錢(qián) 寧

(江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 222006)

1 提出問(wèn)題

新課標(biāo)實(shí)施至今，“探究式教學(xué)”已廣泛被教師們接受，探究“理念”也已深入人心，它不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力、合作力，更能培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)別力、轉(zhuǎn)化力和創(chuàng)新力等學(xué)習(xí)力.因此，凡是公開(kāi)課一定會(huì)采用探究式教學(xué).但是，“言必稱探究”并不是新課程的代名詞，不是所有內(nèi)容都適合探究.在具體的教學(xué)實(shí)踐中，什么樣的教學(xué)內(nèi)容適合探究？這些探究?jī)?nèi)容又是從哪里來(lái)的？有了探究?jī)?nèi)容又適合誰(shuí)去探究？等等這些實(shí)際問(wèn)題讓工作在一線的教師甚是疑惑.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，針對(duì)如何選用探究材料方面談幾點(diǎn)看法.

2 遵循兩項(xiàng)基本原則

2.1 適用性原則

教學(xué)中，不是所有內(nèi)容都適合探究法去組織教學(xué)的，不能為了探究而探究，“比如，數(shù)學(xué)中某些原始性的概念定義，沒(méi)有多少‘開(kāi)放性’，不必探究，這樣的內(nèi)容，重要的是讓學(xué)生了解來(lái)龍去脈，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教師講授或讓學(xué)生看書(shū)的方式即可.”[1]再如，線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的定義，立體幾何中的四大公理等，這些公理化思想的教學(xué)，教師應(yīng)該采用“接受式教學(xué)”，可以通過(guò)生活中的事例，讓學(xué)生感受到定義與生活實(shí)際或自己的經(jīng)驗(yàn)相吻合，從而確認(rèn)其合理性即可.怎樣的內(nèi)容才適合探究呢？從內(nèi)容上講可以是概念探究，性質(zhì)、定理探究，也可以是解題方面的探究，但都必須是有價(jià)值的，能夠引起學(xué)生火熱思考的，且能使學(xué)生在探究之后，在思維上有所啟發(fā)，在思想上有所啟迪，并能獲得成就感的那些數(shù)學(xué)材料.這樣的探究才有價(jià)值，才有意義.要求我們?cè)谶x材的時(shí)候，還要“備學(xué)生”，即關(guān)注教學(xué)對(duì)象.

2.2 最近發(fā)展區(qū)原則

不同階段的學(xué)生具有不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同一階段不同層次的學(xué)生也存在著個(gè)體差異.只有在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)開(kāi)展、實(shí)施的課堂教學(xué)才有可能是有效的教學(xué).所以，我們選用的材料必須是位于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)、蘊(yùn)涵當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的素材.若是高估了學(xué)生的能力或智力水平，無(wú)異于把學(xué)生當(dāng)作“天才”來(lái)教，整堂以學(xué)生為主體的探究課無(wú)疑會(huì)變成一場(chǎng)由教師自編、自導(dǎo)、自演的“獨(dú)角戲”，探究只能“無(wú)果而終”.同樣，若是低估了學(xué)生的能力和智力水平，探究一些對(duì)他們來(lái)說(shuō)過(guò)于簡(jiǎn)單的材料只會(huì)走向另一個(gè)極端.

所以，教學(xué)對(duì)象不同，選材的方向也應(yīng)不同，同時(shí)，同一材料也可以通過(guò)布設(shè)不同的探究點(diǎn)來(lái)適應(yīng)不同層次的學(xué)生.對(duì)于相對(duì)較差的生源，我們可以多設(shè)置幾個(gè)“臺(tái)階”，讓其循序漸進(jìn)地進(jìn)行探究；對(duì)個(gè)體差異較大的群體，我們可以先設(shè)置較低的“起點(diǎn)”，讓絕大部分同學(xué)都能參與，然后隨著探究的深入，增加一些較難的“探究點(diǎn)”以滿足程度較高的學(xué)生的探究欲望.

3 選擇三個(gè)不同視角

筆者在遵循這兩項(xiàng)基本原則的基礎(chǔ)上，從三個(gè)不同角度選取了三個(gè)案例，以說(shuō)明在材料選用時(shí)可關(guān)注的三個(gè)視角.

3.1 教學(xué)內(nèi)容的“聯(lián)系性”

著名教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾認(rèn)為：“學(xué)習(xí)過(guò)程是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程；原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于新的學(xué)習(xí)始終是一個(gè)最關(guān)鍵的因素；一切新的學(xué)習(xí)都是在過(guò)去學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，新的概念、命題等總是在與學(xué)生原來(lái)的有關(guān)知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用的條件下轉(zhuǎn)化為主體的知識(shí)結(jié)構(gòu).”高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，比如，初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)，不僅是初中的重要內(nèi)容，也是高中重要的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生非常熟悉，各種數(shù)學(xué)思想，很多都以二次函數(shù)為載體的.高中的很多知識(shí)都可以從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)入手讓學(xué)生感知、類(lèi)比、探究.如高一學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性的概念課，就可以從二次函數(shù)的圖像開(kāi)始逐步探究出單調(diào)性的概念.

案例1函數(shù)的單調(diào)性

教學(xué)對(duì)象：高一新生

函數(shù)的單調(diào)性是高一新生陌生的概念，如何通過(guò)探究獲得這一概念呢？教學(xué)開(kāi)始，教師可以舉一些生活中的實(shí)例，比如，氣溫隨著時(shí)間的變化而變化，城市人口隨著年份的變化而變化等等，讓學(xué)生直觀感受函數(shù)值隨著自變量的變化而變化的實(shí)際情況，既培養(yǎng)興趣又感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.隨即，老師可拋出學(xué)生熟悉的二次函數(shù)如：y=x2-2x-3,讓學(xué)生畫(huà)圖像，并根據(jù)圖像回答：

問(wèn)題1：自變量x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而增大?

意圖：從熟悉的二次函數(shù)圖像去感知這種變化，讓學(xué)生感知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)情況，但又感覺(jué)描述不清.

意圖：從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納總結(jié)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，為探究單調(diào)增函數(shù)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)概念打下基礎(chǔ).

問(wèn)題3：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言給出較為科學(xué)的單調(diào)增函數(shù)的概念呢？

問(wèn)題4：同學(xué)給出的定義有沒(méi)有漏洞？你該如何進(jìn)一步完善？

問(wèn)題5：?jiǎn)握{(diào)遞減函數(shù)如何定義？

對(duì)于我教的強(qiáng)化班學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)較為簡(jiǎn)單的探究活動(dòng)，步步為營(yíng)，逐步嚴(yán)謹(jǐn)，從熟悉的函數(shù)中發(fā)現(xiàn)并探究單調(diào)性概念.由于知識(shí)的前后聯(lián)系緊密，老師設(shè)置相關(guān)的問(wèn)題串讓學(xué)生主動(dòng)探究，這種“探究發(fā)現(xiàn)”，不僅可以加深對(duì)概念、定理的印象，讓學(xué)生親自體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，還可以讓學(xué)生感受其嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻內(nèi)涵以及背后激動(dòng)人心的靈感和睿智的思想，體會(huì)數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和孜孜不倦、鍥而不舍的探索精神.當(dāng)然，高一課本中還有大量適合探究的性質(zhì)、定理等都可以拿來(lái)作為探究的素材.

3.2 教學(xué)材料的“可挖掘性”

心理學(xué)研究表明，每個(gè)學(xué)生都有分析、解決問(wèn)題的潛能和創(chuàng)造力，關(guān)鍵是要有好的素材，以促進(jìn)學(xué)生在這方面的發(fā)展.當(dāng)然，由于學(xué)生個(gè)體之間存在著一定的差異，他們的發(fā)展需求也是不同的.根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理規(guī)律，教材在內(nèi)容的選編中除保證《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的基本課程目標(biāo)能順利實(shí)施外，還要考慮要滿足不同學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求，所以在教材很多章節(jié)的后面都設(shè)置了“思考”、“閱讀”、“探究”等拓展性欄目,這是為了使全體學(xué)生在獲得必要發(fā)展的前提下，力求不同的學(xué)生可以獲得不同的體驗(yàn)，這既尊重了學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知特點(diǎn)等的差異，又為學(xué)生展示個(gè)性提供了較為廣闊的空間.例如，在蘇教版選修2-1教材第27頁(yè)有三幅圖片(圖1).它說(shuō)明，當(dāng)截面與圓錐軸線夾角不同時(shí)，可以得到不同的曲線，它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線.由于這些曲線是由平面截圓錐而來(lái)，所以，稱它們?yōu)閳A錐曲線.而在《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)的后面有一欄“探究”：為什么截口曲線是橢圓？教師可以引導(dǎo)學(xué)生閱讀書(shū)本材料，在了解了截口曲線為什么是橢圓后，我們可以繼續(xù)探究.

案例2圓錐曲線的由來(lái)

教學(xué)對(duì)象：高二學(xué)生

問(wèn)題1：如圖2，用一個(gè)與圓柱母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線，這條曲線是不是橢圓呢？你能不能證明你的結(jié)論呢？

問(wèn)題2：如圖3，若平面與圓柱底面所成角為θ，橢圓的離心率跟θ是否存在一定的數(shù)量關(guān)系呢？若存在，又是怎樣的關(guān)系？

圖2

圖3

問(wèn)題3：在理解了截口曲線是橢圓之后，繼續(xù)探究為什么截口曲線是雙曲線和拋物線(如圖4)?

圖4

在數(shù)學(xué)史上，剛開(kāi)始數(shù)學(xué)家們都是用純幾何的方法研究圓錐曲線的[1].在17世紀(jì)笛卡兒發(fā)明了坐標(biāo)系以后才開(kāi)始用坐標(biāo)的方法研究它們.由于笛卡兒發(fā)明了坐標(biāo)系，產(chǎn)生了一門(mén)新的學(xué)科，這就是解析幾何——用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何.我們可以讓學(xué)生嘗試去探究：為什么這些截口曲線是圓錐曲線？以下是探究“截口曲線為什么是拋物線？”的一個(gè)片段.

圖5

像這類(lèi)教材中的章頭引言、閱讀材料、探究發(fā)現(xiàn)等等都值得深入挖掘.這樣的探究可以讓學(xué)生體會(huì)到書(shū)本知識(shí)的內(nèi)涵和外延，有助于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對(duì)某些概念的產(chǎn)生“知其然”，且“知其所以然”.并讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生也是自然的、水到渠成的.體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，也讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的博大精深和數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，使學(xué)生在充滿智慧的數(shù)學(xué)海洋中繼續(xù)尋寶.

3.3 解題探究的“發(fā)散性”

著名數(shù)學(xué)家笛卡兒曾指出：“當(dāng)我們已經(jīng)直觀地弄懂了幾個(gè)簡(jiǎn)單的定理的時(shí)候，……如果能通過(guò)連續(xù)的、不間斷的思考活動(dòng)，把這幾個(gè)定理貫穿起來(lái)，悟出它們之間的相互關(guān)系，并盡可能多地、明確地想象出其中的幾個(gè)，那將是有益的.照這樣我們的知識(shí)無(wú)疑地會(huì)增加，理解能力會(huì)有顯著的提高.”在高三復(fù)習(xí)階段更多的是“解題”，學(xué)習(xí)難免變得單調(diào)、枯燥而乏味，對(duì)此，我們不妨嘗試改變一下“做了講，講了再做”的方式，選擇一些結(jié)論可推廣或拓展的問(wèn)題類(lèi)材料，適當(dāng)開(kāi)設(shè)一些探究課，引導(dǎo)學(xué)生深入觀察、大膽猜想，應(yīng)用歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、引申等思維方式培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

案例3在“變”中尋求“不變”

教學(xué)對(duì)象：高三復(fù)習(xí)階段學(xué)生

圖6

例：過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F任作直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使直線MF平分∠AMB？若有，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若沒(méi)有說(shuō)明理由.(圖6)

分析：假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)M(m,0)使直線MF平分∠AMB.

法一：代數(shù)法(聯(lián)立方程、韋達(dá)定理求解)；法二：幾何法(利用平面幾何關(guān)系結(jié)合拋物線定義，用相似三角形求解).

筆者講完此題后并沒(méi)有結(jié)束，而是把它作了深挖掘，在課堂上進(jìn)行了探究.下面把設(shè)計(jì)的探究問(wèn)題和設(shè)計(jì)意圖詳述一下.

問(wèn)題1：將題中的“y2=4x”改成“y2=2px(p>0)”，會(huì)有怎樣的性質(zhì)？

意圖：觀察直線l與點(diǎn)M的特征，得出一般性結(jié)論.讓學(xué)生學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，體驗(yàn)從特殊到一般的推理模式.

問(wèn)題2：你能證明你的結(jié)論嗎？

意圖：讓學(xué)生在“模仿”中感受到“數(shù)”與“形”的完美統(tǒng)一.

問(wèn)題3：把拋物線改成橢圓會(huì)有怎樣的類(lèi)似性質(zhì)？你能證明你的結(jié)論嗎？

意圖：培養(yǎng)學(xué)生“由此及彼”的類(lèi)比推理能力和知識(shí)遷移能力，在“類(lèi)比”中探究發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，體會(huì)形式上的統(tǒng)一.

圖7

問(wèn)題5：點(diǎn)N的特征具有一般性嗎？

意圖：讓學(xué)生體會(huì)探究中的“意外收獲”，感受“探究”的樂(lè)趣和“發(fā)現(xiàn)”的喜悅.

至此，學(xué)生很自然會(huì)把結(jié)論類(lèi)比到更一般的橢圓和其他圓錐曲線，教師可點(diǎn)到為止.整個(gè)探究過(guò)程起點(diǎn)較低，數(shù)學(xué)水平一般的學(xué)生也都能積極參與，但探究至此，并不能滿足那些程度較好的學(xué)生的探究欲望.鑒此，教師還可以讓此類(lèi)相關(guān)“焦點(diǎn)、準(zhǔn)線”的探究繼續(xù)，或者一直延伸到課外，甚至延續(xù)到以后的學(xué)習(xí)生涯中.下面便是筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，讓學(xué)生進(jìn)一步在“變”中找出“不變”的量.

問(wèn)題6：過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F任作直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，以A,B為切點(diǎn)作該拋物線的兩條切線，這兩條切線的交點(diǎn)有何特點(diǎn)？這兩條切線又是何位置關(guān)系？(如圖8)

圖8

問(wèn)題7：過(guò)N(0,a)(其中a>0)任作直線l與拋物線x2=4y交于A,B兩點(diǎn)，以A,B為切點(diǎn)作該拋物線的兩條切線，若這兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，探究：N(0,a)是否為定點(diǎn)？

問(wèn)題8(課后思考)：能否在以上探究結(jié)果的基礎(chǔ)上，自己編一些題目呢？

此類(lèi)問(wèn)題的探究，屬于圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題的探究，關(guān)鍵在于在“變”中尋求“不變”，是適合探究的又一類(lèi)題材.后面的三個(gè)問(wèn)題是第一次探究的延續(xù)，是根據(jù)不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)的較難的探究問(wèn)題.通過(guò)這些問(wèn)題的思考，教師可以讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探究，以發(fā)散學(xué)生的思維，啟迪學(xué)生.當(dāng)然，課后可鼓勵(lì)學(xué)生把探究結(jié)果張貼在“學(xué)習(xí)園地”上，以供交流學(xué)習(xí)之用.實(shí)踐表明，針對(duì)高三學(xué)生實(shí)施“探究式”的解題教學(xué)是有效的，而選擇具有發(fā)散性思維的題目進(jìn)行探究更有價(jià)值.

4 結(jié)語(yǔ)

新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)探究課的材料應(yīng)該多樣化，可以是某些數(shù)學(xué)結(jié)果的推廣和深入，不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類(lèi)比，也可以是發(fā)現(xiàn)和探索對(duì)自己來(lái)說(shuō)是新的數(shù)學(xué)結(jié)果.可以從教材提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立.”但這些都必須遵循前面所講的兩個(gè)基本原則，否則就會(huì)產(chǎn)生“探而不究”或“偽探究”等現(xiàn)象.所以，根據(jù)不同“材料”特點(diǎn)來(lái)實(shí)施探究，才能體現(xiàn)出探究式教學(xué)的本質(zhì)，才能真正提高探究力.當(dāng)然，教師在關(guān)注材料本身特征的同時(shí)，也應(yīng)關(guān)注不同階段學(xué)生和不同層次學(xué)生的特點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的布設(shè)探究點(diǎn)；在鼓勵(lì)學(xué)生自主探究的同時(shí)，允許一部分學(xué)生可以在模仿的基礎(chǔ)上發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力；若某些材料要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力和演算能力，教師要敢于跟學(xué)生一起探究.目前，隨著數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐的發(fā)展，“探究式教學(xué)”這一提升學(xué)生學(xué)習(xí)力的教學(xué)方式正倍受重視，也取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，在選材加工方面的視角也應(yīng)當(dāng)更開(kāi)闊，如開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模等，都是選材的很好視角.另外，作為教師還要善于抓住在課堂教學(xué)進(jìn)行的過(guò)程中“意外”生成的探究，比如學(xué)生在課堂中發(fā)現(xiàn)和提出的問(wèn)題、由某一例題引發(fā)的探究等等.