李金晴 羅云榮 海文華

(湖南師范大學(xué)物理系,低維量子結(jié)構(gòu)與調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南省量子效應(yīng)及其應(yīng)用協(xié)同創(chuàng)新中心,長沙 410081)

囚禁單離子的量子阻尼運(yùn)動?

李金晴 羅云榮 海文華?

(湖南師范大學(xué)物理系,低維量子結(jié)構(gòu)與調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南省量子效應(yīng)及其應(yīng)用協(xié)同創(chuàng)新中心,長沙 410081)

囚禁離子,阻尼運(yùn)動,非厄米哈密頓，存活概率

1 引 言

隨著激光冷卻、整形和操控技術(shù)的發(fā)展,控制囚禁離子的量子態(tài)已成為量子信息領(lǐng)域的研究主題之一[1?5].通過深入研究,人們發(fā)現(xiàn)囚禁離子在激光冷卻過程中會出現(xiàn)阻尼效應(yīng)[6].根據(jù)阻尼產(chǎn)生的原因,人們嘗試用不同的方法來研究阻尼囚禁離子的經(jīng)典和量子運(yùn)動.在經(jīng)典方面,對于囚禁在開放Paul阱中的單離子,其阻尼運(yùn)動可以用含阻尼項(xiàng)的馬蒂厄方程來描述[7].而對于多離子相互作用系統(tǒng),用阻尼非線性方程來描述加熱現(xiàn)象[8,9].Duffing方程也可以用于描述囚禁離子在激光作用下的經(jīng)典非線性運(yùn)動[10,11].在量子方面,對于阻尼諧振子的量子化,最初考慮的是用正則變換的方法來處理[12,13].后來,Akerman等[14]用含非線性阻尼項(xiàng)的 Duffing振子模型很好地描述了一個單囚禁離子在多普勒激光冷卻的非線性區(qū)域的穩(wěn)定運(yùn)動.對于量子跳躍和躍遷過程中產(chǎn)生的阻尼拉比振蕩[15,16],可以利用主方程進(jìn)行處理[17,18],反饋冷卻[19]的阻尼問題也可利用主方程來解決[20].

開放量子系統(tǒng)常?？梢杂梅嵌蛎坠茴D量描述,它的復(fù)本征值不僅包含系統(tǒng)的能量,而且給出量子態(tài)的壽命[21].復(fù)的系統(tǒng)參數(shù)可以描述開放系統(tǒng)與外界環(huán)境交換過程中的耗散與增益[22,23]以及電子的產(chǎn)生和吸收[24]等現(xiàn)象.而PT對稱的非厄米量子諧振子的研究,為實(shí)驗(yàn)觀測非厄米系統(tǒng)的相干態(tài)提供了可能[25].Song等[26,27]探索了PT對稱非厄米哈密頓量和相應(yīng)的厄米哈密頓量之間的關(guān)系,他們發(fā)現(xiàn)的PT對稱非厄米緊束縛格子的任意實(shí)能量本征態(tài)與相應(yīng)厄米系統(tǒng)的共振透射態(tài)相同.對于沒有PT對稱的非厄米Bose-Hubbard模型,可以選取不同的系統(tǒng)參數(shù)來控制對于相同參數(shù)不能共存的實(shí)能量本征態(tài)之間的量子躍遷和存在虛本征能量時的衰減態(tài)存活概率的衰減速率[28,29].大量研究工作說明,非厄米哈密頓系統(tǒng)具有重要的物理意義[30?35].

傳統(tǒng)量子力學(xué)原則上可以處理任何經(jīng)典力學(xué)保守系統(tǒng),引入非厄米哈密頓量后則可以處理任何經(jīng)典力學(xué)阻尼系統(tǒng)[34].本文利用非厄米哈密頓量的性質(zhì),研究控制單囚禁離子的量子阻尼運(yùn)動.通過對非厄米哈密頓系統(tǒng)進(jìn)行求解,得到系統(tǒng)的能量本征值和相應(yīng)的量子態(tài),同時給出相應(yīng)于不同態(tài)的參數(shù)區(qū)域和存活概率.當(dāng)系統(tǒng)與外界的能量交換達(dá)到平衡時,得到實(shí)能量本征值及相應(yīng)的定態(tài),并且改變系統(tǒng)參數(shù)可得到不同的實(shí)能量本征值和定態(tài).可以發(fā)現(xiàn)該非厄米系統(tǒng)外場參數(shù)能惟一確定量子穩(wěn)定定態(tài)和影響波函數(shù)形態(tài)的新特征,據(jù)此提出非相干操控穩(wěn)定定態(tài)之間量子躍遷的方法.當(dāng)系統(tǒng)存在能量耗散時,得到了虛能量本征值及相應(yīng)的衰減態(tài).該情形下系統(tǒng)的存活概率和時間取決于能量本征值虛部的大小,從而可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)來提高開放系統(tǒng)的存活概率.非厄米哈密頓量的位置期待值滿足的運(yùn)動方程和經(jīng)典諧振子阻尼運(yùn)動方程在形式上具有一致性.因此,采用非厄米哈密頓量來描述有阻尼的囚禁離子運(yùn)動是可行的,并且控制開放系統(tǒng)定態(tài)之間的量子躍遷對量子信息處理具有實(shí)際意義.

2 囚禁阻尼單離子非厄米哈密頓系統(tǒng)的精確量子態(tài)

考慮一個囚禁在Paul阱中的單離子系統(tǒng),離子的運(yùn)動方向沿x軸,且受到一個沿該方向的靜電場作用.考慮可用阻尼來描述的開放環(huán)境,其經(jīng)典運(yùn)動方程為熟知的阻尼諧振子方程[6,35]

式中λ(t)為偶極外電場項(xiàng),可包含靜電場和交流場;ω為諧振子的角頻率;γ是經(jīng)典阻尼系數(shù).為了對該阻尼諧振子系統(tǒng)進(jìn)行量子化,有研究者直接通過正則變換得到這個耗散系統(tǒng)的厄米哈密頓量[12,13],其中包含隨時間指數(shù)增長的項(xiàng).通常指數(shù)增長的哈密頓量是非物理的,而量子力學(xué)中,可觀測量對應(yīng)于厄米算符僅僅是一個充分條件而不是必要條件.因此,在λ(t)=λ(0)為時間無關(guān)的靜電場時,可以用如下非厄米哈密頓量來描述該耗散系統(tǒng):

在方程(2)中,p為動量,B表示靜電場強(qiáng)度,A和C為量子非厄米項(xiàng)的耗散系數(shù),它們都是無量綱的實(shí)數(shù).為簡便計(jì)算,這里已采用自然單位進(jìn)行無量綱化。同時,考慮耗散較弱的情形,即|A|≤1,|C|≤|B|.

定義“類定態(tài)”波函數(shù)ψn(x,t)=ψn(x)e?iEnt,可得非厄米哈密頓的本征方程

它的本征態(tài)和能量本征值分別為

其中Nn(A,B,C)為歸一化常數(shù),Hn(αX)是自變量為αX的厄米多項(xiàng)式.注意到

將(5)式代入歸一化條件

得歸一化常數(shù)為

3 能譜與非厄米勢能參數(shù)區(qū)域

從(6)式中可以看到,能量本征值是復(fù)數(shù).利用

(6)式可分解成實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分,即

在一個開放系統(tǒng)中,量子系統(tǒng)與外部環(huán)境的能量交換是客觀存在的.能量虛部大于零可導(dǎo)致量子態(tài)ψn(x)e?iEnt隨時間指數(shù)增大,這在物理上是不被允許的[28,29].當(dāng)系統(tǒng)的能量損失時,能量虛部小于零,量子態(tài)隨時間指數(shù)衰減,離子在環(huán)境中只有一定的存活壽命.當(dāng)能量虛部為零時,這個非厄米系統(tǒng)和外界的能量交換達(dá)到一種平衡,量子態(tài)成為不衰減的穩(wěn)定定態(tài).考慮通常的弱阻尼運(yùn)動,描述耗散作用的虛數(shù)項(xiàng)A的絕對值應(yīng)小于1,并且C的絕對值不能大于B的絕對值.通過實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)靜電場強(qiáng)度B,可以控制量子態(tài)的衰減率.

3.1 PT對稱和不對稱情形不同的實(shí)能譜與穩(wěn)定量子態(tài)

在(11)和(12)式中,能量實(shí)部和虛部都是系統(tǒng)參數(shù)A,B,C的函數(shù).開放環(huán)境中能量虛部為零的穩(wěn)定量子態(tài)是人們最為關(guān)注的,它們存在于PT對稱和不對稱兩種情況.例如,取A=B=0,C/=0時,非厄米哈密頓量(2)式顯然是PT對稱的,令(6)式中A=B=0,得能量本征值

也可選取合適的系統(tǒng)參數(shù)A,B,C使PT不對稱情形的能量虛部為零,即存在穩(wěn)定量子態(tài)的條件為根據(jù)(14)式,可以分析參數(shù)A,B,C的取值與不同穩(wěn)定態(tài)ψn(x)之間的關(guān)系.

在圖1(a)中,取B=2為例,繪出n=0,1,2時A與C之間的函數(shù)關(guān)系圖.由圖1(a)可見,能量虛部為零且虛勢能參數(shù)不為零時,不同穩(wěn)定態(tài)對應(yīng)于參數(shù)平面上不同的參數(shù)點(diǎn),說明“厄米系統(tǒng)的一套外場參數(shù)允許存在不同定態(tài)的特征”對于該非厄米系統(tǒng)不再成立.取定A=0.5,圖1(b)給出穩(wěn)定條件(14)下C與B的函數(shù)關(guān)系.圖中正方形、圓形和三角形分別表示在C=0.8處n=2,1,0態(tài)對應(yīng)的不同B值.因此,利用“在一定條件下非厄米系統(tǒng)外場參數(shù)惟一確定量子穩(wěn)定定態(tài)”的新特征,通過調(diào)節(jié)外場參數(shù)B可以控制系統(tǒng)在不同穩(wěn)定態(tài)之間的量子躍遷.這種控制方法不同于通常的相干控制,被稱為非相干控制[28].

結(jié)合(5)式、(14)式和圖1,在穩(wěn)定條件下,取A=B=0,C=0.3可繪出相應(yīng)的PT對稱時定態(tài)的概率密度圖,如圖2(a)所示.取B=2,C=0.3,根據(jù)(14)式算出n=0,1,2時的A值分別為0.2702,0.2193,0.1851,相應(yīng)的PT不對稱情形的定態(tài)概率密度如圖2(b)所示.從圖2可以發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象,即該非厄米系統(tǒng)的某些定態(tài)波函數(shù)在有限區(qū)域沒有零點(diǎn),這與相應(yīng)厄米諧振子的波函數(shù)ψn具有n個零點(diǎn)的性質(zhì)不同.由波函數(shù)在位形空間中全體零點(diǎn)組成的波節(jié)圖樣反映了波函數(shù)的形態(tài)特征,該特征是研究量子混沌的重要途徑之一[36].非厄米性導(dǎo)致波函數(shù)形態(tài)特征的變化,對量子混沌的研究有用.

圖1 在穩(wěn)定條件Im[En]=0下(a)B=2情形,參數(shù)A和C之間的函數(shù)關(guān)系;(b)A=0.5情形,C與靜電場強(qiáng)度B之間的函數(shù)關(guān)系Fig.1.Under the stability condition Im[En]=0(a)for B=2 case the relation curves of parameters A and C;(b)for A=0.5 case parameter C as a function of the static field strength B.

圖2 幾個低激發(fā)定態(tài)的概率密度分布 (a)PT對稱情形,A=B=0,C=0.3;(b)PT不對稱情形,B=2,C=0.3,與n=0,1,2對應(yīng)的A值由(14)式確定,分別為0.2702,0.2193,0.1851Fig.2.Probability density distributions of stationary states ψn(x),n=0,1,2 for(a)the PT symmetry case with parameters A=B=0,C=0.3,and(b)the PT asymmetry case for B=2,C=0.3,and A=0.2702,0.2193,0.1851 determined by Eq.(14).

3.2 PT不對稱情形的虛能譜與衰減的量子態(tài)

當(dāng)能量本征值虛部小于零時,系統(tǒng)存在能量損耗.為了更系統(tǒng)地研究虛能量和參數(shù)的具體關(guān)系,根據(jù)(11)式和(12)式繪出基態(tài)(n=0)實(shí)能譜圖以及與之對應(yīng)的虛能譜圖,如圖3所示,圖中的每組參數(shù)分別對應(yīng)一條實(shí)線和一條虛線.在圖3(a)和圖3(b)中,給定其他參數(shù),顯示能量實(shí)部和虛部為A的函數(shù),其中(a)圖B=1,(b)圖B=2.兩圖中的粗實(shí)線和粗虛線分別表示C=0時的能量實(shí)部和虛部的函數(shù)圖像,而細(xì)實(shí)線和細(xì)虛線表示C=0.5時相應(yīng)的函數(shù)圖像.同理,在圖3(c)和圖3(d)中,能量實(shí)部和虛部為C的函數(shù),前者B=1,后者B=2.兩圖中的粗實(shí)線和粗虛線分別表示A=0時的能量實(shí)部和虛部,細(xì)實(shí)線和細(xì)虛線表示A=?0.5時的能量實(shí)部和虛部.圖3中的紅色圓點(diǎn)是坐標(biāo)軸原點(diǎn).可以求得圖3中不同參數(shù)對應(yīng)的能量實(shí)部和虛部,例如,對于n=0,B=2,C=0.5,A分別取 0.1,0.2,0.4這三個值,相對應(yīng)的能量虛部Im[En]分別為?0.7795,?0.5512,?0.1174;能量實(shí)部Re[En]分別為?1.1548,?1.4927,?1.45167. 圖3中,能量虛部存在零點(diǎn).當(dāng)零點(diǎn)位于坐標(biāo)軸原點(diǎn)上時,A=C=0,系統(tǒng)哈密頓量是厄米的;當(dāng)零點(diǎn)不在坐標(biāo)軸原點(diǎn)上,會得到前文提及的PT對稱或不對稱時的穩(wěn)定定態(tài)和實(shí)能量值.

對于不同系統(tǒng)初態(tài)的存活概率可定義為[37,38]

其中ψn(x,t)=ψn(x)e?iEnt是含時量子態(tài),ψn(x,0)是歸一化的初態(tài).從(15)式中可以看出,存活概率是時間的指數(shù)函數(shù),能量虛部的大小直接影響系統(tǒng)存活概率的衰減速度.對于Im[En]＞0情形,系統(tǒng)的存活概率大于 1,并且隨時間增加趨向于無窮大,這在物理上是沒有意義的.在Im[En]=0情形,存活概率恒等于1,系統(tǒng)處于穩(wěn)定定態(tài).Im[En]＜0的參數(shù)區(qū)域相應(yīng)于圖3中E0=0以下虛線上的參數(shù),在取這些參數(shù)時,系統(tǒng)存活概率將隨時間衰減.對于任意初態(tài),存活概率都將最終衰減至零.同時由圖3可見,對于同一A值,較大的|C|值對應(yīng)于較大的負(fù)能量虛部的絕對值.對于同一C值,負(fù)能量虛部的絕對值與A的絕對值正相關(guān).負(fù)能量虛部絕對值的增加可導(dǎo)致系統(tǒng)的耗散速率增加.因此,可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)來改變能量虛部的大小,從而控制衰減態(tài)的存活概率的變化.為了分析虛能量負(fù)值的大小對存活概率衰減速度的影響,取A=0.4,0.2,0.1和C=0.5做出了衰減態(tài)ψ0(x,t)的存活概率隨時間的演化圖,如圖4所示.從對應(yīng)于B=1的圖4(a)和對應(yīng)于B=2的圖4(b)中可以看出,對于同一B值,虛能量的絕對值越大(A值越大),衰減態(tài)的存活概率隨時間衰減得更快.因此,可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)來控制衰減態(tài)的衰減速度.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)基態(tài)能量本征值E0的實(shí)部(實(shí)線)和虛部(虛線)與A或C之間的函數(shù)關(guān)系 (a)B=1,C=0,0.5,A為變量;(b)B=2,C=0,0.5,A為變量;(c)B=1,A=0,?0.5,C為變量;(d)B=2,A=0,?0.5,C為變量Fig.3.(color online)Real(solid lines)and imaginary(dashed lines)parts of ground-state eigenenergy E0as functions of A or C for(a)B=1,C=0,0.5,A changed;(b)B=2,C=0,0.5,A changed;(c)B=1,A=0,?0.5,C changed;(d)B=2,A=0,?0.5,C changed.

圖4 衰減態(tài)ψ0(x,t)的存活概率 (a)B=1和C=0.5;(b)B=2和C=0.5Fig.4.Survival probability of the decaying state ψ0(x,t)for(a)B=1 and C=0.5;(b)B=2 and C=0.5.

3.3 虛能量的參數(shù)區(qū)域

已經(jīng)證明,不同系統(tǒng)參數(shù)對應(yīng)于不同的虛能量,不同的虛能量則對應(yīng)于不同的耗散性和衰減率.為了更全面地研究系統(tǒng)參數(shù)A,B,C對該耗散系統(tǒng)的描述,以B=2為例,分別就能級n=0,1,2做對應(yīng)于不同能量虛部的參數(shù)區(qū)域圖,如圖5所示.圖中不同顏色代表不同的能量虛部值,據(jù)此可粗略看出:1)衰減所對應(yīng)的能量虛部小于零的區(qū)域偏向各圖的左上方;2)能量虛部為零的參數(shù)靠近從參數(shù)點(diǎn)(A,C)=(?1,?1)附近出發(fā)的對角線;3)能量虛部大于零的區(qū)域偏向圖的右下方,相應(yīng)于量子態(tài)不穩(wěn)定地指數(shù)增長;4)最大能量虛部的區(qū)域和最小能量虛部的區(qū)域都隨量子數(shù)n增大而增大.根據(jù)這些參數(shù)區(qū)域,可以通過調(diào)節(jié)用于冷卻的激光和改變其他開放環(huán)境來粗略調(diào)節(jié)虛勢能參數(shù)A,C,達(dá)到一定程度上控制量子態(tài)的目的.

圖5 (網(wǎng)刊彩色) 靜電場強(qiáng)度B=2時,對應(yīng)于不同能量虛部的參數(shù)區(qū)域 (a)n=0;(b)n=1;(c)n=2Fig.5.(color online)Parameter regions associated with the different imaginary parts of eigenenergies for B=2:(a)n=0;(b)n=1;(c)n=2.

4 衰減量子態(tài)與經(jīng)典阻尼諧振子解的對應(yīng)

已知阻尼囚禁離子的經(jīng)典位移滿足阻尼諧振子方程(1),根據(jù)經(jīng)典-量子對應(yīng)原理和諧振子相干態(tài)的性質(zhì),處于相干疊加態(tài)的量子粒子的位置期待值應(yīng)滿足與(1)同樣的方程.利用與量子態(tài)(5)相應(yīng)的一般相干疊加態(tài)可得到位置期待值為

為計(jì)算簡單,取系統(tǒng)的量子態(tài)僅為基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的疊加

它滿足初始時刻的歸一化條件.將(17)式代入(16)式,積分可得到

利用三角函數(shù)關(guān)系,(18)式可化簡為

(18)式和(19)式中,

其中K0,K1,K2,K3,K4,K5,θ,ξ都為常數(shù).然后,求位置期待值(19)式的一階和二階導(dǎo)數(shù),消去常數(shù)K2,K3,K4,K5,θ,ξ,μ,可得阻尼諧振子方程

(21)式中

由此可見,經(jīng)典阻尼運(yùn)動方程和非厄米哈密頓量位置期待值的運(yùn)動方程形式上是一樣的.

令(21)式與(1)式一致,得到如下關(guān)系:

正如所料,經(jīng)典阻尼系數(shù)等于能量虛部之和的負(fù)值,從而量子阻尼運(yùn)動的衰減與經(jīng)典阻尼運(yùn)動一致;經(jīng)典振子的頻率ω則依賴兩能量實(shí)部之差和表示阻尼系數(shù)的能量虛部.利用(22)式,選取適當(dāng)?shù)膮?shù)A,B,C,使得K0=0和Im[E1]=0或者K1=0和Im[E0]=0,從而λ是一個和時間無關(guān)的常數(shù),對應(yīng)一個受到恒力影響的經(jīng)典阻尼運(yùn)動,其量子動力學(xué)由非厄米哈密頓量(2)式描述.這就嚴(yán)格證明,λ為常數(shù)的經(jīng)典阻尼振子系統(tǒng)(1)的量子動力學(xué)確實(shí)可以由非厄米哈密頓量(2)來支配.

5 結(jié) 論

對于一個處于開放環(huán)境中的囚禁離子,在激光冷卻及與環(huán)境相互作用過程中產(chǎn)生的經(jīng)典阻尼效應(yīng)對量子動力學(xué)的影響可以用一個含有虛勢能的非厄米哈密頓來描述.考慮四極囚禁勢和偶極靜電場下的經(jīng)典運(yùn)動通常用諧振子模型來描述,我們用包含偶極和四極虛勢能項(xiàng)的非厄米哈密頓算符來描述該系統(tǒng)的量子阻尼運(yùn)動.導(dǎo)出了該系統(tǒng)的精確本征態(tài)和本征能量,包含PT對稱和不對稱情形不同的實(shí)能譜與穩(wěn)定量子態(tài),以及PT不對稱情形的虛能譜和衰減量子態(tài).發(fā)現(xiàn)該非厄米系統(tǒng)外場參數(shù)可以惟一確定量子穩(wěn)定定態(tài)并導(dǎo)致波函數(shù)形態(tài)變化等新特征,同時給出相應(yīng)于不同態(tài)的參數(shù)區(qū)域和存活概率,據(jù)此提出非相干操控相應(yīng)量子躍遷的方法.證實(shí)該非厄米系統(tǒng)中離子的位置期待值滿足的運(yùn)動方程和經(jīng)典阻尼諧振子運(yùn)動方程形式上的一致性,得到偶極和四極虛勢能參數(shù)與經(jīng)典阻尼參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.所得結(jié)果將進(jìn)一步豐富具有廣泛應(yīng)用背景的囚禁離子動力學(xué),其中控制開放系統(tǒng)穩(wěn)定定態(tài)之間量子躍遷的方法對量子信息處理可能具有實(shí)際意義.

根據(jù)得到的穩(wěn)定定態(tài)對靜電場強(qiáng)度B的依賴關(guān)系以及對應(yīng)于不同能量虛部的參數(shù)區(qū)域,可以通過調(diào)節(jié)靜電場強(qiáng)度來提高開放系統(tǒng)的存活概率以及實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定定態(tài)之間的量子躍遷.同時,用于冷卻的激光和離子所處的開放環(huán)境也可粗略調(diào)節(jié),這等價(jià)于調(diào)節(jié)虛勢能參數(shù)A,C,通過這種調(diào)節(jié)也可達(dá)到一定程度上控制量子態(tài)的目的.本結(jié)果可以方便地推廣到周期驅(qū)動的囚禁離子系統(tǒng)[39?43],該推廣僅需讓非厄米哈密頓(2)式中的偶極或四極勢能參數(shù)中包含時間的周期函數(shù),其中含時偶極勢對應(yīng)于方程(1)中的λ(t)項(xiàng).

[1]Wineland D J 2013Rev.Mod.Phys.85 1103

[2]Duan L M,Monroe C 2010Rev.Mod.Phys.82 1209

[3]Singer K,Poschinger U,Murphy M,Ivanov P,Ziesel F,Calarco T,Schmidt-Kaler F 2010Rev.Mod.Phys.82 2609

[4]Leibfried D,Blatt R,Monroe C,Wineland D 2003Rev.Mod.Phys.75 281

[5]Soderberg K A B,Monroe C 2010Rep.Prog.Phys.73 036401

[6]DeVoe R G,Hoffnagle J,Brewer R G 1989Phys.Rev.A39 4362

[7]Blümel R 1995Phys.Rev.A51 620

[8]Nam Y S,Jones E B,Blümel R 2014Phys.Rev.A90 013402

[9]Weiss D K,Nam Y S,Blümel R 2016Phys.Rev.A93 043424

[10]Hai W H,Duan Y W,Zhu X W,Shi L,Luo X L,He C S 1997Acta Phys.Sin.46 2217(in Chinese)[海文華,段宜武,朱熙文,施磊,羅學(xué)立,何春山 1997物理學(xué)報(bào) 46 2217]

[11]Mihalcea B M,Vi?an G G 2010Phys.Scr.T140 014057

[12]Peng H W 1980Acta Phys.Sin.29 1084(in Chinese)[彭桓武 1980物理學(xué)報(bào)29 1084]

[13]Gzyl H 1983Phys.Rev.A27 2297

[14]Akerman N,Kotler S,Glickman Y,Dallal Y,Keselman A,Ozeri R 2010Phys.Rev.A82 061402

[15]Fidio C D,Vogel W 2000Phys.Rev.A62 031802

[16]Gong S J,Zhou F,Wu H Y,Wan W,Chen L,Feng M 2015Chin.Phys.Lett.32 013201

[17]Bazrafkan M R,Ashra fiS M,Naghdi F 2014Chin.Phys.Lett.31 070303

[18]Klimov A B,Romero J L,Delgado J,Sánchez-Soto L L 2004Opt.Commun.230 393

[19]Jiang Z,Chen P X 2012Acta Phys.Sin.61 014209(in Chinese)[蔣智,陳平形 2012物理學(xué)報(bào)61 014209]

[20]Bushev P,Rotter D,Wilson A,Dubin F,Becher C,Eschner J,Blatt R,Steixner V,Rabl P,Zoller P 2006Phys.Rev.Lett.96 043003

[21]Eleuch H,Rotter I 2017Phys.Rev.A95 022117

[22]Dattoli G,Torre A,Mignani R 1990Phys.Rev.A42 1467

[23]Li J H,Yu R,Ding C L,Wu Y 2016Phys.Rev.A93 023814

[24]Santra R,Cederbaum L S 2002Phys.Rep.368 1

[25]Longhi S 2016Europhys.Lett.115 61001

[26]Jin L,Song Z 2009Phys.Rev.A80 052107

[27]Jin L,Song Z 2010Phys.Rev.A81 032109

[28]Zhong H H,Hai W H,Lu G B,Li Z J 2011Phys.Rev.A84 013401

[29]Xiao K W,Hai W H,Liu J 2012Phys.Rev.A85 013410

[30]Bender C M,Brody D C,Jones H F 2002Phys.Rev.Lett.89 270401

[31]Chen Z J,Ning X J 2003Acta Phys.Sin.52 2683(in Chinese)[陳增軍,寧西京 2003物理學(xué)報(bào) 52 2683]

[32]Baradaran M,Panahi H 2017Chin.Phys.B26 060301

[33]Wang X Y,Chen H Z,Li Y,Li B,Ma R M 2016Chin.Phys.B25 124211

[34]Graefe E M,H?ning M,Korsch H J 2010J.Phys.A:Math.Theor.43 075306

[35]Caldeira A O,Leggett A J 1985Phys.Rev.A31 1059

[36]Gu Y 1996Quantum Chaos(Shanghai:Shanghai Scientific and Technological Education Press)(in Chinese)[顧雁1996 量子混沌 (上海：上?？萍冀逃霭嫔?]

[37]Casati G,Guarneri I,Maspero G 2000Phys.Rev.Lett.84 63

[38]Wimberger S,Krug A,Buchleitner A 2002Phys.Rev.Lett.89 263601

[39]Mizrahi J,Senko C,Neyenhuis B,Johnson K G,Campbell W C,Conover C W S,Monroe C 2013Phys.Rev.Lett.110 203001

[40]Chen Q,Hai K,Hai W H 2010J.Phys.A:Math.Theor.43 455302

[41]Hai K,Luo Y R,Chong G S,Chen H,Hai W H 2017Quantum Inf.Comput.17 456

[42]Chen Y H,She L,Wang M,Yang Z H,Liu H,Li J M 2016Chin.Phys.B25 120601

[43]Yang M R,Hai W H,Lu G B,Zhong H H 2010Acta Phys.Sin.59 2406(in Chinese)[楊美蓉,海文華,魯耿彪,鐘宏華2010物理學(xué)報(bào)59 2406]

Quantum damping motion of a single trapped ion?

Li Jin-Qing Luo Yun-Rong Hai Wen-Hua?

(Synergetic Innovation Center for Quantum Effects and Applications of Hunan Province,Key Laboratory of Low-dimensional Quantum Structures and Quantum Control of Ministry of Education,Department of Physics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China)

26 August 2017;revised manuscript

13 September 2017)

Classical motion of a single damped ion con fined in a Paul trap is usually described by a damped harmonic oscillator model.We report the treatment of quantum damping motion of the system via a non-Hermitian Hamiltonian with dipole and quadrupole imaginary potential.By deriving and analyzing the exact solution of the system,we obtain the different real energy spectra and stable quantum states for the PT symmetry and asymmetry cases,as well as the imaginary spectrum and decaying quantum state for the PT asymmetry case.The corresponding imaginary energy parameter region and the survival probability are investigated.We find that the non-Hermitian system parameters of the external filed uniquely determine the quantum stable states and lead to the new characteristic of the morphology of wave function.Based on these properties,we propose a method of incoherently manipulating quantum transitions between the quantum stable states.By setting the decayed expectation value of ion position to be the same as the decayed displacement of the classical damped harmonic oscillator,we obtain the correspondence between the imaginary potential strength and the classical damping parameters.The results will enrich the quantum dynamics of the damped trapped ions,which may be useful in a wide application field.

trapped ion,damped harmonic oscillator,non-Hermitian Hamiltonian,survival probability

PACS:37.10.Ty,46.40.Ff,03.65.—wDOI:10.7498/aps.66.233701

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11475060),the Hunan Provincial Innovation Foundation for Postgraduate and Graduate Degree Thesis,China(Grant No.CX2017B222),and the Hunan Provincial Natural Science Foundation of China(Grant No.2017JJ3208).

?Corresponding author.E-mail:whhai2005@aliyun.com

(2017年8月26日收到;2017年9月13日收到修改稿)

用包含偶極和四極虛勢能項(xiàng)的非厄米哈密頓算符來描述Paul阱中囚禁阻尼單離子在靜電場下的量子運(yùn)動.通過導(dǎo)出和分析系統(tǒng)的精確解,得到在PT對稱和不對稱情形下的不同實(shí)能譜與穩(wěn)定量子態(tài),以及PT不對稱情形的虛能譜和衰減量子態(tài),同時給出相應(yīng)于不同態(tài)的參數(shù)區(qū)域和存活概率.結(jié)果發(fā)現(xiàn)該非厄米系統(tǒng)外場參數(shù)能惟一確定量子穩(wěn)定態(tài)并導(dǎo)致波函數(shù)形態(tài)變化,據(jù)此提出非相干操控相應(yīng)量子躍遷的方法.讓量子態(tài)衰減導(dǎo)致的離子位置期待值的衰減與經(jīng)典阻尼諧振子的衰減一致,得到虛勢能參數(shù)與經(jīng)典阻尼參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.所得結(jié)果將進(jìn)一步豐富具有廣泛應(yīng)用背景的囚禁離子動力學(xué).

10.7498/aps.66.233701?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號：11475060)、湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(批準(zhǔn)號：CX2017B222)和湖南省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號：2017JJ3208)資助的課題.

?通信作者.E-mail:whhai2005@aliyun.com