朱勝強(qiáng)

(南京外國語學(xué)校 210008)

本刊2016年第9期《應(yīng)用空間向量與三角函數(shù)解題的一個范例》(以下簡稱文[1])一文中介紹了物理教師給同學(xué)們提出的一個傳統(tǒng)光學(xué)問題:

一束太陽光與水平面成40°角的方向射來,要使反射光線沿水平方向射出,平面鏡與水平面成多少度角擺放?

這是一個很有趣味的問題.直觀感覺有兩種結(jié)果,也就是鏡面與水平面成70°角或20°角.卻不知不覺犯了與文[1]所指的同樣錯誤.原來學(xué)習(xí)光學(xué)讓我們產(chǎn)生了思維定勢,誤將問題限定在同一平面中考慮.其實(shí),許多人都有這樣的生活體驗(yàn),當(dāng)陽光射入室內(nèi)時,用一面鏡子可將光線反射向每一個角落.因此,這一問題應(yīng)在三維空間中進(jìn)行思考.這就需要借助處理空間線面關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.所以,該問題是體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活及其它學(xué)科間聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的好素材,有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

文[1]給出了用空間向量與三角函數(shù)的解決問題的方法,得到了一般性的結(jié)論,拜讀后很受啟發(fā).然而,從應(yīng)用于教學(xué)的角度來看,感到有進(jìn)一步完善的必要.也就是解決問題的過程對學(xué)生來說稍顯復(fù)雜,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的學(xué)生,很可能會滿懷好奇地開始,未多久便被煩瑣的運(yùn)算弄得暈頭轉(zhuǎn)向,最后可能無功而返,這可能不利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感.由此引發(fā)了筆者的思考,為使該問題的教學(xué)價值得以充分發(fā)揮,是否有較為簡潔、在教師引導(dǎo)下學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)或容易接受的解決問題的方法呢?

1 對空間向量法的改進(jìn)

以入射點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),水平面為xOy平面,過入射光線且與水平面垂直的平面為yOz平面,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)入射光線與以O(shè)為球心,1為半徑的球面的交點(diǎn)為A,反射光線與該球面的交點(diǎn)為B,z軸的正半軸與球面的交點(diǎn)為Z.

圖1

設(shè)入射光線與水平面所成的角為α(0°<α<90°),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,cosα,sinα).因?yàn)榉瓷涔饩€在水平面內(nèi),所以設(shè)反射光線與x軸的正半軸所成的角為β(即從上向下看,將x軸正半軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與OB重合時轉(zhuǎn)過的最小正角,0°≤β<360°),則B點(diǎn)坐標(biāo)為(cosβ,sinβ,0).

= (cosβ,cosα+ sinβ,sinα).

可以看出,鏡面與水平面所成的角不僅與α有關(guān),還與β有關(guān).

如果β= 90°,則反射光線與y軸的正半軸重合.此時

如果β= 270°,則反射光線與y軸的負(fù)半軸重合.此時

與文[1]相比,這里沒有去求鏡面法線的單位向量,而是直接由入射光線與反射光線方向上的單位向量的和得到鏡面法向量,從而簡化了運(yùn)算.

2 直觀展示鏡面的變化規(guī)律

用空間向量雖然解決了問題,但依賴的是抽象的代數(shù)運(yùn)算.當(dāng)反射光線在水平面上改變方向時,鏡面相對于水平面位置發(fā)生著怎樣的變化,還是說不清楚.是否能較直觀地展現(xiàn)出來呢?

由上可知,鏡面過點(diǎn)O且與OM垂直.所以,只要弄清射線OM的方向是如何變化的,鏡面的變化規(guī)律也就清楚了.為此,考慮入射角α不變,B在xOy平面內(nèi)的單位圓上變化時,點(diǎn)M的變化情況.

圖2

有了鏡面變化規(guī)律的直觀展示,我們又可在此基礎(chǔ)上再度考察鏡面與水平面所成的角.

圖3

設(shè)直線DC與圓C的交點(diǎn)為E,F.則當(dāng)M位于E或F時,DM分別取得最大值與最小值.此時,∠DOM也相應(yīng)地取得最大值與最小值.注意到OEOF(∠AOy的內(nèi)角平分線與外角平分線垂直),∠COD= 90° -α,所以當(dāng)M位于點(diǎn)E時,B位于y軸的正半軸;當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)F時,點(diǎn)B位于y軸的負(fù)半軸.

如果反射光線OB與x軸的正半軸所成的角為β(0°≤β<360°),如何確定鏡面與水平面所成的角呢?(圖4)

圖4

∠DCM= 90° +β(或|270° -β|).

所以,DM2=DC2+CM2-

2DC·CMcos∠DCM

又因?yàn)镺DDM,所以,

OM2=OD2+DM2

因此,一旦摸清了鏡面的變化特點(diǎn),即使沒有掌握選修內(nèi)容中的空間向量知識,也可以較為簡潔地解決這一問題.

3 從學(xué)生熟悉的模型出發(fā)思考

用單位球面襯托鏡面的變化,從某種層度上講是受向量方法的影響,也就是將向量的模特殊化,這類似于三角函數(shù)中借助單位圓思考問題.對于不熟悉空間向量的學(xué)生來說,也許會有一定的難度.在立體幾何初步教學(xué)中,長方體或直棱柱等幾何體是學(xué)生較為熟悉的空間模型,在這樣的幾何體中研究問題,學(xué)生往往更能找到“空間感覺”.因此,我們也可以嘗試用學(xué)生熟悉的模型來研究問題.

在入射光線上取一點(diǎn)A,使AO= 1,設(shè)A在水平面上的射影為H.在反射光線上取一點(diǎn)B,使BO= 1.以△OBH為底面,AH為側(cè)棱,作直三棱柱OBH-IJA(如圖5).

圖5

因?yàn)镺A=OB= 1,所以△OAB為等腰三角形.取AB中點(diǎn)M,連結(jié)OM,則OM為∠AOB的平分線,因此OM是鏡面的垂線.又OI是水平面的垂線,所以,OI與OM所成的角∠IOM即為鏡面與水平面所成的角.取BH中點(diǎn)N,連結(jié)MN,可知∠OMN= ∠IOM.

設(shè)∠BOH=θ(0°<θ<180°).

由∠AOH=α(0°<α<90°),知AH=sinα,

又在△OBH中,OB= 1,OH= cosα,∠BOH=θ,

所以BH2= 1 + cos2α-2cosαcosθ.

所以AB2=AH2+BH2

= sin2α+ 1 + cos2α-2cosαcosθ

= 2-2cosαcosθ.

所以O(shè)M2=OB2-BM2

注意到此處的θ與前面的β間滿足關(guān)系cosθ= sinβ,因此所得結(jié)果與前面是一致的.

當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家P.R.哈爾莫斯曾指出:問題是數(shù)學(xué)的心臟.由此可見問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.美國著名的數(shù)學(xué)問題解決專家匈菲爾德還給出了“好問題”的五條審美原則,即一個好問題必須滿足:⑴是容易接受的(不需要大量技巧);⑵有多重解題方法(或者至少有多重思路);⑶蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想(好的數(shù)學(xué));⑷不故意設(shè)陷阱;⑸可以進(jìn)一步開展和一般化(導(dǎo)致豐富的數(shù)學(xué)探究活動).因此,問題的“好”與“不好”不是只片面地取決于問題本身,還要看問題提供給誰思考,看教師對問題的認(rèn)識程度.通過對文[1]中問題的再度研究可以體會到,教學(xué)中的“好問題”不盡是天然的,有時是在教師從學(xué)生的視角對它進(jìn)行深入思考、發(fā)掘后,才充分顯現(xiàn)出它的教學(xué)價值.