毛錫榮

(無錫市輔仁高級中學 214123)

“三角函數(shù)的應用”是蘇教版必修四第一章《三角函數(shù)》第三節(jié)第四部分的內容．教科書專門設置這一節(jié)，意圖是讓學生感受三角函數(shù)在解決具有周期性變化規(guī)律問題中的作用，體驗三角函數(shù)與日常生活和其他學科的聯(lián)系．建立和運用三角函數(shù)模型解決實際問題，對教師來說是很簡單的，但對高一學生而言，卻是一個全新的內容.什么是簡諧運動？為什么三角函數(shù)模型能描述和刻畫簡諧運動？怎樣建立三角模型解決具有周期性運動特征的實際問題？他們既感到陌生，又難以理解．

為了有效地突破這一教學難點，在教學過程中，教師要充分了解學生的已有經(jīng)驗和認知特點，站在學生的角度，想學生之所想，設計貼近學生實際的、層次分明的遞進性問題，與學生一起走入學生的原有知識和經(jīng)驗中去，通過合作交流的探究活動，展示建構刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學模型的思維過程，幫助學生突破認知的難點，促進學生的知識建構和數(shù)學理解．基于這樣的思考，筆者在教學實踐中，運用“適時鋪墊，搭建臺階”、“操作活動，暴露思維”和“技術支持，促進理解”等教學策略，取得了良好的效果．

1 適時鋪墊，搭建臺階

精心設計一系列有層次、由淺入深的梯度問題作為鋪墊，搭建臺階是幫助學生突破難點的重要手段.學生在學習中遇到難以解決的問題，其中有很大一部分是由于問題的內容跨度大，思維層次高，學生沒辦法領會，更別說去加以解決.這時，教師只有在學生思維的最近發(fā)展區(qū)精心設計一系列難度由淺入深，思維跨度由低到高的問題鏈，為學生鋪設臺階、搭建起思維活動的腳手架，通過問題鏈之間的前后銜接、相互呼應，引導學生積極思維，大膽質疑，才能有效地降低學生的思維的難度，減小思維的落差，在師生共同思考、合作探究和問題反饋中一步步剖析問題，解決問題，實現(xiàn)知識的建構，促進學生的數(shù)學理解．

片斷一

圖1

問題1(如圖1)在以O為圓心、A為半徑的圓上有一點P，如何刻畫點P的位置？

生1：以圓心O為原點，建立坐標系，可用坐標表示點P．

師：在圖1中建立平面直角坐標系，并設P(x，y)，如果把點P看作從x軸開始旋轉得到，還可以有什么方法．

生2：用以OX為始邊，OP為終邊的角θ表示．

師：在圖中標出θ，兩種表示方法有什么關系，

依據(jù)是什么？

圖2

問題2(如圖2)在平面直角坐標系xOy中，在以O為圓心、A為半徑的圓上有一點P，從P0處開始沿逆時針方向做勻速圓周運動，角速度為ω(rad/s)(單位時間內轉過的角)，如何確定t(s)后點P的位置？

圖3

問題3(如圖3)在平面直角坐標系xOy中，在以O為圓心、A為半徑的圓上有一點P，從P0處開始沿逆時針方向做勻速圓周運動，角速度為ω，如何確定t(s)后點P的位置？

生5：設P(x，y)，OP在t(s)內轉過的角為ωt，即

師：由活動3發(fā)現(xiàn)，若點P起始位置不在x軸，需要引入初始角φ．φ可以任意取值嗎？

生6：能，φ是以Ox為始邊，OP0為終邊的任意角．

師：通過以上探究，我們知道了如何用三角函數(shù)刻畫作勻速圓周運動的點P的位置．

需要注意的是，在引導學生解答系列問題的過程中，教師應該做好“角色換位”，充分考慮到學生認知結構中難以同化新知識的環(huán)節(jié)，給予學生提供思維的某些特定信息和“提示語”，誘導學生圍繞問題的內容積極展開思考，不過分介入學生的思考，先讓學生自覺先對問題進行研究，建立對問題的充分直覺，學生始終處于緊張的學習狀態(tài)之中，教師通過對自身思維的“稚化”，與學生共同經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展，在這個過程中喚起和保持學生的注意力和興趣，最后，通過問題鏈，層層推進，促使學生將己有的知識現(xiàn)狀反饋給教師，教師及時修正和調整后，學生再反饋，最終達到教學的完美共建．

2 操作活動，暴露思維

數(shù)學教育學家(蘇)斯托利亞爾指出：“數(shù)學教學是數(shù)學活動(思維活動)的教學，而不僅是數(shù)學活動的結果——數(shù)學知識的教學，”也就是說，數(shù)學教學不僅要反映數(shù)學活動的結果，而且還要善于暴露得到這些結果的思維活動的過程，在數(shù)學教學中，教師不能也不應該將事先準備好的解題思路匆匆“拋”給學生，而應當充分暴露學生的思維過程，通過暴露學生的思維過程，還原學生思維活動的本來面目，保留或再現(xiàn)思維過程中失敗的部分，才能找到學生思維的障礙或潛在于現(xiàn)象背后的本質，才能了解學生的思維活動的特點，把握學生的認知進程，引導教學活動的開展，有針對性地進行釋疑或彌補，從而順利地突破教學的難點.

片斷二

問題一半徑為3m的水輪如圖4所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時針轉動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間，試將點P距離水面的高度Z(m)表示為時間t(s)的函數(shù).

圖4

師：請大家思考一下，運用我們已經(jīng)學過的知識，怎樣解決第一個問題？可以相互討論．

生7：只要確定點P的位置，寫出點P的縱坐標．

師：如何確定點P的位置，我們首先要做什么？

生7：建立坐標系．

師：怎樣建系呢，建系的最優(yōu)標準是什么？

生7：以O為原點、水平方向為x軸建系，建系要盡量使計算簡單，圖形盡量對稱．

師：在圖4中建立平面直角坐標系，現(xiàn)在能表示點P的縱坐標了嗎？

生7：不能，點P的起始位置不在x軸上，需要引入初始角φ．

師：設哪個角為φ？

生7：設∠P0Ox=φ．

師：我們可以這樣表示任意角嗎？

生7：哦，應該設以OX為始邊，OP0為終邊的角為φ．

師：φ角有范圍限制嗎？

師：現(xiàn)在能作出解答了嗎？

師：怎么求φ?

師：本題看上去關系復雜，但構建恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼岛?，轉化為用角的正弦來表示點P的縱坐標，進而表示出高度Z，關鍵是如何確定以OX為始邊，OP為終邊的角，這在問題3中已得到了解決的方法，隨后就可以把實際問題抽象為三角函數(shù)模型．

簡明的教學環(huán)節(jié)如剝繭抽絲，教師充分利用設問、追問、反問等手段，通過環(huán)環(huán)相扣又層層遞進的問題引領學生展開數(shù)學思考，讓學生的思維在碰撞中激活，迸發(fā)出智慧的火花，并不斷地向縱深發(fā)展，使學生的思維活動過程完全暴露出來．以學生為主體的課堂，要鼓勵學生討論和交流，讓學生的各種想法直接交鋒，使學生在交流和會話的過程中對所學的知識和方法建立自己的思考與認識，讓學生在互動的合作中“明道”，這是幫助學生突破教學難點、發(fā)展學生的數(shù)學思維、提升學生的數(shù)學素養(yǎng)的有效途徑．

3 技術支持，促進理解

對于教學難點的突破，傳統(tǒng)教學中有很多方法，但有些難點用傳統(tǒng)方法來實現(xiàn)突破效果往往不理想，隨著信息技術的成熟，幾何畫板、Flash動畫等技術手段越來越多地介入到數(shù)學教學中，為教學難點的突破提供了新的物質技術條件.教材中的例1是有關簡諧運動的實際問題，在講解y=Asin(ωx+φ)的圖像時作為引例出現(xiàn)過，前期教學中教師一般是一帶而過，有的甚至刻意回避，所以學生仍不知簡諧運動是什么，在心里有一個理解上的疙瘩．為了解決這一問題，筆者借助信息化手段，用幾何畫板動畫演示，形象地解釋了簡諧運動的特點，降低了認知困難，為學生直接使用三角函數(shù)模型解決簡諧運動的實際問題掃清了障礙．

片斷三

師：剛才我們研究的是實際問題中作勻速圓周運動的點P運動規(guī)律，下面讓我們改變一下觀察角度，請觀看動畫(如圖5)，如果有一束平行光把點P投影到y(tǒng)軸上，那么投影點P′運動特點是什么？

圖5

生8：點P′在作往復運動．

師：正確，這在物理中稱為簡諧運動，可以用什么函數(shù)刻畫這個運動呢？請繼續(xù)觀看動畫，(圖6，圖7)

圖6

圖7

生8：三角函數(shù)．

師：很好，你能回憶一下教科書上是怎么介紹簡諧運動的嗎？

(學生并不熟悉，教師用PPT展示教材34頁相關內容，板書簡諧運動的三角函數(shù)模型)．

師：已知簡諧運動，可以直接使用三角函數(shù)模型解決有關問題．看下例，請解說題意．

例如圖8，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時．

圖8

(1)求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間t(s)之間的函數(shù)關系；

(2)求該物體在t=5s時的位置．

生9：點O右側位移為正，左側位移為負；當t=0時，位移x=3．

師：很好，請大家完成在作業(yè)紙上．(學生自主完成后，選擇幾位有代表性的學生的解法用手機拍照，借助茄子快傳軟件實時投影講評．)

師：這道題可以直接使用模型，因為物理中的簡諧運動的“運動學”定義就是“相對于平衡位置的位移和時間滿足正弦型或余弦型規(guī)律的機械振動”．三角函數(shù)在物理中有比較多的應用，如單擺運動，波的傳播，交流電等，都可用三角函數(shù)分析和理解．

現(xiàn)代信息技術應用于數(shù)學教學，服務于教學，這個不應該是句空話，要落到實處，教科書就是一個重要的載體．信息技術能夠幫助學生化解函數(shù)的高度抽象性帶來的學習困難，借助信息技術可以實現(xiàn)教學內容的可視化、動態(tài)化、可操作性，增強學習活動的探索性．[1]現(xiàn)代信息技術的教學環(huán)境下，教學信息的呈現(xiàn)方式多樣而有趣，可以使“抽象問題形象化，復雜問題簡單化，枯燥問題有趣化，微觀問題宏觀化”，“把快變慢，把慢變快”，恰當?shù)募夹g手段不僅有助于突破教學難點，還可以在引入新課、創(chuàng)設情境、培養(yǎng)學生的能力、激發(fā)學生學習興趣、增加課堂容量等方面發(fā)揮顯著的輔助作用．

在組織“三角函數(shù)的應用”這一內容的教學活動時，通過創(chuàng)設情境中的三個問題的鋪墊，找到了知識的固著點，給學生的思維活動搭建了臺階，再通過接下來的探究活動，使學生的思維達到了一定的深度，具備了突破難點的能力，這時，教師抓住學生思維發(fā)展的有利契機，立即進行變式訓練和解決水車這一典型問題的操作活動，使學生經(jīng)歷由實際問題建立數(shù)學模型、解決實際問題的數(shù)學建模過程，體會三角函數(shù)模型在描述和刻畫具有周期性變化規(guī)律的實際問題的作用，這樣做的結果是實現(xiàn)了教學難點的有效突破，很好地培養(yǎng)了學生運用三角函數(shù)的知識分析和解決實際問題的能力．