楊學(xué)枝
(福建省福州第二十四中學(xué) 350015)
以下四個定理可用于證明一類三元n次不等式.文中“∑”與“∏”分別為三元數(shù)的循環(huán)和與循環(huán)積.
定理一若①λ,u≥v≥0,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≤0,(u-1)(u-w)≤0(或λ,v≥u≥0,w≥0,(λ-1)(λ-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0;或u,v≥λ≥0,w≥0,(u-1)(u-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)·(u-w)+(v-1)(v-w)≤0;④λ+u+v≤1+2w.則對于n∈N,n≥2,有
λn+un+vn≤1+2wn,
當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.
證明為以下書寫方便,記
fk(p,q)=pk+pk-1q+pk-2q2+…+qk(k=0,1,2,…),并約定f0(p,q)=1,則
λn+un+vn-1-2wn
=(λn-1)+(un-1)+(vn-1)-2(wn-1)
=(λ-1)fn-1(λ,1)+(u-1)fn-1(u,1)+
(v-1)fn-1(v,1)-2(w-1)fn-1(w,1)
≤(λ-1)fn-1(λ,1)+(u-1)fn-1(u,1)+
(v-1)fn-1(v,1)-[(λ-1)+(u-1)+
(v-1)]fn-1(w,1)
(應(yīng)用④)
=(λ-1)[fn-1(λ,1)-fn-1(w,1)]+(u-1)[fn-1(u,1)-fn-1(w,1)]+
(v-1)[fn-1(v,1)-fn-1(w,1)]
應(yīng)用③,即得原式.
推論一若①λ,u,v,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≤0,(u-1)(u-w)≤0;(v-1)(v-w)≤0;③λ+u+v≤1+2w.則對于n∈N,n≥2,有
λn+un+vn≤1+2wn,
當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.
同理可證以下三個定理(證略).
定理二若①0≤λ,u≤v,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≥0,(u-1)(u-w)≥0(或0≤λ,v≤u,w≥0,(λ-1)(λ-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0;或0≤u,v≤λ,w≥0,(u-1)(u-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)(u-w)+(v-1)(v-w)≤0;④λ+u+v≤1+2w.則對于n∈N,n≥2,有
λn+un+vn≤1+2wn,
當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.
定理三若①λ,u≥v≥0,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≥0,(u-1)(u-w)≥0(或λ,v≥u≥0,w≥0,(λ-1)(λ-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0;或u,v≥λ≥0,w≥0,(u-1)(u-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)(u-w)+(v-1)(v-w)≥0;④λ+u+v≥1+2w.則對于n∈N,n≥2,有
λn+un+vn≥1+2wn,
當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.
推論二若①λ,u≥v≥0,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≥0,(u-1)(u-w)≥0;(v-1)(v-w)≥0;③λ+u+v≥1+2w.則對于n∈N,n≥2,有
λn+un+vn≥1+2wn,
當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.
定理四若①0≤λ,u≤v,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≤0,(u-1)(u-w)≤0(或0≤λ,v≤u,w≥0,(λ-1)(λ-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0;或0≤u,v≤λ,w≥0,(u-1)(u-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)(u-w)+(v-1)(v-w)≥0;④λ+u+v≥1+2w.則對于n∈N,n≥2,有
λn+un+vn≥1+2wn,
當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.
下面舉數(shù)例說明以上定理的應(yīng)用.
∑cos2n(β-γ)≤1+2∏cosn(β-γ)(1)
當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(1)取等號.
cos2(β-γ)≥cos2(α-γ)≥0,
cos2(α-β)≥cos2(α-γ)≥0,
∏cos (β-γ)≥0,
滿足定理一中條件①.
另外,由于
cos2(β-γ)-1≤0;
cos2(β-γ)-∏cos (β-γ)
=cos (β-γ)[cos (β-γ)-cos (α-γ)cos (α-β)]
=cos (β-γ)sin (α-γ)sin (α-β)
≥0,
因此,有
[cos2(β-γ)-1][cos2(β-γ)-∏cos (β-γ)]≤0,
同理,有
[cos2(α-β)-1][cos2(α-β)-∏cos (β-γ)]≤0,
滿足定理一中條件②.
[cos2(β-γ)-1][cos2(β-γ)-∏cos (β-γ)]
+[cos2(α-γ)-1][cos2(α-γ)-∏cos (β-γ)]
+[cos2(α-β)-1][cos2(α-β)-∏cos (β-γ)]
=-sin2(β-γ)sin (α-γ)sin (α-β)cos (β-γ)
+sin (β-γ)sin2(α-γ)sin (α-β)cos (α-γ)
-sin (β-γ)sin (α-γ)sin2(α-β)cos (α-β)
=-2sin2(β-γ)sin2(α-γ)sin2(α-β)≤0,
滿足定理一中條件③.
又由于
∑cos2(β-γ)-[1+2∏cos (β-γ)]
=[cos (β-γ)-cos (γ-α)cos (α-β)]2-[1-cos2(γ-α)][1-cos2(α-β)]
=sin2(γ-α)sin2(α-β)-sin2(γ-α)sin2(α-β)=0,
即有
∑cos2(β-γ)=1+2∏cos (β-γ),
滿足定理一中條件④.
因此,由定理一知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(1)取等號.
(2)
當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(2)取等號.
證明顯然,當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(2)取等號,原命題成立.下面對α,β,γ互不相等情況,證明原式成立.
滿足定理四中條件①.
另外,由于
因此,有
同理,有
滿足定理四中條件②.
=∏tan (β-γ)[∑tan (β-γ)+∑tan3(β-γ)]
=∏tan (β-γ){∑tan (β-γ)+[∑tan (β-γ)]3
-3∑tan (β-γ)∑tan (α-γ)tan (α-β)
+3∏tan (β-γ)}
=∏tan (β-γ){∏tan (β-γ)+[∏tan (β-γ)]3
-3∏tan (β-γ)∑tan (α-γ)tan (α-β)
+3∏tan (β-γ)}
=[∏tan (β-γ)]2{4+[∏tan (β-γ)]2
-3∑tan (α-γ)tan (α-β)}
=[∏tan (β-γ)]2{4+[∑tan (β-γ)]2
-3∑tan (α-γ)tan (α-β)}
=[∏tan (β-γ)]2[4+∑tan2(β-γ)
-∑tan (α-γ)tan (α-β)]≥0
(注意應(yīng)用等式∑tan (β-γ)=∏tan (β-γ)),
滿足定理四中條件③.
又由于
[1-∏cos (β-γ)]
(注意應(yīng)用等式
∑cos2(β-γ)-2∏cos (β-γ)=1)
=∑tan2(β-γ)+2∏tan (β-γ)∑cot(β-γ)
(注意應(yīng)用等式
=∑tan2(β-γ)+2∑tan (γ-α)tan (α-β)
=[∑tan (β-γ)]2≥0,
滿足定理四中條件④.
因此,由定理四知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(1)取等號.
例3(自創(chuàng)題)設(shè)x,y,z∈R+,n∈N,n≥2,則有
(3)
當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z中有兩個相等時,式(3)取等號.
證明由對稱性,不妨設(shè)x≥y≥z>0,則
滿足定理一中條件①.
另外,由于
≤0,
同理,有
滿足定理一中條件②.
(注意到當(dāng)x≥y≥z>0時,有
(注意到當(dāng)x≥y≥z>0時,有
≤0,
滿足定理一中條件③.
由此可知,我們只要證明
≥0,
≥0,
≥0,
≥0,
由于x≥y≥z>0,則有
因此,式(※)左邊式子
因此,要證明式(※),只要證明
上式容易證明,事實上,有
≥0,
于是式(※)得證,因此得到
滿足定理一中條件④.
因此,由定理一知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z中有兩個相等時,式(3)取等號.
類似證法,若利用定理四,可得
例4(自創(chuàng)題)設(shè)x,y,z∈R+,n∈N,n≥2,則有
(4)
當(dāng)且僅當(dāng)n=2,或x,y,z中有兩個相等時,式(4)取等號.
由例3,例4可得以下不等式鏈
例5(自創(chuàng)題)設(shè)△ABC三邊長為BC=a,CA=b,AB=c,其對應(yīng)邊上的中線分別為ma,mb,mc,面積為△,n∈N,則
(5)
當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等腰三角形時,式(5)取等號.
證明不妨設(shè)a≥b≥c>0,則
另外,由于2△≤ama,同時有
=(b2c2+c2a2+a2b2)-a2(2b2+2c2-a2)
=(a2-b2)(a2-c2)≥0,
因此,
同理可得
滿足定理一中條件②.
(注意到在a≥b≥c>0時,上面已證有bmb≥ama,bmb≥cmc)
=0,
滿足定理一中條件③.
因此, 由定理一知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等腰三角形時,式(5)取等號.
利用本文中的定理還可以證明許多類似不等式,這里就不再贅述了.