李先永

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李先永

轉(zhuǎn)化思想就是將未知解法或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類(lèi)比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，劃歸為已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題方法的數(shù)學(xué)思想.因此轉(zhuǎn)化思想是初中代數(shù)、幾何的一種重要的數(shù)學(xué)思想.在銳角三角函數(shù)題中，有許多問(wèn)題的解決涉及轉(zhuǎn)化思想，現(xiàn)歸納如下，供大家參考.

一、通過(guò)角的轉(zhuǎn)化解決三角函數(shù)求值問(wèn)題

1.運(yùn)用網(wǎng)格轉(zhuǎn)化.

例1 在如圖1的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于 .

圖1

【方法探究】解答本題的關(guān)鍵是明確題意，做出合適的輔助線，利用勾股定理和等積法解答.根據(jù)平移的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義以及勾股定理，通過(guò)把∠BOD轉(zhuǎn)化為∠BO′D′的數(shù)學(xué)思想可以求得tan∠BOD的值，本題得以解決.

解：平移CD到C′D′交AB于O′，如圖2所示，則∠BO′D′=∠BOD，

圖2

∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，

∴tan∠BOD=3.

故答案為：3.

2.利用相似轉(zhuǎn)化.

例2 如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE⊥CE，連接CD.

（1）求證：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值.

圖3

【方法探究】（1）連接OC，若求DC=BC，可以證明∠CAD=∠BAC，進(jìn)而證明

（2）AB=5，AC=4，根據(jù)勾股定理就可以得到BC=3，易證△ACE∽△ABC，求得EC，再利用勾股定理計(jì)算出ED，最后在Rt△CED中根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠DCE的值.

（1）證明：連接OC，如圖4.

圖4

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.

∵CE是⊙O的切線，

∴∠OCE=90°.

∵AE⊥CE，∴∠AEC=∠OCE=90°，

∴OC∥AE，∴∠OCA=∠CAD，

∴DC=BC.

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

3.利用共圓轉(zhuǎn)化.

例3 如圖5，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為 .

圖5

【方法探究】本題解題要點(diǎn)有兩個(gè)：（1）求出線段AE的長(zhǎng)度；（2）證明∠BOE=∠BCE.由題意可知，OE為對(duì)角線AC的中垂線，則CE=AE，S△AEC=2S△AOE=10，由S△AEC求出線段AE的長(zhǎng)度，進(jìn)而在Rt△BCE中，由勾股定理求出線段BE的長(zhǎng)度，然后證明∠BOE=∠BCE，從而可求得結(jié)果.

解：如圖6，連接EC.

由題意可得，OE為對(duì)角線AC的垂直平分線，∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，

圖6

二、利用相似轉(zhuǎn)化邊的比例，解決三角函數(shù)求值問(wèn)題

例4 如圖7，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，CD∶DB=1∶2，則tan∠B=

______.

圖7

【方法探究】本題通過(guò)作輔助線，構(gòu)造比例線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換.根據(jù)題中所給的條件，延長(zhǎng)BA到E，在直角三角形中解題.根據(jù)三角函數(shù)定義和平行線分線段成比例定理，把AE∶AB轉(zhuǎn)化為AC∶AB求解.

解：如圖8，延長(zhǎng)BA到E，使AE=AC，連接CE，則∠E=∠ECA=45°.

圖8

∵∠CAD=∠BAD=45°，

∴∠E=∠BAD=45°，∴CE∥AD，

∴CD∶BD=AE∶AB.

∵AC=AE，∴CD∶BD=AC∶AB，

例5 如圖9，AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，且CD，AB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩根，則cos∠DPB=____.

圖9

【方法探究】本題先利用因式分解法解方程得到AB=4，CD=3，再根據(jù)圓周角定理得∠PCD=∠PAB，∠CDP=∠ABP，則可判斷△PCD∽△PAB，利用相似的性質(zhì)得連接BD，由AB是半圓O的直徑得到∠ADB=90°，然后在Rt△PDB中根據(jù)余弦的定義求解.

解：解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，則AB=4，CD=3，

∵∠PCD=∠PAB，∠PDC=∠PBA，

∴△PCD∽△PAB，

連接BD，如圖10，

圖10

∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90°，

由此可見(jiàn)，遇到一些不能直接利用定義求解銳角三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，我們通常可以用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問(wèn)題，比如利用同圓中圓周角相等來(lái)轉(zhuǎn)化角，利用平行轉(zhuǎn)化角，還可以用相似來(lái)轉(zhuǎn)化角或轉(zhuǎn)化邊的比例，具體的問(wèn)題還要具體對(duì)待.

江蘇省宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)）