jié)嗎？

生11：我是模仿示例寫出來的，其實是用了△PMN∽△BMP，寫出對應(yīng)邊成比例就可以得出這個乘積式了，我記得以前老師講過，兩個相似三角形如果有一條公共邊，那么這條過是另兩邊的比例中項．

師：說得非常好，那還能不能再寫出一個類似的式子來呢？

(眾生小聲地說不能了)

生11：(肯定地說)不能了，因為圖中沒有共邊的相似三角形了．

師：那可不一定喲，沒有共邊的相似三角形，我們還有含等邊的相似三角形喲．

師：生12講得很好喲，在大家都覺得不能再寫了的時候，他一口氣寫了兩個，現(xiàn)在請你說說你的經(jīng)驗．

生12：一開始做這題時我的答案也和生11是一樣的，但是我總覺得還應(yīng)該有新的形式，但是就是想不到，剛才老師說我們還有含相等邊的相似三角形時，我一下子就想到了，其實含相等邊的三角形范圍更大，包含共邊相似三角形，所以我們以后遇到這類相似時要考慮全面一些．

師：那好，我們現(xiàn)在進(jìn)入下一個小問題，哪位同學(xué)來模仿例子出一道題？

(眾生沉默，顯然沒有同學(xué)出題)

師：那哪位同學(xué)做出了這題？

師：那么接下來還可以求什么？

師：能求PM、PN嗎？

生13：能求，由NP2=NA·NM，MP2=MB·MN就可以求了．

師：你之前會做嗎？

生13：不會，剛才知道了AP2=BP2=AN·BM后我才想到這么做的．

師：看來對AP2=BP2=AN·BM這一關(guān)系的發(fā)現(xiàn)也是制約我們解題和出題的原因，那我們現(xiàn)在會出題了嗎？

眾生：會出題了．

師：其實，你們做進(jìn)一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，圖中的線段中，只要知道兩條就能求出其余的所有線段，這個問題課后再去思考．

師：下面我們再來研究第二和第三個問題．

學(xué)生出示按要求變化后的圖形(圖略)，教者結(jié)合圖形用動畫演示，引導(dǎo)同學(xué)們后得出相關(guān)結(jié)論仍然成立．(詳細(xì)過程略)

點評將一道經(jīng)典題目改編為一組環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的小題，每一小題解決一個重點知識、方法，使得重點突出、難點分散，將復(fù)習(xí)的意圖暗藏其中，采用扶上馬、送一程、跟著走、目送走的策略引導(dǎo)學(xué)生拾級而上，步步提升，形成登高望遠(yuǎn)之勢．

1.3 探究二：變化條件再探究

如圖3，△ABC中，AC=BC，點D是線段AB上一動點，∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠A=∠EDF．若射線DE與邊AC交于點M，射線DE與邊BC交于點N，連結(jié)MN．

1.找出圖中的一對相似三角形并證明你的結(jié)論．

2.在圖3中，當(dāng)點D運動到AB的中點時，找出圖中的相似三角形并證明．(圖略)

3.在2的條件下，求證：在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)過程中，點D到線段MN的距離為定值．

圖3

4.若將本題中的條件變化為∠A=∠B=∠EDF=90°,把△ABC打開，AC、BC邊分別表示為AC1、BC2，請畫出圖形，直接寫出相關(guān)結(jié)論.

【教學(xué)片斷】

師：剛才我們共同交流了探究一，現(xiàn)在我們再來研究探究二．哪們同學(xué)先來說說第一題．

生14：我找到了△AMD∽△BDN，由∠EDB=∠A+∠AMD和∠A=∠EDF可得∠NDB=∠AMD，再由∠A=∠B就可以證明△AMD∽△BDN．

師：說得非常清楚，還有不同想法嗎？

生15：我覺得就和上面一題是一樣的，即△AMD∽△DNM∽△BDN．

(這時下面有同學(xué)大聲說不可能)

師：有意思，能說說你是怎么想的嗎？能證明嗎？

生15：我是從剛才的題中得到的想法，還沒想好證法．

師：哦，那剛才那位說不可能的同學(xué)說說為什么不可能呢？

生16：因為點在運動，請看圖4，就明顯不可能是三個三角形相似呀．(投影學(xué)生畫的圖)

圖4

師:你真了不起，用圖形就直觀地說明的這三個三角形不可能同時相似，畫圖有時是一種非常好的方法，當(dāng)然前提是圖形要畫得比較準(zhǔn)確，這樣才能給我們一個初步的判斷，直觀判斷之后我們還要論證．那下面請你來論證一下，行嗎？

生16：這個我沒想好，我覺得從圖中就可以判斷了．

師：是的，這個圖畫得還是很準(zhǔn)確的．但是光憑畫圖不能代表證明喲，我們來想想，假如是△AMD∽△DMN那會有什么結(jié)論呢？

生15：我明白了，在圖4中，由于角是轉(zhuǎn)動的，所以如果△AMD∽△DNM只能是∠ADM=∠DMN，那么就會有MN∥AB，而事實上，在轉(zhuǎn)動的過程中它們的位置關(guān)系是變化的，不是確定的，所以不可能三個三角形同時相似．

師：你講得很有道理，所以我們不能只看圖形，還要論證，這樣我們才能對我們的結(jié)論確信無疑．下面我們再來探究第二個問題．

生15：我覺得這時應(yīng)該是△AMD∽△DMN∽△BDN．

師：這么確信？

生15：肯定，因為探究一中提到了含相等邊的相似三角形，如圖5，當(dāng)點D為AB中點時，△AMD和△BDN中就有邊AD=BD，再加上它們?nèi)齻€三角形有相等的角，所以一定可以證明的．(大家聽著生15的發(fā)言，都在緊張地思考，一會兒有幾個同學(xué)的表情告訴我，他們已經(jīng)解決問題了，這時生15停止了在紙上的分析)

師：你真是太棒了，這么短的時間想出了這么縝密的證明，大家聽明白了嗎？

生眾：明白了．

師：下面我們再來看第三個問題，哪個小組來交流呢？

(眾生沉默)

師：看來我們還都沒想好，現(xiàn)在老師提醒你們往前看，看看前面一問證明相似的過程中我們能得什么結(jié)論？

(下面有小聲的交流)

生17：如圖5，過點D作AC、BC、MN的垂線段DR、DS、DT，由前一問的相似三角形的對應(yīng)角相等可得MD、ND分別平分∠AMN和∠MNB，于是DS=DR=DT=定值．

圖5

師：講得非常好，現(xiàn)在請你來說說你做這道題的感受．

生17：這道題的問題一個比一個難，后面一個都與前面一個有關(guān)系，是建立在前面問題的基礎(chǔ)上的，所以解答這類問題時我們要回頭看一看已經(jīng)求解的內(nèi)容，從中獲得啟發(fā)．

師：你總結(jié)得太好了，我們可以看到，越往后問題確實越來越難，如果直接讓我們來解第三個問題的話，我想可能就很難想到了，但是在這個系列問題中，我們循序漸進(jìn)，拾級而上，最終我們也想出了第三問，這說明回頭看的重要性，同時更說明在對圖形基礎(chǔ)屬性把握的基礎(chǔ)上，還要善于挖掘圖形更多的性質(zhì)．下面我們來展示一下第四問題的成果．

生18:我們的成果如圖6(投影)，有以下結(jié)論:

圖6

(1)當(dāng)∠C1AB=∠C2BA=∠EDF=90°時，△AED∽△BDF．

(2)當(dāng)∠C1AB=∠C2BA=∠EDF=90° ，D是AB中點時，△AED∽△DEF∽△BDF．

師：第二個結(jié)論是什么時候想到的？

生18：是剛才想到的，由探究二的第二問想到的．

師：很好，說明這位同學(xué)在聽課的過程中及時將新的收獲用到解題的過程中去了，這種愛思考的習(xí)慣值得大家學(xué)習(xí)．

生19：老師，其實不一定要是直角，只要∠C1AB=∠C2BA=∠EDF就有△AED∽△BDF，只要當(dāng)∠C1AB=∠C2BA=∠EDF，D是AB中點就有△AED∽△DEF∽△BDF．

師：你說得很對，能告訴大家你如何發(fā)現(xiàn)的？

生19：剛才生18說的是特殊情況，我是把情況一般化，其實也就是將探究二中的那個圖中的頂角∠C剪開，將點C變?yōu)镃1和C2，如圖7和圖8，上面有關(guān)結(jié)論也相應(yīng)成立．

圖7

圖8

師：你講得非常好，一語道破了這一類問題的本質(zhì)．這也就是我們有些輔導(dǎo)書上所講的“一線三等角”“一線三直角”問題，其實它還是證明勾股定理時的弦圖的一半的一個變式圖形(畫示意圖略)，所以有些資料上也稱之為“變式弦圖”．這一類圖形的共性就是有三個角相等，并由此產(chǎn)生一系列的全等或相似，在解題過程中我們要善于發(fā)現(xiàn)復(fù)雜圖形中的基本圖形，充分利用好基本圖形的性質(zhì)，就能給解題帶來極大的方便．

點評在研究了探究一的基礎(chǔ)上，探究二加大了探究力度，問題進(jìn)一步開放，難度進(jìn)一步加大．教者在引導(dǎo)學(xué)生分析的過程中，對在探究一中所形成的經(jīng)驗進(jìn)行調(diào)用、辨析，產(chǎn)生新的認(rèn)知，使培養(yǎng)能力這個看似“務(wù)虛”的目標(biāo)真正得到了“落實”．同時，教者通過最后一個問題的設(shè)置讓學(xué)生對各種不同圖形之間的關(guān)系產(chǎn)生“頓悟”，有了“九九歸一”的感覺．

1.4 自主感悟

【教學(xué)片斷】

師:同學(xué)們，這節(jié)課老師和大家一起復(fù)習(xí)了相似的性質(zhì)、判定和應(yīng)用，在復(fù)習(xí)過程中我們梳理了知識，小結(jié)方法，提煉了策略，這三者合起來就形成我們的解題能力．當(dāng)然能力永遠(yuǎn)是第二位的，那么第一位是什么呢？那是“意識”，就是我們要“想到用”相似來解題，“意識”讓我們“想到用”，能力讓我們“會用”，如何才能“用好”“用巧”？這就要求我們站在一定的高度，掌握一定的數(shù)學(xué)思想，關(guān)于這一點我們同學(xué)也許不太理解．下面我來解決這個問題，同學(xué)們“今天這節(jié)課老師主要和大家探討了幾個題目？”

生21：兩條．

生22：不止兩條，因為每道題目里又有好多小題，可能有十多題吧．

師：這兩位同學(xué)說得都有道，現(xiàn)在我們來看看PPT上的小標(biāo)題，探究一：“一個常見的圖形”，探究二：變化條件再探究．你們說說看，我們一共探究了幾個問題？

眾生：一條？

師：一條？為什么？

生23：其實那么多的問題都是由這個常見圖形變化而來的，并且方法思路有很多共同之處，所以可以說本節(jié)課就研究了一個問題．

師：說得好，這就是我剛才所說的“數(shù)學(xué)思想”的具體表現(xiàn)了．說明通過剛才的交流，同學(xué)們對所謂的“數(shù)學(xué)思想”已經(jīng)有了一定的了解了．好，這節(jié)課就上到這兒，下課！

點評“編筐織簍，全在收口”，通過對本節(jié)課的回顧，闡明了知識、方法、策略與能力之間的關(guān)系，揭示了能力、意識和數(shù)學(xué)思想之間的關(guān)系，最終將落腳點放在很難落實的數(shù)學(xué)思想上，讓學(xué)生真真切切地感受到數(shù)學(xué)思想的存在，充分彰顯了復(fù)習(xí)課的高遠(yuǎn)立意．

2 總評：高立意，低起點，讓曲高也能和眾

2.1 高立意，專題性復(fù)習(xí)課的應(yīng)然目標(biāo)

“高立意”是指專題復(fù)習(xí)設(shè)計要以“提高獨立的、綜合性解題能力，掌握較為全面的解題方法、策略，形成一定的數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)”為立意，擺脫低水平的再現(xiàn)和大運動量題?；蝾}型戰(zhàn)術(shù)．

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，“高立意”主要體現(xiàn)在以下兩點：一是課堂環(huán)節(jié)的高立意，通過“熱身→探究一→探究二→感悟→拓展”的整體流程將學(xué)生置于自主總結(jié)、層層提升的大環(huán)境中；二是在每一個小環(huán)節(jié)中，也體現(xiàn)出較高的能力、方法、策略立意．如，探究一的第4個問題引導(dǎo)學(xué)生從探究過程中找到一般性的結(jié)論，將探究成果推而廣之；再如，探究二的第4小問引導(dǎo)學(xué)生將眾多的圖形概括成一個圖形，讓學(xué)生體會“萬變不離其宗”“九九歸一”的感覺；再比如，在自主感悟部分，教者引導(dǎo)學(xué)生從多題到最終的一題，將學(xué)生對“數(shù)學(xué)思想”的認(rèn)識真真落到了實處．所有這些，都充分體現(xiàn)了教者在設(shè)計本節(jié)課時的高立意．細(xì)品這節(jié)課，能體現(xiàn)高立意的地方還很多，此處不再贅述．

2.2 低起點，專題性復(fù)習(xí)課的必然策略

為了讓教學(xué)設(shè)計的高立意在課堂中落實，讓學(xué)生的腦子動起來就成為了必須．如果我們強(qiáng)調(diào)思維的高立意，而學(xué)生卻因為沒有思維的原料和載體不能開展思維，那么再高的立意只能成教者的一廂情愿．正如愛因斯坦所說“一個空洞的頭腦是不能進(jìn)行思維的”一樣，我們必須讓學(xué)生的腦子里有足夠思維的材料，怎么辦？“低起點”是實現(xiàn)這一目標(biāo)的必然策略，通過低起點的設(shè)計，可讓絕大部分學(xué)生頭腦不再空洞，可讓同學(xué)們的大腦有足夠加工的原料，如此難度的教學(xué)設(shè)計，課堂后氣氛卻如此活躍，不能不說是低起點的功勞．

在本節(jié)課的設(shè)計中，熱身的兩個小題，探究一和探究二中的第一、二小問都是比較基礎(chǔ)的問題，絕大部分同學(xué)都能上手做一做，即便是比較難的問題，如探究一的兩個開放性問題，為了降低起點，教者特意設(shè)計了示例，給學(xué)生搭建了腳手架，對基礎(chǔ)特別薄弱的學(xué)生“牽著走”，基礎(chǔ)一般的學(xué)生“扶著走”，基礎(chǔ)較好的學(xué)生“跟著走”，比較優(yōu)秀的學(xué)生“目送走”，特別優(yōu)秀的學(xué)生“獨立走”，做到全員參與，各有所獲．

2.3 問題鏈，由低起點到高立意的有效途徑

通過低起點讓學(xué)生介入了專題性總結(jié)只是教學(xué)的初級目標(biāo)，如何實現(xiàn)教學(xué)設(shè)計中的高立意，設(shè)置“問題鏈”是實現(xiàn)低起點邁向高立意的有效途徑．

在本節(jié)課中，探究一的第一個問題設(shè)計了循序漸進(jìn)的四個小問題，將這一個常見圖形的各種性質(zhì)、關(guān)系解析得淋漓盡致，形成了一個微型的問題鏈，每一個微型的問題鏈?zhǔn)沁@類問題系統(tǒng)中的基礎(chǔ)，只要打好了這個基礎(chǔ)，就掌握了解決系統(tǒng)內(nèi)部問題的最基本的方法，由此就能建立更大的問題系統(tǒng)．比如，本節(jié)課中，在問題一的基礎(chǔ)上，探索一又設(shè)置了兩個問題，使探究一實現(xiàn)了由特殊向一般的轉(zhuǎn)化，形成了一個中型的問題系統(tǒng)．這個中型系統(tǒng)其實就是一個具有一定規(guī)模的認(rèn)知圖式，就有了一定的整體功能，在此基礎(chǔ)上教者設(shè)置了探究二，現(xiàn)場檢測剛形成的認(rèn)知系統(tǒng)的功能，使得問題系統(tǒng)成為一個大型系統(tǒng)，最后教者還試圖利用課后拓展訓(xùn)練添加更多的新元素，將這一系統(tǒng)打造成超大系統(tǒng)，使之具有更強(qiáng)大的整體功能．其實從本質(zhì)來看，這個系統(tǒng)其實就是一環(huán)套一環(huán)，環(huán)環(huán)相扣的一個鏈．所以說，循序漸進(jìn)的問題鏈?zhǔn)菍崿F(xiàn)由低起點到高立意的有效途徑．

2.4 曲高和眾，專題性復(fù)習(xí)的最終目標(biāo)

通過以上分析，我們不難看出低起點既保障了課堂教學(xué)的全員參與，也確保了所有學(xué)生有最起碼的收獲；循序漸進(jìn)的問題鏈既使所有學(xué)生在專題性總結(jié)的過程中享受過程，體驗成功，也保證學(xué)生沿著既定的目標(biāo)逐步提升；高立意為專題性總結(jié)明確了目標(biāo)，指明了方向，讓課堂始終向著正確的方向行進(jìn)．

只要我們在專題性總結(jié)的過程中，將低起點的鋪墊，問題鏈的方法和高立意的指向藝術(shù)地結(jié)合起來，就一定能讓專題性總結(jié)課做到曲高和眾！