孫慶括

(南昌師范學院數(shù)學與計算機科學系 330032)

①本文系2015年江西省高等學校教改課題“基礎教育新課改背景下高師《數(shù)學史》課程體系改革研究”(JXJG-15-23-7)系列成果之一.

自從20世紀80年代美國數(shù)學家懷爾德(R.Wilder)提出了數(shù)學是一種文化體系的觀點后，數(shù)學文化研究受到了世界各國的普遍重視，并在世界范圍內(nèi)掀起一股數(shù)學文化融入數(shù)學教育的研究熱潮.我國2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗稿)》更是把“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”作為高中數(shù)學課程的十項基本理念之一，強調(diào)數(shù)學文化是貫穿整個高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容，數(shù)學課程應適當反映數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神，要求把數(shù)學文化滲透到每個模塊或?qū)ｎ}中[1].為落實這一理念，各種版本的高中數(shù)學教材在每章節(jié)中都安排了蘊含豐富數(shù)學文化價值的“閱讀材料”.進一步，無論各省市高考自主命題的地方卷，還是新課標全國卷，均出現(xiàn)了以數(shù)學文化為背景的試題，成為新課改理念下高考改革和發(fā)展的一道靚麗風景，尤其是湖北省，已經(jīng)連續(xù)多年命制此類考題，逐漸形成了“依托數(shù)學史料，嵌入數(shù)學名題，彰顯數(shù)學文化”高考數(shù)學命題特色和亮點[2].對近十年高考數(shù)學文化試題進行剖析，一方面為后續(xù)高考命題者命制出素材更加豐富和題型更加新穎的試題提供啟發(fā).另一方面，為廣大中學數(shù)學教師更合理地利用教材進行數(shù)學文化的探究式教學提供參考.

1 試題特征分析

據(jù)不完全統(tǒng)計，2008-2016年有關數(shù)學文化的試題共34道(數(shù)學文化的標準不同，本文采用南開大學顧沛教授的數(shù)學文化廣義內(nèi)涵，包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關系等)，在高考數(shù)學試題中的分值比重已越來越大，涉及湖北、北京、上海、浙江、江蘇、江西、福建、全國卷等.其中，湖北卷幾乎年均有2-3題左右，全國卷從2015年開始重視，以后每年都有題目出現(xiàn).為更直接地體會全國各地高考數(shù)學新課標文、理試卷中的數(shù)學文化試題，按年份列出下表(見表1)，并總結出了數(shù)學文化背景試題的一些特征：

第一，從文理試卷分配看，數(shù)學文化背景試題出現(xiàn)在理科數(shù)學卷中較多，文科卷相對較少，但全國卷中文科卷出現(xiàn)較多.第二，從題型和知識點分布看，基本以選擇題和填空題為主，計算題和證明題相對較少.另外，涉及到的知識點主要集中在函數(shù)、數(shù)列、立體幾何證明與計算、各類幾何形體的體積計算、比例計算、算法程序框圖等.其中，數(shù)列與幾何形體的體積計算、算法程序框圖所占比重明顯較大，也出現(xiàn)了有關數(shù)學史的幾何證明題，且分值較大.第三，從素材選取來源來看，出自我國數(shù)學名著的數(shù)學文化真題幾乎均來源于《九章算術》、《數(shù)書九章》及《算數(shù)書》，其中以《九章算術》為主.大多以古代社會人們的生活實際和生產(chǎn)實際為背景，且先用古漢語描述，再以現(xiàn)代漢語予以翻譯和解釋.另外，外國古代數(shù)學文化也有涉及，多以數(shù)學名題為主.可見，命題者也注意到了數(shù)學的文化多元性思想.第四，從類別和價值上看，涉及數(shù)學史料中的古算題、數(shù)學名題、數(shù)學家人物及優(yōu)秀成果、數(shù)學與其它學科的文化聯(lián)系等.其中，數(shù)學與其它學科的文化聯(lián)系所占比例較少.進一步，突出科學價值、人文價值及應用價值較多，突出美學價值較少.第五，從呈現(xiàn)方式看，僅有顯性和隱性兩種形式.其中，顯性形式是直接給出數(shù)學文化背景作為試題的情景或引子，解答與數(shù)學文化背景基本無關.而隱性形式是指不直接給出數(shù)學文化背景，隱含考查與數(shù)學文化相關的知識和思想方法[3].而顯性和隱性兩種相結合的呈現(xiàn)方式?jīng)]有涉及.

表1 2008-2012年全國高考數(shù)學文化試題特征統(tǒng)計

2 試題欣賞與評析

2.1 以中國數(shù)學典籍史料中優(yōu)秀成果為背景

1.算數(shù)書

評析此題來源于成書于公元前186年以前的《算數(shù)書》，是目前已知最早的中國數(shù)學著作，對后世《九章算術》的產(chǎn)生也有一定影響，開創(chuàng)了我國古代數(shù)學重應用的特色，標志著我國古代數(shù)學理論體系開始初步形成.本題考查圓錐的體積計算，較為簡單，答案為B.但它的意義和價值實際上已遠遠超出了試題本身，會激發(fā)考生積極主動學習數(shù)學史知識，了解中國古代的數(shù)學成就.

2.九章算術

例3(2015全國Ⅰ卷·文6)《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問“積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖1，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( ).

A.14斛 B.22斛

C.36斛 D.66斛

圖1

評析兩道題均來自于大約成書于公元1世紀的《九章算術》，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系.其內(nèi)容包括方田、粟米、衰分、少廣、商工、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，全書共有246個問題，每個問題均有給出相當于數(shù)學公式的解答.例2和例3從試題形式上看有一定的相似性，較為簡單.都是以《九章算術》中的問題為顯性材料，通過文言與翻譯相匹配理解問題的含義，結合球體積、圓錐體積等立體幾何知識進行計算，素材新穎，貼近生活，弘揚了中國數(shù)學文化.例2根據(jù)球體積公式答案計算為D.例3根據(jù)題中的條件列出關于底面半徑的方程，解出底面半徑，進而求出其體積，再估算出堆放米的數(shù)量為B.

3.數(shù)書九章

例4(2013湖北卷·文16)我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.注：① 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸.

例5(2016全國Ⅱ卷·理8) 中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=.

A．7 B．12 C．17 D．34

圖2

評析試題源于成書1247年南宋時期秦九韶所著的《數(shù)書九章》，是對《九章算術》的繼承和發(fā)展，概括了宋元時期中國傳統(tǒng)數(shù)學的主要成就，標志著中國古代數(shù)學的高峰.例4考查的是幾何形體圓臺的體積計算，與例1、例2和例3一樣，都是以典籍史料中的問題為背景，通過數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法的運用求得答案為3寸.例5不同于例1-4題，僅局限于把《數(shù)書九章》中的“多項式值的算法”作為一個材料背景，而是把其中的秦九韶思想與算法的程序框圖結合起來進行再創(chuàng)造，讓考生運用所學的基本知識和技能解決問題，正是這道題的創(chuàng)新點，值得推廣.

2.2 以外國數(shù)學家創(chuàng)造的數(shù)學名題為背景

1.阿波羅尼斯圓

例6(2014湖北卷·文17)已知圓O：x2+y2=1和點A(-2,0)，若定點B(b,0)(b≠-2)和常數(shù)λ滿足：對圓O上那個任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則b=,λ=.

2.皮克定理

例7(2013湖北卷·文17)在平面直角坐標系中，若點P(x,y)的坐標x,y均為整數(shù)，則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖3中△ABC是格點三角形，對應的S=1,N=0,L=4.

圖3

(1)圖中格點四邊形DEFG對應的S,N,L分別是；

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a,b,c為常數(shù).若某格點多邊形對應的N=71,L=18，則S=.

例8(2011北京卷·理8)設A(0,0),B(4,0)，C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)N(t)的值域為( ).

A．{9,10,11} B．{9,10,12}

C．{9,11,12} D．{10,11,12}

3.布洛卡點

圖4

例10(2011北京大學保送試題)△ABC內(nèi)部一點O，滿足∠BAO=∠CAO=∠ACO，

求證：三邊成等比數(shù)列.

2.3 以數(shù)學與其它學科的聯(lián)系為背景

例10(2012湖北卷·文17)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99.三位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.則：

(1)4位回文數(shù)有個；(2)2n+1(n∈N+)位回文數(shù)有個.

評析“回文”是古今中外文學作品中都有的一種特殊修辭方式，是正讀反讀都能讀通的句子，有回文詩、回文聯(lián)等.如“靈山大佛，佛大山靈”，其意境和韻味讀來都是美妙的，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱之美.數(shù)學中的“回文數(shù)”是指無論從左讀到右還是從右讀到左，都是同一個數(shù).如121，2002，12321等.第1問中4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，即9×10=90；第2問中根據(jù)規(guī)律2位數(shù)有回文數(shù)9個，3位數(shù)有90個，4位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00，11，22，…99”，故有90個，即有2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個數(shù)相同.而2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0，有9種情況，后面n項每項有10種情況，故個數(shù)為9×10n.

3 啟示與思考

3.1 命題者要兼顧題型多樣化和設計方式創(chuàng)新性

第一，研究數(shù)學文化題型設計的多樣化.改變當前多以選擇題和填空題為主，題型單一，考查功能有所缺失的特點.研究設計包括證明題和計算題等其他題型，同時探索多元化的設問方式，提高數(shù)學文化內(nèi)容的考查信度和效度.

第二，豐富數(shù)學文化素材選取的類型.目前素材類型主要涉及數(shù)學名著、數(shù)學名題等，像數(shù)學游戲、數(shù)學與其它學科的聯(lián)系等其他類型涉及較少.因此，從實際出發(fā)結合學生的實際和考試效度選擇豐富的數(shù)學文化素材類型設計試題至關重要.比如美國《數(shù)學教師》雜志在這方面進行了大量研究.從2007-2012年共發(fā)表數(shù)學文化類論文120篇，其中涉及數(shù)學與自然科學、數(shù)學與文學、數(shù)學與藝術、數(shù)學與社會科學、數(shù)學與建筑、數(shù)學與生活、數(shù)學與游戲、數(shù)學與體育等8類主題，每類主題均開發(fā)了大量素材新穎的數(shù)學文化試題.

第三，創(chuàng)新數(shù)學文化試題的呈現(xiàn)方式.目前，大多數(shù)試題以數(shù)學文化背景或數(shù)學名題“再現(xiàn)”的方法進行呈現(xiàn)，考查方式較為傳統(tǒng).因此，要把數(shù)學文化內(nèi)容與考查學生的觀察、歸納、概括、猜想、發(fā)現(xiàn)等能力和數(shù)學素養(yǎng)結合起來.比如Suzuki[5]通過數(shù)學與詩歌之間的聯(lián)系，結合集合和排列知識，開發(fā)了這樣一道試題：詩歌的每一行末尾是押韻的，分別以A、B、C、D等來表示各個韻腳.在數(shù)學上，這些字母各對應于一些單詞所組成的集合.如A={moon,tune,spoon,…}，B={fate,late,mate,date,…}.若詩歌的韻律為ABAB，則第一、三行以A中的單詞結尾，二、四行以B中的單詞結尾.一首好詩要求集合A、B、C、…不能有交集.如莎士比亞十四行詩的韻律為ABAB CDCD EFEF GG.問：(1)三個韻腳A、B和C共有多少種排列？(3!=6).(2)一首6×3=18行的詩歌應包含的所有格式為？(ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA).

3.2 教師要巧用教材中數(shù)學文化素材展開探究教學

第一，巧用教材中數(shù)學文化專題或模塊進行常規(guī)教學.一方面，挖掘教材中許多專題的獨特文化背景，利用問題、方法的背景或者產(chǎn)生的曲折歷程，創(chuàng)設充滿濃郁數(shù)學文化的教學問題情景.另一方面，借助數(shù)學文化突破教學難點.如對高中函數(shù)概念的教學，如果采取傳統(tǒng)的先給出定義，再舉例、練習強化的方式進行教學，往往效果不佳．教學中可以先利用函數(shù)概念的發(fā)展史，從變量說引入，到對應說，再到關系說，再合理應用一些“怪的函數(shù)”如符號函數(shù)和高斯函數(shù)等，可以幫助學生理解函數(shù)的概念和本質(zhì)，從而提升學生對學科本質(zhì)的認識.

第二，善用教材中隱性數(shù)學文化知識進行拓展訓練.當前教材中出現(xiàn)了許多高考數(shù)學文化命題素材來源題.如“阿波羅尼斯圓”、“回文數(shù)”、“三角形數(shù)”分別出現(xiàn)在人教版高中數(shù)學必修2第131頁習題4及必修3第51頁第3題和必修5第28頁的正文部分.因此，教師上課時要有意識的對這些數(shù)學文化素材或歷史名題進行拓展改編.比如根據(jù)布洛卡點的基本性質(zhì)，就可以結合余弦定理、外森比克不等式和等比數(shù)列等知識拓展許多變式問題[6].

第三，編寫具有數(shù)學文化的校本課程或講義.比如可以搜集資料編寫數(shù)學歷史名題集和部分高中數(shù)學知識歷史發(fā)展專題講義.進一步，鼓勵學生閱讀關于與中學數(shù)學教育相關的數(shù)學文化著作.