崔志榮

(江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) 224221)

1 精彩再現(xiàn)

近日，在網(wǎng)上學(xué)習(xí)了一篇文章《做數(shù)學(xué)是倒過(guò)來(lái)的》，該文是中國(guó)科學(xué)院院士林群在2009年“翱翔計(jì)劃”啟動(dòng)會(huì)上的科學(xué)家報(bào)告，文章著重講述了，數(shù)學(xué)的思維與用處.讀罷此文，感觸頗深，尤其是林院士介紹的“笛卡爾發(fā)現(xiàn)四面體重心的思維過(guò)程”，特別有意思，以下與讀者再來(lái)回味這精彩的思維過(guò)程.

大家思考一下這個(gè)問(wèn)題：任意一個(gè)四面體的重心在哪兒？笛卡爾說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題太難了，誰(shuí)能猜出來(lái)重心在哪里？笛卡爾的想法是，雖然搞不清楚“任意四面體的重心在哪里”，但可以想象將它的一個(gè)頂點(diǎn)壓低一點(diǎn)，再壓低一點(diǎn)，一直壓到底面內(nèi)，四面體就變成了三角形.如果任意四面體的重心不會(huì)求，把它壓成一個(gè)三角形，三角形的重心會(huì)求吧？笛卡爾是個(gè)很“笨”的人，他說(shuō)，這個(gè)我也不會(huì)，三角形是各種各樣的，有大有小、有胖有瘦，不同形狀的三角形重心會(huì)在什么地方呢？這個(gè)問(wèn)題，笛卡爾也不會(huì).但是他想，把三角形的一個(gè)頂點(diǎn)往下壓，直到把這個(gè)頂點(diǎn)壓進(jìn)另一條邊內(nèi)，這樣一個(gè)三角形就變成了一條線段，笛卡爾又問(wèn)：一條線段的重心在哪兒？是在中點(diǎn)上.所以你看，笛卡爾他很“笨”，看到一個(gè)問(wèn)題他不懂，就會(huì)追根到底，一定要搞個(gè)水落石出.當(dāng)他把任意一個(gè)四面體變成一條線段的時(shí)候，他說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題我會(huì)了，線段的重心是在中點(diǎn)上，用他的話說(shuō)，這是一個(gè)挑扁擔(dān)的農(nóng)夫都知道的.如果這個(gè)會(huì)了，我就知道任意三角形的重心在哪兒了，一個(gè)三角形可以認(rèn)為是由一根一根長(zhǎng)短不一的火柴棍擺起來(lái)的，每一根火柴棍就是一條線段，由于每根火柴棍的重心都在它的中點(diǎn)上，所以整堆火柴棍組成的三角形的重心就在三角形的中線上，因此笛卡爾就說(shuō)，一個(gè)三角形的重心一定在一條中線上.這個(gè)大家同意吧？你看，笛卡爾多“笨”啊，只有這樣講他才懂.然后，他分別以三角形的三條邊為底擺火柴棍，就有由火柴棍的重心組成的三條中線，由于三角形的重心是唯一的，因此三條中線必須交于一點(diǎn).于是，笛卡爾就把這么一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，一下子變成了“一條線段的重心何在”、“一個(gè)三角形的重心何在”的簡(jiǎn)單問(wèn)題了，事實(shí)上，這就已經(jīng)從直觀上發(fā)明了“三角形的三條中線交于一點(diǎn)”的定理.

這樣的證明，我們一輩子都不會(huì)忘記.但如果從平面幾何公理出發(fā)證明，你們剛剛學(xué)過(guò)能記住，等你們大學(xué)畢業(yè)，保證就忘光了.笛卡爾的發(fā)明方法使你一輩子都能記住，因?yàn)槟悴豢克烙浻脖常芽柌粌H告訴你定義、定理的證明方法，還會(huì)告訴你發(fā)明的方法.從他的發(fā)明，就知道三角形三條中線一定交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，而四面體可以被看作是以四面體的一個(gè)面為底，由一個(gè)一個(gè)的三角形向上堆起來(lái)的，每個(gè)三角形的重心連成了一條線，而分別以四面體的四個(gè)面為底面堆三角形，就有四條由重心連成的線，這四條線交在一點(diǎn)上，這個(gè)點(diǎn)就是四面體的重心.你看這個(gè)問(wèn)題多簡(jiǎn)單！原本多復(fù)雜的一個(gè)問(wèn)題一下變成了一個(gè)多簡(jiǎn)單的問(wèn)題了，把一個(gè)科學(xué)家只有絞盡腦汁才能想出來(lái)的問(wèn)題，變成了一個(gè)農(nóng)夫就能解決的問(wèn)題了.

以上笛卡爾這種倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)的方法，實(shí)際上就是特殊化思維，四面體的極限情況是三角形，三角形的極限情況是線段，然后，通過(guò)線段的重心反思三角形的重心，再由三角形的重心反思四面體的重心.這正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授所講，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)決竅.

2 問(wèn)題反思

數(shù)學(xué)大師們的這種倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)，退到最簡(jiǎn)單情形思考的思維方式，對(duì)我們中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，應(yīng)有深刻的指導(dǎo)意義！然而，筆者在思考，我們中學(xué)教師有沒有用心去啟迪學(xué)生的這種特殊化思維方式呢？我們的學(xué)生是否善于運(yùn)用這種思維方式去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？值得疑問(wèn).比如，兩角差的余弦cos(α-β)公式的教學(xué)，我們有沒有真正引導(dǎo)學(xué)生倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)公式呢？也許有教師說(shuō)，該公式的生成，我們充分引導(dǎo)學(xué)生思考，以學(xué)生探究為主，而后生成公式.那好，如果在高考中，出這樣一道題：談?wù)剝山遣畹挠嘞襝os(α-β)公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，并證明.高考后，會(huì)不會(huì)罵聲一片呢？2011年陜西高考數(shù)學(xué)試題：敘述并證明余弦定理.還沒有要求考生研究公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，就被罵得不輕.

另外，縱觀兩角差的余弦cos(α-β)公式的新授課，讀者有沒有注意到，絕大多數(shù)課是20～25分鐘完成公式的生成，然后是公式的運(yùn)用.很顯然，學(xué)生自主探究，不可能這么快發(fā)現(xiàn)公式，他們都比那些數(shù)學(xué)先輩們聰明？其實(shí)是我們教師過(guò)度引導(dǎo)所致，是學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)過(guò)公式，假探究而已，沒有充分讓學(xué)生倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué).文[2]作者提出，不預(yù)習(xí)的課堂也很精彩，筆者非常認(rèn)同，讓學(xué)生進(jìn)行本真探究，真正還原公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，恐怕學(xué)生一節(jié)課也未必探究得出來(lái)！讓學(xué)生課后繼續(xù)思考，并把探究過(guò)程以及證明方法整理成數(shù)學(xué)小論文，第二節(jié)課再繼續(xù)交流，那才能算接近真實(shí)的探究！

3 案例分析

上文說(shuō)明，退到最簡(jiǎn)單情形，倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)，學(xué)生(包括我們教師)其實(shí)悟得并不深.類似的一些其他倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)的方法，我們也同樣有問(wèn)題，以下筆者試舉一些案例，以此說(shuō)明要加強(qiáng)倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)的解題意識(shí)，并需要切實(shí)用到教學(xué)中去.

3.1 分析法

案例1已知點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1

案例2若方程lgx=3-x的解x0∈(k,k+1)，k∈N+，則運(yùn)用二分法可得x0所屬的下一個(gè)區(qū)間為__________

易分析，方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)=lgx+x-3單調(diào)遞增，又計(jì)算得f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2,3)，運(yùn)用二分法，應(yīng)計(jì)算f(2.5)=lg2.5-0.5的正負(fù)，怎樣判斷其正負(fù)呢？很多學(xué)生想到的是計(jì)算器，卻很少有學(xué)生倒過(guò)來(lái)想，要得f(2.5)的正負(fù)，即比較lg2.5與0.5，即比較2.5與100.5，即比較2.52與10，即比較6.25與10，很容易得到lg2.5<0.5.這種倒過(guò)來(lái)的比較方法，其實(shí)就是分析法的思路，此例再次說(shuō)明，用分析法倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)，中學(xué)師生的意識(shí)還是比較薄弱的！

3.2 反證法

有些證明題，難以由條件直接推理證明出結(jié)論，可以反設(shè)結(jié)論，由此推理出與條件、定義、定理等矛盾，這種證明方法叫做反證法.反證法也是一種倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)的典型方法，一些否定性結(jié)論，結(jié)論是“至多”、“至少”類的問(wèn)題，常用反證法.還有一些不等式的證明，也可以用反證法，反設(shè)結(jié)論的不等方向找矛盾.其實(shí)，也有一些非證明問(wèn)題，也需要采用反證法的思路，倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)，思維才得以順暢.

案例4已知A,B,C三人中，有一人是真理，他總說(shuō)真話；有一人是謊言，他總說(shuō)假話；還有一人是智慧，他的話真假難辨.以下是他們表明自己身份的話，你能判斷A,B,C的身份嗎？

A說(shuō)：B是真理；B說(shuō)：我是智慧；C說(shuō)：B是謊言.

推理判斷問(wèn)題，其實(shí)也需用反證法的思路，先確定一個(gè)結(jié)論進(jìn)行推理，有矛盾再轉(zhuǎn)換結(jié)論，直至所假設(shè)結(jié)論與條件都相容為止.這也是倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)，直接由條件難以推理出結(jié)論，先假設(shè)一個(gè)結(jié)論，再推理，就思維暢通了.案例3，若假設(shè)A是真理，而真理總說(shuō)真話，所以B是真理，矛盾；若假設(shè)B是真理，但他又說(shuō)“我是智慧”，也矛盾；所以C是一定真理，那他說(shuō)的一定是真話，所以B是謊言，所以剩下的A就是智慧了.

3.3 尺規(guī)作圖

案例5如圖1，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A,B是直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，試用尺規(guī)作圖在直線l作出點(diǎn)P，使得直線l平分∠APB.

圖1

圖2

案例5是筆者上初二的女兒?jiǎn)柕囊坏李}，說(shuō)句老實(shí)話，教高中數(shù)學(xué)，長(zhǎng)期不接觸尺規(guī)作圖，受經(jīng)驗(yàn)所制約，還就不能立即看出作圖方法，怎么辦呢？我們可以運(yùn)用倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)的思路，假設(shè)已經(jīng)作出點(diǎn)P(如圖2)，連接AP,BP，這時(shí)思維就自然流暢了，我們可充分運(yùn)用角平分線的相關(guān)知識(shí)，如角平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的三線合一、利用角平分線構(gòu)造全等三角形等等，試圖發(fā)現(xiàn)圖形的一些性質(zhì)，由此筆者發(fā)現(xiàn)了，過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線交AP于點(diǎn)B′，由三角形全等可知，直線l垂直平分線段BB′.如此思考，筆者最終找到了尺規(guī)作圖的方法：過(guò)點(diǎn)B作直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連AB′交直線l與點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.筆者把自己的思路分析給女兒聽后，她說(shuō)，爸爸還有點(diǎn)聰明哎！其實(shí)，不是聰明不聰明的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，是分析出來(lái)的！

4 學(xué)習(xí)感悟

通過(guò)對(duì)林群院士這篇文章的學(xué)習(xí)、反思、以及一些案例的分析，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者有兩點(diǎn)想法，與讀者交流.

(1)啟迪思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).我們常聽很多人抱怨，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用呢？包括筆者以前也曾質(zhì)疑過(guò)，社會(huì)很多職業(yè)并不需要太多數(shù)學(xué)知識(shí)，我們?yōu)槭裁匆兄行W(xué)生都學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？讓少數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，為一些高尖端的科學(xué)技術(shù)服務(wù)，不就行嗎？筆者當(dāng)時(shí)的認(rèn)識(shí)錯(cuò)了，把數(shù)學(xué)教學(xué)僅局限于數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授.其實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是多方面的，需要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法、需要啟迪學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題等等.文[3]作者談到，數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)思考與推理等.確實(shí)如此，像林群所講的“倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)”，就是一種思維方式，學(xué)生需要學(xué)習(xí)并掌握這種逆向思維，在他們將來(lái)的社會(huì)活動(dòng)中思考問(wèn)題，大有裨益！比如，從事刑偵的警察，就要有很強(qiáng)的推理能力，他們需要根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)、受害者的陳述等，尋找破案線索，這種抓住結(jié)論(案發(fā)現(xiàn)場(chǎng))的逆向推理，就有點(diǎn)類似于我們倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué).我們生活社會(huì)上，會(huì)遇到不少問(wèn)題需要解決，當(dāng)然離不開思考，學(xué)生時(shí)代學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思維方式，自然會(huì)有潛移默化的影響.

(2)重視數(shù)學(xué)思維的感悟教學(xué).本文所講的倒過(guò)來(lái)做數(shù)學(xué)，只涉及一些重要的思想方法，如特殊化、分析法、反證法等.也許有讀者會(huì)認(rèn)為，這些方法都很常規(guī)，學(xué)生不難掌握，有必要大張旗鼓地談?wù)撨@個(gè)問(wèn)題嗎？上文問(wèn)題反思中，談到cos(α-β)的展開式.有多少教師能保證，你所教過(guò)的學(xué)生能順利說(shuō)出公式的發(fā)現(xiàn)思路及具體的發(fā)現(xiàn)過(guò)程呢？上文案例1，只有一名學(xué)生想到分析法，不能不說(shuō)明，我們這方面的教學(xué)還或多或少存在一些問(wèn)題.現(xiàn)行教材專門有一章內(nèi)容《推理與證明》，研究本文所涉及到的方法，當(dāng)時(shí)的新授課是不是快了，學(xué)生理解并不深刻？除了這章內(nèi)容，我們解決問(wèn)題的視角是不是窄了，這類方法用得少了？即使用到這些方法，我們是不是引導(dǎo)過(guò)度，學(xué)生缺少思考感悟、缺少過(guò)程處理的體驗(yàn)?zāi)兀?其實(shí)，我們不能把這章內(nèi)容作為知識(shí)學(xué)習(xí)，而應(yīng)該教會(huì)學(xué)生思考，運(yùn)用這些重要的思想方法去解決問(wèn)題，不能僅僅限于這一章內(nèi)容的教學(xué)，而應(yīng)該滲透到整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中去(包含這章內(nèi)容之前，比如分析法，教材上基本不等式的證明，就已經(jīng)運(yùn)用了)，讓學(xué)生充分思考這些方法的運(yùn)用，讓學(xué)生充分感悟這些思維方式！

此外，作為數(shù)學(xué)教師，我們要提升專業(yè)素養(yǎng)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和認(rèn)識(shí)，不能只教課本上的死知識(shí)，而要關(guān)注知識(shí)的生成與理解；不能就題解題，而要多與學(xué)生探討問(wèn)題的本質(zhì)；不能僅是題型與方法的簡(jiǎn)單歸納，而要多啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生多視角思考問(wèn)題、多角度思考方法.