袁兆明

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

1 一些記號和預(yù)備知識

首先.對于三維歐式空間3的一組不共面的向量e1,e2,e3,我們可以唯一以其作為一組基底構(gòu)造仿射坐標(biāo)系.記gij=ei·ej,由于內(nèi)積的交換性,故

ei·ej=ej·ei,

亦即

gij=gji,?i,j∈{1,2,3}.

由此誘導(dǎo)的度量系數(shù)矩陣

是一個正定的對稱矩陣.|g|>0.

我們定義三個向量的混合積為:

[a,b,c]=(a×b)·c.

在Descartes右手直角坐標(biāo)系中,gij=δij,故g=I3.

任意三個向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),有

a·b=abT,

在一般的仿射坐標(biāo)系.對于任意兩個向量a,b有

a·b=agbT,

可是我們并沒有給出明確的計(jì)算外積的公式.在這里.經(jīng)過推導(dǎo).我們將給出仿射坐標(biāo)系下向量外積一般的坐標(biāo)表達(dá)式.即有如下定理成立:

對于空間中任意兩個向量a,b以及任意三個不共面的向量e1,e2,e3,有:

2 基向量間的外積

2.1 從Descartes系看一般仿射系

在Descartes坐標(biāo)系中.證明外積的公式有大致兩種證明方法:

1.求出基向量之間的外積.利用外積的線性性質(zhì)求任意向量的外積.

2.通過一般性地設(shè)出所求向量.根據(jù)外積的性質(zhì)解得向量的坐標(biāo).

在這里.我們將同時(shí)采用這兩種方法.即用待定系數(shù)法確定基向量間的外積.再利用外積的線性性質(zhì)求一般向量的外積.

2.2 一組基向量間的外積

我們?nèi)O;e1,e2,e3}為仿射坐標(biāo)系的一組基.記c=e1×e2并設(shè)c=xe1+ye2+ze3,則

c·e1=(xe1+ye2+ze3)·e1=xg11+yg12+zg13

c·e2=(xe1+ye2+ze3)·e2=xg21+yg22+zg23.

這是一個齊次線性方程組.并且e1和e2不平行.解得這個方程組的解空間為

(x,y,z)=λ(x0,y0,z0)

記c=λc0,c0=(x0,y0,z0),其中λ≠0.

我們通過整理c0可以得到如下的結(jié)果:

|c0|2=(x0e1+y0e2+z0e3)2

2y0z0g23+2x0y0g13

=(g12g23-g13g22)2g11+(g13g21-g11g23)2·g22+(g11g22-g12g21)2g33+2(g12g23-g13g22)·(g13g21-g11g23)g12+2(g13g21-g11g23)(g11g22-g12g21)g23+2(g12g23-g13g22)(g11g22-g12g21)g13

由向量的性質(zhì).我們知道,

|a·b|2+|a×b|2=|a|2|b|2.

代入c0,c與a,b的關(guān)系可知:

而由代數(shù)關(guān)系.我們知道:

上式右端即為|g|.

由之前的推導(dǎo).我們可以得到

而由于g是正定矩陣.|g|>0故:

sign[e1,e2,e3]=signλ,

2.3 其它基向量間的外積表達(dá)式

為了討論方便.我們把之前對于e1×e2的系數(shù)λ暫記為λ12,用同樣的方法計(jì)算時(shí).得到ei×ej的系數(shù)記為λij(i≠j)記k為不同于i和j的另一個數(shù).并且

在選取e1,e2這兩個基向量做外積的時(shí)候.我們得到了系數(shù)λ12的符號.與三個基向量的混合積相同.那么.當(dāng)我們選取其它基向量時(shí).系數(shù)λij的符號會如何呢？

首先.由于向量的混合積具有輪換的性質(zhì).我們知道

[e1,e2,e3]=[e2,e3,e1]=[e3,e1,e2],

[e2,e1,e3]=[e3,e2,e1]=[e1,e3,e2].

所以我們可以得到

與[ei,ej,ek]=επij[e1,e2,e3]及[e1,e2,e3]的結(jié)構(gòu)比較,可以得到

λij=λ12,?i≠j.

我們?nèi)耘f將其記作λ,

當(dāng)(i,j)=(1,2)的時(shí)候.上式即變成e1×e2式.至此,我們得到了在仿射坐標(biāo)系下任意兩個基向量之間外積的坐標(biāo)表達(dá)式.

3 一般兩向量間的外積

下面.我們通過外積的線性性質(zhì).得出一般的兩個向量的外積表達(dá)式.首先.由我們已知:

對于任意向量a=xae1+yae2+zae3,

a×e2=(xae1+yae2+zae3)×e2

同理，對于b=xbe1+ybe2+zbe3,方法相似地可以得到:

將λ的值代入.最后.我們得到仿射坐標(biāo)系下.一般的兩個向量外積的表達(dá)式為:

a×b=

4 進(jìn)一步的討論

4.1 進(jìn)一步化簡這個表達(dá)式

我們下面來進(jìn)一步的討論這個式子.設(shè){i,j,k}是一組單位正交基向量.那么由空間向量基本定理,存在過渡矩陣T,使得

(e1,e2,e3)=(i,j,k)·T,

其中

我們經(jīng)過驗(yàn)證.易知

T·TT=g,

而且[e1,e2,e3]=|T|.

所以我們有

所以.我們可以將我們之前得到的表達(dá)式進(jìn)行進(jìn)一步的整理.最終可得:

在Descartes坐標(biāo)系下.上式便退化成我們熟知的外積表達(dá)式(1).

4.2 結(jié)論

經(jīng)過如上的化簡.我們已經(jīng)知道了一般的仿射坐標(biāo)系下兩個外積的坐標(biāo)表達(dá)式.這個表達(dá)式中的每一項(xiàng)都是與e1,e2,e3這組基向量的選取相關(guān)的,但是最后我們算出來的結(jié)果卻是與基向量的選取無關(guān)的量,體現(xiàn)了解析幾何中的一個重要的本質(zhì)問題:坐標(biāo)只是一個強(qiáng)而有力的工具,我們更關(guān)心的是那些不依賴于坐標(biāo)的選取而變化的量.