胡串 李志軍 陳茜茜

(湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院,湘潭 411105)

負(fù)參數(shù)空間分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的動力學(xué)行為及實驗驗證?

胡串 李志軍?陳茜茜

(湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院,湘潭 411105)

分?jǐn)?shù)階,Chua系統(tǒng),負(fù)參數(shù)空間,混沌電路

1 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分理論和整數(shù)階微積分理論都起源于17世紀(jì),但由于分?jǐn)?shù)階微積分理論缺乏充分的幾何解釋和實際應(yīng)用背景,發(fā)展緩慢.自1960年以來,隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展和實際物理系統(tǒng)表現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階動態(tài)特性,分?jǐn)?shù)階微積分逐漸成為國際范圍內(nèi)的研究熱點,并在一些領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1?4].

近年來,混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析、硬件實現(xiàn)及其在混沌保密通信中的應(yīng)用已成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的熱點問題[5],分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)也得到了廣泛的研究,相繼證明了一些經(jīng)典混沌系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)同樣能展現(xiàn)混沌行為,如Chua系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lorenz系統(tǒng)、Duffing系統(tǒng)、Sport系統(tǒng)、Lu系統(tǒng)[6?8].這些研究促進(jìn)了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展和混沌理論體系的進(jìn)步,其中Chua系統(tǒng)由于具有簡單的電路結(jié)構(gòu),能展現(xiàn)豐富的動力學(xué)行為,自提出以來得到了許多研究者的關(guān)注[9,10].然而,現(xiàn)有針對Chua系統(tǒng)整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階的研究大都局限于正參數(shù)空間,即系統(tǒng)的控制參數(shù)全部大于0.文獻(xiàn)[11]研究了正參數(shù)空間下Chua系統(tǒng)的功能全同電路與拓?fù)涞刃щ娐?文獻(xiàn)[12]利用基于符號函數(shù)的注入反饋式方法研究了正參數(shù)空間下Chua系統(tǒng)的同步控制問題;文獻(xiàn)[13]提出并研究了正參數(shù)空間下的一種新的無感電路實現(xiàn)Chua系統(tǒng);文獻(xiàn)[14,15]分別用Adomian分解法和離散化法研究了正參數(shù)空間下的分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的分叉和混沌特性;文獻(xiàn)[16]對正參數(shù)空間下的分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的可控性進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[17,18]研究了正參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的同步問題.由于負(fù)參數(shù)Chua電路的實現(xiàn)需要一個負(fù)電容或者負(fù)電感,物理上存在不可實現(xiàn)性,因而負(fù)參數(shù)空間下Chua系統(tǒng)缺乏理論依據(jù)且不便于實驗觀察,導(dǎo)致人們忽略了對負(fù)參數(shù)空間下Chua系統(tǒng)的研究.文獻(xiàn)[19]提出了一種電子模擬方法,使研究負(fù)參數(shù)空間Chua系統(tǒng)成為可能.在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[20]對負(fù)參數(shù)空間下的整數(shù)階Chua系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的研究,表明整數(shù)階Chua系統(tǒng)在負(fù)參數(shù)空間下的Shilnikov條件不成立,能展現(xiàn)與正參數(shù)空間下Chua系統(tǒng)完全不同的動力學(xué)行為.然而到目前為止,對負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的動力學(xué)行為研究鮮有報道.

基于此,本文利用分?jǐn)?shù)階時域求解法對負(fù)參數(shù)空間下Chua系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行研究.首先導(dǎo)出負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的動力學(xué)方程,其次對系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.隨后采用分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)研究系統(tǒng)控制參數(shù)和階次變化時系統(tǒng)的動力學(xué)行為,結(jié)果發(fā)現(xiàn)負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)依然具有較豐富的動力學(xué)行為.最后基于文獻(xiàn)[19,20]的設(shè)計方法,用模擬運放電路實現(xiàn)了負(fù)參數(shù)空間下的分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng),通過實驗觀察并驗證了系統(tǒng)的動力學(xué)行為.

2 負(fù)參數(shù)分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)

2.1 負(fù)參數(shù)分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)

分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)由Hartley等[21]建立于1995年,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中α,β,γ代表系統(tǒng)中微分方程分?jǐn)?shù)階的階數(shù),a,b為系統(tǒng)控制參數(shù),f(x)為系統(tǒng)的非線性函數(shù).f(x)可表示為

式中m0,m1均為非線性函數(shù)的斜率.

顯然,當(dāng)a和b取正數(shù)時,系統(tǒng)((1)式)對應(yīng)正參數(shù)空間下的分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng);當(dāng)a和b取負(fù)數(shù),且(2)式中非線性函數(shù)的斜率m0,m1均為負(fù)值時,系統(tǒng)((1)式)中所有參數(shù)均為負(fù)值,即系統(tǒng)對應(yīng)負(fù)參數(shù)空間下的分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng).

2.2 負(fù)參數(shù)分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)求解

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣,整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的一種特殊情況.分?jǐn)?shù)階微積分在其發(fā)展過程中有若干種形式的定義,理論分析中最常用的有Riemann-Liouville定義、Grünwald-Letnikov定義和Caputo定義.本文采用Grünwald-Letnikov定義對系統(tǒng)進(jìn)行分析.

定 義1Grünwald-Letnikov(G-L)定義的分?jǐn)?shù)階微積分為

式中h為積分時間步長,q為階數(shù),[·]表示取整,c為微分下限,t為微分上限.對定義1進(jìn)行簡化可得時域求解算法為

式中k=1,2,···,N, 此時N=[Ts/h],Ts為仿真時間,tk為計算步長,c(q)j為二項式系數(shù),可以表示為

根據(jù)(4)式和(5)式可得負(fù)參數(shù)分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的求解公式為

目前,分?jǐn)?shù)階微積分的求解方法還有很多,但絕大多數(shù)方法是將分?jǐn)?shù)階近似成整數(shù)階的形式,通過整數(shù)階的方法來求解.工程上最常用的方法是時頻域轉(zhuǎn)換法,如牛頓近似法、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的波德圖形逼近法、Laplace變換法.本文采用的時域求解法可以將誤差控制到最小的范圍內(nèi),同時不損失分?jǐn)?shù)階的固有特性,是最為準(zhǔn)確的[22].

3 負(fù)參數(shù)空間分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)動力學(xué)特性分析

3.1 平衡點穩(wěn)定性分析

(1)式的非線性項是一個分段線性函數(shù),所以可以將相空間劃分為三個線性區(qū)域來分析.三個區(qū)域分別為

令(1)式等號右邊表達(dá)式為0,可得

由(8)式可求得系統(tǒng)的平衡點為

則O,P,Q三個平衡點對應(yīng)的雅可比矩陣為

圖1 負(fù)參數(shù)空間分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)數(shù)值仿真結(jié)果 (a)混沌吸引子;(b)x-y相圖;(c)x-z相圖;(d)y-z相圖Fig.1.Numerical simulation results of fractional-order Chua system in negative parameter space:(a)Chaotic attractor;(b)x-y phase portrait;(c)x-z phase portrait;(d)y-z phase portrait.

當(dāng)a=?5.5,b=?1.5,m0=?8/7,m1=?5/7時,平衡點O的特征值為λO1=0.228,λO2,O3=?1.007±2.052i.平衡點P,Q的特征值為λ1=?0.762,λ2,3=0.644±1.708i.根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論[23]可知,對于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),如果系統(tǒng)雅可比矩陣任意特值滿足|arg(λ)|＞qπ/2,則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.顯然,當(dāng)q=0.98時,特征根λ2,3=0.644±1.708i不滿足此條件,因此系統(tǒng)((1)式)處于不穩(wěn)定狀態(tài).根據(jù)(6)式,采用上述系統(tǒng)參數(shù),并取系統(tǒng)初值為(0.2?0.1 0.1),利用MATLAB仿真分析得到圖1所示混沌吸收子,其中圖1(b)—圖1(d)分別為該吸引子在x-y,x-z和y-z平面的投影.

3.2 與階次相關(guān)的動力學(xué)行為分析

圖2 分?jǐn)?shù)階階數(shù)變化時系統(tǒng)的分岔圖 (a)q∈[0.9,1];(b)q∈[0.96,0.97]Fig.2.Bifurcation diagram of system depending on q:(a)q∈[0.9,1];(b)q∈[0.96,0.97].

圖3 與階次q相關(guān)的相圖 (a)q=0.92;(b)q=0.95;(c)q=0.98Fig.3.Phase diagrams depending on q:(a)q=0.92;(b)q=0.95;(c)q=0.98.

為了進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)在負(fù)參數(shù)空間下的動力學(xué)行為,分析了不同分?jǐn)?shù)階階次對系統(tǒng)的影響.設(shè)α=β=γ=q,其他參數(shù)保持為a=?5.5,b=?1.5,m0=?8/7,m1=?5/7,當(dāng)q由小到大變化時,系統(tǒng)的分岔圖如圖2所示.從圖2(a)可以看出,在負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)由倍周期分叉進(jìn)入混沌.為了更好地觀察系統(tǒng)混沌的最小階數(shù),在此對q為0.96—0.97的窗口進(jìn)行擴展,如圖2(b)所示.從圖2(b)可以看出,負(fù)參數(shù)空間下系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的最小階數(shù)為2.889,即α=β=γ=0.963.當(dāng)q分別為0.92,0.95,0.98時,數(shù)值仿真得到的相圖如圖3所示.從上述結(jié)果可以看出,在負(fù)參數(shù)空間下系統(tǒng)隨q的增加由倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài).

3.3 與控制參數(shù)相關(guān)的動力學(xué)行為分析

通過最大李雅普諾夫指數(shù)和分岔圖對系統(tǒng)隨控制參數(shù)b變化的動力學(xué)行為進(jìn)行研究,其中分?jǐn)?shù)階最大李雅普諾夫指數(shù)是利用分?jǐn)?shù)階時域求解法得到系統(tǒng)方程解的時間序列,然后通過時間序列的李雅普諾夫指數(shù)定義法求解方法計算求解得到.取α=β=γ=0.98,a=?5.5,m0=?8/7,m1=?5/7,參數(shù)b作為系統(tǒng)的控制參數(shù).當(dāng)b在[?2,?1.25]范圍內(nèi)變化時,系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)和分岔圖分別如圖4(a)和圖4(b)所示.由圖4可知,隨著b在[?2,?1.25]區(qū)間內(nèi)變化,系統(tǒng)出現(xiàn)了前倍周期分叉、后倍周期分叉、混沌態(tài)、周期態(tài)等多種動力學(xué)現(xiàn)象.當(dāng)b=?2時,系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)等于0,展現(xiàn)出圖5(a)所示周期1吸引子.b繼續(xù)增大到?1.96時,系統(tǒng)突然展現(xiàn)出單環(huán)面混沌吸引子,其相圖如圖5(b)所示.隨后系統(tǒng)進(jìn)入一個狹窄的周期窗.當(dāng)b=?1.85時,系統(tǒng)產(chǎn)生了圖5(c)所示的周期3吸引子.當(dāng)b∈=[?1.84,?1.42]時,系統(tǒng)對應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)一直大于0,即系統(tǒng)一直處于混沌狀態(tài).當(dāng)b=?1.52時系統(tǒng)產(chǎn)生的一個單螺旋混沌吸引子如圖5(d)所示.當(dāng)控制參數(shù)b＞?1.42時,系統(tǒng)突然由混沌狀態(tài)經(jīng)逆倍周期分叉進(jìn)入周期態(tài),對應(yīng)的多周期、周期2和周期1吸引子分別如圖5(e)—圖5(g)所示.

圖4 (a)分岔圖;(b)最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.4.(a)Bifurcation diagram;(b)diagram of largest Lyapunov exponent.

4 硬件實驗測試

4.1 分?jǐn)?shù)階積分電路單元

分?jǐn)?shù)階電路是在整數(shù)階電路的基礎(chǔ)上,用分?jǐn)?shù)階積分電路單元等效替換整數(shù)階的積分電容.設(shè)α=β=γ=0.98,則階數(shù)為0.98、逼近誤差為1 dB的積分算子的傳遞函數(shù)表達(dá)式為[6].

式中s代表復(fù)頻域,同時表示積分算子的自變量.相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階等效積分單元電路如圖6所示,其傳遞函數(shù)可表示為

對比(12)式和(13)式可以確定電路參數(shù)Ra=91.19 M?,Rb=190.93 ?,Ca=0.9753 μF,Cb=3.68μF.根據(jù)文獻(xiàn)[24]可知,為了能在普通的示波器中觀察到吸引子相圖,需要提高信號頻率,故將電容減小為Ca=0.9753 nF,Cb=3.68 nF.

圖5 與控制參數(shù)b相關(guān)的相圖 (a)b=?2;(b)b=?1.96;(c)b=?1.85;(d)b=?1.52;(e)b=?1.43;(f)b=?1.4;(g)b=?1.3Fig.5.Phase portraits dependent on system control parameter b:(a)b=?2;(b)b=?1.96;(c)b=?1.85;(d)b=?1.52;(e)b=?1.43;(f)b=?1.4;(g)b=?1.3.

圖6 實現(xiàn)1/sq的單元電路(q=0.98)Fig.6.Realization of 1/squnit circuit(q=0.98).

4.2 負(fù)參數(shù)空間分?jǐn)?shù)階Chua電路

為了驗證負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的動力學(xué)行為,采用集成運放(TL074)、精密電阻、瓷片電容實現(xiàn)了0.98階次的負(fù)參數(shù)分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng),整體電路如圖7所示,其對應(yīng)電路狀態(tài)方程為

圖7中非線性函數(shù)f(V1)電路由電阻R13,R14,R15和藍(lán)色發(fā)光二極管LED1,LED2構(gòu)成,其斜率可以分別表示為m0=?R14/R13和m1=?R14R15/(R13R14+R13R14).電阻取值為R13=10 k?,R14=11.3 k?,R15=18.7 k?時,可以計算出m0=?8/7,m1=?5/7.Bp為藍(lán)色發(fā)光二極管壓降,通常為2.2 V.三個分?jǐn)?shù)階電容分別由R16,R17,C1,C2,R18,R19,C3,C4和R20,R21,C5,C6實現(xiàn),(14)式中用C表示.通過電路分析可以得出系統(tǒng)控制參數(shù)a,b與電路參數(shù)的關(guān)系為a=?35R10/R9,b=?35R2/R3.當(dāng)R9和R3固定,則調(diào)節(jié)電阻值R10和R2可以分別實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)a和b的調(diào)節(jié).經(jīng)計算,當(dāng)其他電路參數(shù)為R1=8.93 k?,R4=R5=10 k?,R6=3.92 k?,R7=6.17 k?,R8=5.68 k?,R22=34.48 k?,R11=R12=1 k?,R3=R9=10 k? 時,(14)式所描述的電路方程可以正確模擬負(fù)參數(shù)空間Chua系統(tǒng),即(1)式表示的系統(tǒng).

圖7 分?jǐn)?shù)階負(fù)參數(shù)Chua系統(tǒng)模擬電路Fig.7.Complete simulation circuit of fractional-order Chua’s system with negative parameters.

為了驗證圖7所示電路的動力學(xué)行為,采用泰克MSO3032混合示波器和雙路直流穩(wěn)壓電源對設(shè)計的電路進(jìn)行硬件測試.實驗過程中,首先調(diào)節(jié)R10=1.57 k?,對應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)a=?5.5,其他電路參數(shù)保持不變,通過調(diào)節(jié)精密可調(diào)電阻的值R2(對應(yīng)系統(tǒng)控制參數(shù)b)來觀察系統(tǒng)的動力學(xué)行為.當(dāng)R2=370 ?時,電路產(chǎn)生單周期振蕩,示波器俘獲的相圖如圖8(a)所示.當(dāng)R2進(jìn)一步增加到390 ?時,電路突然從單周期轉(zhuǎn)變到周期2,隨后電路展現(xiàn)了多周期態(tài)(R2=410 ?).進(jìn)一步增加R2到430 ?時,電路產(chǎn)生了單螺旋混沌行為.將圖8(a)—圖8(d)分別與圖5(g)、圖5(f)、圖5(e)、圖5(d)相比,可以發(fā)現(xiàn)電路實驗測試結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全一致,從物理實驗角度證明了分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)在負(fù)參數(shù)空間下同樣能展現(xiàn)豐富的動力學(xué)行為.

圖8 實驗測試結(jié)果 (a)單周期吸引子;(b)周期2吸引子;(c)多周期吸引子;(d)混沌吸引子Fig.8.Experimental results:(a)Period-1 attractor;(b)period-2 attractor;(c)multiple-period attractor;(d)chaotic attractor.

5 結(jié) 論

作為一個經(jīng)典的混沌系統(tǒng),Chua系統(tǒng)得到了廣泛而深入的研究,然而現(xiàn)有針對Chua系統(tǒng)的研究大都局限于正參數(shù)空間(包括整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階).本文采用常規(guī)的動力學(xué)分析方法,如平衡點穩(wěn)定性、相圖、分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù),對負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值仿真.仿真發(fā)現(xiàn)在負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)展現(xiàn)出前倍周期分叉、后倍周期分叉、單螺旋狀吸引子、周期態(tài)等復(fù)雜動力學(xué)現(xiàn)象.值得注意的是,在負(fù)參數(shù)空間下分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)并沒有展現(xiàn)出典型的Chua雙渦卷混沌吸引子.本文采用Grünwald-Letnikov定義對負(fù)參數(shù)空間分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的動力學(xué)進(jìn)行分析,對于其他分?jǐn)?shù)階定義同樣可以獲得類似的動力學(xué)行為.這是由于對于相當(dāng)廣的一類實際函數(shù)而言,三種分?jǐn)?shù)階定義可以看作是近似等效的,本文系統(tǒng)方程((1)式)就是這樣一類實際函數(shù).為了用實驗驗證系統(tǒng)的動力學(xué)行為,本文基于模塊化設(shè)計電路模擬實現(xiàn)了負(fù)參數(shù)空間分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng).實驗測試結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全一致,從物理實驗角度驗證了分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)在負(fù)參數(shù)空間中的動力學(xué)行為.將Chua系統(tǒng)的控制參數(shù)延拓到負(fù)參數(shù)空間,通過數(shù)值仿真和硬件實驗觀察了分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)在負(fù)參數(shù)空間下的一系列動力學(xué)現(xiàn)象.研究成果進(jìn)一步豐富了Chua系統(tǒng)的動力學(xué)行為,為研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制,同步提供新的模型,推動Chua系統(tǒng)在實際工程中的應(yīng)用將起到積極的作用.本文僅探討了負(fù)參數(shù)空間分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)的動力學(xué)行為,其混沌產(chǎn)生機理、系統(tǒng)參數(shù)識別及工程應(yīng)用有待進(jìn)一步深入研究.

[1]He S B,Sun K H,Banerjee S 2016Eur.Phys.J.Plus.131 254

[2]Liu X J,Hong L,Jiang J 2016Acta Phys.Sin.65 180502(in Chinese)[劉曉君,洪靈,江俊 2016物理學(xué)報65 180502]

[3]Li C L,Zhang J 2016Int.J.Syst.Sci.47 2440

[4]Lin F F,Zeng Z Z 2017Acta Phys.Sin.66 090504(in Chinese)[林飛飛,曾喆昭 2017物理學(xué)報 66 090504]

[5]Li Z J,Zeng Y C,Li Z B 2014Acta Phys.Sin.63 010502(in Chinese)[李志軍,曾以成,李志斌 2014物理學(xué)報 63 010502]

[6]Shao S Y,Min F H,Ma M L,Wang E R 2013Acta Phys.Sin.62 130504(in Chinese)[邵書義,閔富紅,馬美玲,王恩榮2013物理學(xué)報62 130504]

[7]Xi H L,Yu S M,Zhang R X,Xu L 2014Optik125 2036

[8]He S B,Sun K H,Wang H H 2016Math.Meth.Appl.Sci.39 2965

[9]Bao B C,Wang N,Chen M,Xu Q,Wang J 2016Nonlinear Dyn.84 511

[10]Li Z J,Ma M L,Wang M J,Zeng Y C 2017Int.J.Electron.Commun.71 21

[11]Zhang X G,Sun H T,Zhao J L,Liu J Z,Ma Y D,Han T W 2014Acta Phys.Sin.63 200503(in Chinese)[張新國,孫洪濤,趙金蘭,劉冀釗,馬義德,韓廷武 2014物理學(xué)報63 200503]

[12]Ma M L,Min F H,Shao S Y,Huang M Y 2014Acta Phys.Sin.63 010507(in Chinese)[馬美玲,閔富紅,邵書義,黃苗玉2014物理學(xué)報63 010507]

[13]Banerjee T 2012Nonlinear Dyn.68 565

[14]Cafagna D,Grassi G 2008Int.J.Bifurcation Chaos18 615

[15]Agarwal R P,El-Sayed A M A,Salman S M 2013Adv.Differ.Equ-NY1 320

[16]Zhang H,Chen D Y,Zhou K,Wang Y C 2015Chin.Phys.B24 030203

[17]Zhu H,Zhou S,Zhang J 2009Chaos Solitons Fract.39 1595

[18]Li C P,Deng W H,Xu D 2006Physica A36 171

[19]Rocha R,Medrano T R O 2009Nonlinear Dyn.56 389

[20]Medrano T R O,Rocha R 2014Int.J.Bifurcation Chaos24 1430025

[21]Hartly T T,Lorenzo C F,Qammer H K 1995IEEE Trans.CAS I42 485

[22]Zhu H 2007M.S.Dissertation(Chongqing:Chongqing University)(in Chinese)[朱浩 2007碩士學(xué)位論文 (重慶:重慶大學(xué))]

[23]Hu J B,Zhao L D 2013Acta Phys.Sin.62 240504(in Chinese)[胡建兵,趙靈冬 2013物理學(xué)報 62 240504]

[24]Sun K H,Yang J L,Ding J F,Sheng L Y 2010Acta Phys.Sin.59 8385(in Chinese)[孫克輝,楊靜利,丁家峰,盛利元2010物理學(xué)報59 8385]

Dynamics analysis and circuit implementation of fractional-order Chua’s system with negative parameters?

Hu Chuan Li Zhi-Jun?Chen Xi-Xi

(College of Information Engineering,Xiangtan University,Xiangtan 411105,China)

20 July 2017;revised manuscript

14 August 2017)

Because of simple schematic structure and complex dynamical behaviors,the Chua’s system is considered as a paradigm for chaos research.Despite a great many of studies relating to the Chua’s system,most of them focus on its positive parameter space.This is explained by the fact that the implementation of the Chua’s circuit with negative parameters needs resistors,inductances and/or capacitors with negative values,and thus leads to physical impossibility.In order to extend the parameter space of the Chua’s system to its negative side,where all system parameters are negative,an equivalent realization of the Chua’s circuit is developed with off-the-shelf electronic components by an electronic analogy method.Recently,the research of fractional-order chaotic systems has received considerable interest.However,the theoretical and experimental studies of the fractional-order Chua’s system with negative parameters are still lacking.In this study,we set up a model of the fractional-order Chua’s system in negative parameter space.The stability of all equilibrium points is investigated with the fractional-order stability theory.Based on the Grünwald-Letnikov derivative,the dynamical behaviors dependent on the control parameter and the fractional orders are investigated by standard nonlinear analysis techniques including phase portraits,the largest Lyapunov exponents,and bifurcation diagrams.In order to further verify the dynamic behaviors of the fractional-order Chua’s system with negative parameters,an experimental implementation of the Chua’s circuit with negative parameters based on an electronic analogy is performed with off-the-shelf electronic components such as operational amplifiers,resistors and capacitors.The experimental tests are conducted on the resulting circuit.A period-doubling bifurcation route to chaos is successfully observed and some typical phase diagrams are captured by an oscilloscope,which are well consistent with theoretical analyses and numerical simulations.The numerical simulations and the experimental results show that the fractional-order Chua’s system in negative parameter space can still exhibit rich dynamical behaviors.But it is worth noting that the classical double-scroll chaotic attractor emerging in a conventional Chua’s system cannot be found in this system.This work focuses mainly on the dynamical behaviors of the fractional-order Chua’s system with negative parameters,which was not reported previously.Thus the research results of this study will further enrich the dynamical behaviors of the Chua’s system,and play a positive role in promoting the chaos-based applications of the Chua’s system.Meanwhile,the results obtained in this work lead to the conjecture that there remain some unknown and striking behaviors in the Chua’s system with negative parameters,which need further revealing.

fractional order,Chua’s system,negative parameter space,chaotic circuit

PACS:05.45.Vx,05.45.—aDOI:10.7498/aps.66.230502

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61176032,61471310)and the Natural Science Foundation of Hunan Province,China(Grant Nos.2015JJ2142,2015JJ2140).

?Corresponding author.E-mail:lizhijun@xtu.edu.cn

(2017年7月20日收到;2017年8月14日收到修改稿)

Chua系統(tǒng)展現(xiàn)出豐富的動力學(xué)行為,易于電路實現(xiàn),因而成為混沌研究的經(jīng)典范例.然而,現(xiàn)有針對Chua系統(tǒng)的研究大都局限于系統(tǒng)的正參數(shù)空間.基于分?jǐn)?shù)階的時域求解法,研究了分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)在負(fù)參數(shù)空間下的動力學(xué)行為.采用分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論分析了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性,用分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)研究了系統(tǒng)控制參數(shù)和階次變化時系統(tǒng)的動力學(xué)行為.為了實驗驗證系統(tǒng)的動力學(xué)行為,采用運放、電阻、電容等模擬器件實現(xiàn)了負(fù)參數(shù)空間下的分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng),實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全一致.該研究成果對進(jìn)一步完善Chua系統(tǒng),推動Chua系統(tǒng)在混沌中的應(yīng)用具有參考價值.

10.7498/aps.66.230502?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:61176032,61471310)和湖南省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:2015JJ2142,2015JJ2140)資助的課題.

?通信作者.E-mail:lizhijun@xtu.edu.cn