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        對一類三元n次不等式的證明

        2017-12-25 07:28:44楊學(xué)枝
        數(shù)學(xué)通報 2017年11期
        關(guān)鍵詞:四中自創(chuàng)同理

        楊學(xué)枝

        (福建省福州第二十四中學(xué) 350015)

        以下四個定理可用于證明一類三元n次不等式.文中“∑”與“∏”分別為三元數(shù)的循環(huán)和與循環(huán)積.

        定理一若①λ,u≥v≥0,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≤0,(u-1)(u-w)≤0(或λ,v≥u≥0,w≥0,(λ-1)(λ-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0;或u,v≥λ≥0,w≥0,(u-1)(u-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)·(u-w)+(v-1)(v-w)≤0;④λ+u+v≤1+2w.則對于n∈N,n≥2,有

        λn+un+vn≤1+2wn,

        當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.

        證明為以下書寫方便,記

        fk(p,q)=pk+pk-1q+pk-2q2+…+qk(k=0,1,2,…),并約定f0(p,q)=1,則

        λn+un+vn-1-2wn

        =(λn-1)+(un-1)+(vn-1)-2(wn-1)

        =(λ-1)fn-1(λ,1)+(u-1)fn-1(u,1)+

        (v-1)fn-1(v,1)-2(w-1)fn-1(w,1)

        ≤(λ-1)fn-1(λ,1)+(u-1)fn-1(u,1)+

        (v-1)fn-1(v,1)-[(λ-1)+(u-1)+

        (v-1)]fn-1(w,1)

        (應(yīng)用④)

        =(λ-1)[fn-1(λ,1)-fn-1(w,1)]+(u-1)[fn-1(u,1)-fn-1(w,1)]+

        (v-1)[fn-1(v,1)-fn-1(w,1)]

        應(yīng)用③,即得原式.

        推論一若①λ,u,v,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≤0,(u-1)(u-w)≤0;(v-1)(v-w)≤0;③λ+u+v≤1+2w.則對于n∈N,n≥2,有

        λn+un+vn≤1+2wn,

        當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.

        同理可證以下三個定理(證略).

        定理二若①0≤λ,u≤v,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≥0,(u-1)(u-w)≥0(或0≤λ,v≤u,w≥0,(λ-1)(λ-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0;或0≤u,v≤λ,w≥0,(u-1)(u-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)(u-w)+(v-1)(v-w)≤0;④λ+u+v≤1+2w.則對于n∈N,n≥2,有

        λn+un+vn≤1+2wn,

        當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.

        定理三若①λ,u≥v≥0,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≥0,(u-1)(u-w)≥0(或λ,v≥u≥0,w≥0,(λ-1)(λ-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0;或u,v≥λ≥0,w≥0,(u-1)(u-w)≥0,(v-1)(v-w)≥0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)(u-w)+(v-1)(v-w)≥0;④λ+u+v≥1+2w.則對于n∈N,n≥2,有

        λn+un+vn≥1+2wn,

        當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.

        推論二若①λ,u≥v≥0,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≥0,(u-1)(u-w)≥0;(v-1)(v-w)≥0;③λ+u+v≥1+2w.則對于n∈N,n≥2,有

        λn+un+vn≥1+2wn,

        當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.

        定理四若①0≤λ,u≤v,w≥0;②(λ-1)(λ-w)≤0,(u-1)(u-w)≤0(或0≤λ,v≤u,w≥0,(λ-1)(λ-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0;或0≤u,v≤λ,w≥0,(u-1)(u-w)≤0,(v-1)(v-w)≤0);③(λ-1)(λ-w)+(u-1)(u-w)+(v-1)(v-w)≥0;④λ+u+v≥1+2w.則對于n∈N,n≥2,有

        λn+un+vn≥1+2wn,

        當(dāng)且僅當(dāng)λ,u,v有一個等于1,其余兩個及w都相等時取等號.

        下面舉數(shù)例說明以上定理的應(yīng)用.

        ∑cos2n(β-γ)≤1+2∏cosn(β-γ)(1)

        當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(1)取等號.

        cos2(β-γ)≥cos2(α-γ)≥0,

        cos2(α-β)≥cos2(α-γ)≥0,

        ∏cos (β-γ)≥0,

        滿足定理一中條件①.

        另外,由于

        cos2(β-γ)-1≤0;

        cos2(β-γ)-∏cos (β-γ)

        =cos (β-γ)[cos (β-γ)-cos (α-γ)cos (α-β)]

        =cos (β-γ)sin (α-γ)sin (α-β)

        ≥0,

        因此,有

        [cos2(β-γ)-1][cos2(β-γ)-∏cos (β-γ)]≤0,

        同理,有

        [cos2(α-β)-1][cos2(α-β)-∏cos (β-γ)]≤0,

        滿足定理一中條件②.

        [cos2(β-γ)-1][cos2(β-γ)-∏cos (β-γ)]

        +[cos2(α-γ)-1][cos2(α-γ)-∏cos (β-γ)]

        +[cos2(α-β)-1][cos2(α-β)-∏cos (β-γ)]

        =-sin2(β-γ)sin (α-γ)sin (α-β)cos (β-γ)

        +sin (β-γ)sin2(α-γ)sin (α-β)cos (α-γ)

        -sin (β-γ)sin (α-γ)sin2(α-β)cos (α-β)

        =-2sin2(β-γ)sin2(α-γ)sin2(α-β)≤0,

        滿足定理一中條件③.

        又由于

        ∑cos2(β-γ)-[1+2∏cos (β-γ)]

        =[cos (β-γ)-cos (γ-α)cos (α-β)]2-[1-cos2(γ-α)][1-cos2(α-β)]

        =sin2(γ-α)sin2(α-β)-sin2(γ-α)sin2(α-β)=0,

        即有

        ∑cos2(β-γ)=1+2∏cos (β-γ),

        滿足定理一中條件④.

        因此,由定理一知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(1)取等號.

        (2)

        當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(2)取等號.

        證明顯然,當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(2)取等號,原命題成立.下面對α,β,γ互不相等情況,證明原式成立.

        滿足定理四中條件①.

        另外,由于

        因此,有

        同理,有

        滿足定理四中條件②.

        =∏tan (β-γ)[∑tan (β-γ)+∑tan3(β-γ)]

        =∏tan (β-γ){∑tan (β-γ)+[∑tan (β-γ)]3

        -3∑tan (β-γ)∑tan (α-γ)tan (α-β)

        +3∏tan (β-γ)}

        =∏tan (β-γ){∏tan (β-γ)+[∏tan (β-γ)]3

        -3∏tan (β-γ)∑tan (α-γ)tan (α-β)

        +3∏tan (β-γ)}

        =[∏tan (β-γ)]2{4+[∏tan (β-γ)]2

        -3∑tan (α-γ)tan (α-β)}

        =[∏tan (β-γ)]2{4+[∑tan (β-γ)]2

        -3∑tan (α-γ)tan (α-β)}

        =[∏tan (β-γ)]2[4+∑tan2(β-γ)

        -∑tan (α-γ)tan (α-β)]≥0

        (注意應(yīng)用等式∑tan (β-γ)=∏tan (β-γ)),

        滿足定理四中條件③.

        又由于

        [1-∏cos (β-γ)]

        (注意應(yīng)用等式

        ∑cos2(β-γ)-2∏cos (β-γ)=1)

        =∑tan2(β-γ)+2∏tan (β-γ)∑cot(β-γ)

        (注意應(yīng)用等式

        =∑tan2(β-γ)+2∑tan (γ-α)tan (α-β)

        =[∑tan (β-γ)]2≥0,

        滿足定理四中條件④.

        因此,由定理四知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ中有兩個相等時,式(1)取等號.

        例3(自創(chuàng)題)設(shè)x,y,z∈R+,n∈N,n≥2,則有

        (3)

        當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z中有兩個相等時,式(3)取等號.

        證明由對稱性,不妨設(shè)x≥y≥z>0,則

        滿足定理一中條件①.

        另外,由于

        ≤0,

        同理,有

        滿足定理一中條件②.

        (注意到當(dāng)x≥y≥z>0時,有

        (注意到當(dāng)x≥y≥z>0時,有

        ≤0,

        滿足定理一中條件③.

        由此可知,我們只要證明

        ≥0,

        ≥0,

        ≥0,

        ≥0,

        由于x≥y≥z>0,則有

        因此,式(※)左邊式子

        因此,要證明式(※),只要證明

        上式容易證明,事實上,有

        ≥0,

        于是式(※)得證,因此得到

        滿足定理一中條件④.

        因此,由定理一知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z中有兩個相等時,式(3)取等號.

        類似證法,若利用定理四,可得

        例4(自創(chuàng)題)設(shè)x,y,z∈R+,n∈N,n≥2,則有

        (4)

        當(dāng)且僅當(dāng)n=2,或x,y,z中有兩個相等時,式(4)取等號.

        由例3,例4可得以下不等式鏈

        例5(自創(chuàng)題)設(shè)△ABC三邊長為BC=a,CA=b,AB=c,其對應(yīng)邊上的中線分別為ma,mb,mc,面積為△,n∈N,則

        (5)

        當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等腰三角形時,式(5)取等號.

        證明不妨設(shè)a≥b≥c>0,則

        另外,由于2△≤ama,同時有

        =(b2c2+c2a2+a2b2)-a2(2b2+2c2-a2)

        =(a2-b2)(a2-c2)≥0,

        因此,

        同理可得

        滿足定理一中條件②.

        (注意到在a≥b≥c>0時,上面已證有bmb≥ama,bmb≥cmc)

        =0,

        滿足定理一中條件③.

        因此, 由定理一知原命題成立,并知當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等腰三角形時,式(5)取等號.

        利用本文中的定理還可以證明許多類似不等式,這里就不再贅述了.

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