黃世平

解決統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用問(wèn)題的策略

黃世平

數(shù)學(xué)解題，結(jié)果正確固然重要，但更重要的是對(duì)解題過(guò)程中所使用策略的反思總結(jié).下面我們結(jié)合統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用中的典型問(wèn)題，來(lái)說(shuō)明如何根據(jù)解題思路的形成進(jìn)行反思，以便同學(xué)們舉一反三，學(xué)會(huì)反思總結(jié)歸納.

例1 下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.“經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)的路口，遇到紅燈”是必然事件

B.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為0.6，則他投10次一定可投中6次

C.處于中間位置的數(shù)一定是中位數(shù)

D.方差越大數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越小數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小

【解答】A.經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)的路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，說(shuō)法A錯(cuò)誤；

B.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為0.6，則他投10次不一定投中6次，說(shuō)法B錯(cuò)誤；

C.一組數(shù)據(jù)從小到大排序后，奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)，偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)中間位置兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)才是中位數(shù)，說(shuō)法C錯(cuò)誤；

D.方差越大數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越小數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，說(shuō)法D正確，故選D.

【策略歸納】本題考查了隨機(jī)事件與必然事件、概率的意義、中位數(shù)的求法、方差的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的概念、性質(zhì)和方法是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

例2 為了“天更藍(lán)，水更清”，某市政府加大了對(duì)空氣污染的治理力度，經(jīng)過(guò)幾年的努力，空氣質(zhì)量明顯改善，現(xiàn)收集了該市連續(xù)30天的空氣質(zhì)量情況作為樣本，整理并制作了如

下表格和一幅不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖：

空氣污染指數(shù)（ω）天數(shù)（t）30 40 70 80 90 110 120 140 1 2 3 5 7 6 4 2

說(shuō)明：環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定：ω≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；51≤ω≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；101≤ω≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕度污染；151≤ω≤200時(shí)，空氣質(zhì)量為中度污染……

根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：

（1）直接寫(xiě)出空氣污染指數(shù)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)________，中位數(shù)________；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全空氣質(zhì)量天數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖（圖1）；

（3）根據(jù)已完成的條形統(tǒng)計(jì)圖，制作相應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）；

（4）健康專家溫馨提示：空氣污染指數(shù)在100以下適合做戶外運(yùn)動(dòng).請(qǐng)根據(jù)以上信息，估計(jì)該市居民一年（以365天計(jì)）中有多少天適合做戶外運(yùn)動(dòng)？

空氣質(zhì)量天數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖

圖1

空氣質(zhì)量天數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖2

【解答】（1）在這組數(shù)據(jù)中90出現(xiàn)的次數(shù)最多，為7次，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90；在這組數(shù)據(jù)中排在最中間的兩個(gè)數(shù)都是90，其平均數(shù)也是90，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是90.

（2）由題意得輕度污染的天數(shù)為30-3-15=12（天），補(bǔ)全空氣質(zhì)量天數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖3所示.

空氣質(zhì)量天數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖

圖3

空氣質(zhì)量天數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖4

（3）由題意知，“優(yōu)”所占圓心角的度數(shù)為3÷30×360=36°，“良”所占圓心角的度數(shù)為15÷30×360=180°，“輕度污染”所占圓心角的度數(shù)為12÷30×360=144°，制作扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖4所示.

（4）該市居民一年（以365天計(jì)）中適合做戶外運(yùn)動(dòng)的天數(shù)為18÷30×365=219（天）.

【策略歸納】本題是一道數(shù)據(jù)分析題，考查了中位數(shù)，眾數(shù)，條形統(tǒng)計(jì)，扇形統(tǒng)計(jì)圖，樣本估計(jì)總體思想等知識(shí)的運(yùn)用，解決這類問(wèn)題要理解相關(guān)概念，會(huì)讀取圖表中的有用信息，掌握不同統(tǒng)計(jì)圖的特征及其繪制方法，能用樣本估計(jì)總體的思想解決問(wèn)題.

例3 某體育老師測(cè)量了自己任教的甲、乙兩班男生的身高，并制作了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

頻率0.06 0.14 0.28 n 0.18 0.06 0.02身高（cm）分組152≤x＜155 155≤x＜158 158≤x＜161 161≤x＜164 164≤x＜167 167≤x＜170 170≤x＜173頻數(shù)3 7 m 1 3 9 3 1

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖表完成下列問(wèn)題：

（1）統(tǒng)計(jì)表中m=________，n=________，并將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；

（2）在這次測(cè)量中兩班男生身高的中位數(shù)在_______范圍內(nèi)；

（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙兩班各有2人，現(xiàn)從4人中隨機(jī)推選2人補(bǔ)充到學(xué)校國(guó)旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)中，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出這兩人來(lái)自相同班級(jí)的概率.

頻數(shù)分布直方圖

圖5

【解答】（1）總?cè)藬?shù)為3÷0.06=50，∴m=50×0.28=14，n==0.26.補(bǔ)充頻數(shù)分布直方圖如圖6所示.

圖6

（2）觀察表格可知中位數(shù)在 161≤x＜164內(nèi)；

（3）將甲、乙兩班的學(xué)生分別記為甲1、甲2、乙1、乙2，樹(shù)狀圖如圖7所示：

圖7

【策略歸納】本題考查頻數(shù)與頻率的關(guān)系、頻數(shù)分布直方圖畫(huà)法、中位數(shù)的確定和用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求概率等知識(shí).解決這類問(wèn)題要準(zhǔn)確記憶并運(yùn)用有關(guān)公式，理解不同統(tǒng)計(jì)圖表的特征，會(huì)讀會(huì)畫(huà)會(huì)算，能靈活選擇用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求概率.

例4 新星公司到某大學(xué)從應(yīng)屆畢業(yè)生中招聘公司職員，對(duì)應(yīng)聘者的專業(yè)知識(shí)、英語(yǔ)水平、參加社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)等三項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試或成果認(rèn)定，三項(xiàng)的得分滿分都為100分，三項(xiàng)的分?jǐn)?shù)分別按5∶3∶2的比例記入每人的最后總分，有4位應(yīng)聘者的得分如下表所示.

得分 項(xiàng)目應(yīng)聘者A B C D專業(yè)知識(shí)85 85 80 90英語(yǔ)水平85 85 90 90參加社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)等90 70 70 50

（1）寫(xiě)出4位應(yīng)聘者的總分；

（2）就表中專業(yè)知識(shí)、英語(yǔ)水平、參加社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)等三項(xiàng)的得分，分別求出三項(xiàng)中4人所得分?jǐn)?shù)的方差；

（3）由（1）和（2），你對(duì)應(yīng)聘者有何建議？

【解答】（1）應(yīng)聘者A總分為86分，應(yīng)聘者B總分為82分，應(yīng)聘者C總分為81分，應(yīng)聘者D總分為82分.

（2）4位應(yīng)聘者專業(yè)知識(shí)測(cè)試的均分為85，方差為12.5；4位應(yīng)聘者英語(yǔ)水平測(cè)試的均分為87.5，方差為6.25；4位應(yīng)聘者參加社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)等的均分為70，方差為200.

（3）應(yīng)聘者的專業(yè)知識(shí)、英語(yǔ)水平的差距不大，但參加社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)等方面的差距較大，影響最后成績(jī)，也影響就業(yè).學(xué)生不僅要注重自己的文化知識(shí)的學(xué)習(xí)，更應(yīng)注重社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)的開(kāi)展，從而促進(jìn)綜合素質(zhì)的提升.

【策略歸納】本題中反映應(yīng)聘者的成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量較多，從數(shù)學(xué)的角度考慮，可以比較總分、平均分、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，不同的統(tǒng)計(jì)量從不同的角度刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的特征，如：平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均情況，極差反映的是最大值和最小值之間的差距，方差和標(biāo)準(zhǔn)差則反映的是各數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.因此在實(shí)際問(wèn)題中，取決于公司對(duì)應(yīng)聘者在每個(gè)方面的特殊要求.在提出建議時(shí)，既要注意到共性，又要注意到個(gè)性，使提出的建議具有針對(duì)性.

江蘇省興化市昭陽(yáng)湖初級(jí)中學(xué)）