周德明 王華民 奚勇斌

(1，3 江蘇省太湖高級中學 214125 2 江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心)

某市2016年秋學期高二數(shù)學期末檢測填空壓軸題14：已知直線ax+by+c=0始終平分圓C:x2+y2-2x+4y-4=0(C為圓心)的周長，過點P(6，9) 作直線l:(2a-b)x+(2b-c)y+(2c-a)=0的垂線，垂足為H，則線段CH長度的取值范圍是．閱卷后的統(tǒng)計顯示，本題得分率太低，一所四星級學校平均得分率不足3%，引起我們的高度重視，需要認真反思．

本題究竟難在何處？其一，信息量大，含兩條直線、兩個圓(其中一個隱含)，除兩個變量x、y外還有三個參數(shù)a、b、c；其二，綜合性強，不僅要利用對稱、圓、最值等相關(guān)知識，還要利用軌跡、消元、配方法等多種思想方法；其三，需要挖掘兩個隱含條件——直線過定點和垂足的軌跡是一個定圓．既要考查學生對信息的處理、對數(shù)學思想方法的掌握，又要考查學生的思維能力、運算能力，難度確實大．從被訪談的學生了解到，題中隱含的“直線過定點”信息，有少數(shù)學生能發(fā)現(xiàn)，但隱含的“定圓”信息，能發(fā)現(xiàn)的就寥寥無幾了．

在試卷講評時，筆者除了關(guān)注學生的回答和課堂氣氛外，特別關(guān)注學生的思維活動，給他們足夠的思考的時間、空間，結(jié)果意外發(fā)生了……．課后仔細品味，不由聯(lián)想到佛家人生的三重境界“看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水；看山還是山，看水還是水.”

第一重境界——看山是山，看水是水

筆者所任教的班級為該校層次最好的班級，有42人，其中僅4人答案正確．既然試題過難，一般學生難以發(fā)現(xiàn)解題突破口．因此，試卷講評時，采用難點分解、逐個突破的策略，設(shè)計了如下一些思考問題：

圖1

問題1直線ax+by+c=0 始終平分圓C:x2+y2-2x+4y-4=0(C為圓心)的周長(圖1)，說明什么？

學生眾：直線過圓心，可得a-2b+c=0.

問題2直線l:(2a-b)x+(2b-c)y+(2c-a)=0有何特征？

學生1：c=2b-a代入直線l方程，化簡可得a(2x+y-3) -b(x-4)=0.

所以直線l:(2a-b)x+(2b-c)y+(2c-a)=0過定點M(4，-5).(利用消a或b代入，同樣可以求得定點M(4，-5) ).

部分同學的表情顯示：后悔，了解情況后得知，他們考試時沒想到消元、轉(zhuǎn)化，看到比較復雜的直線方程覺得無所適從，就放棄了.反映了學生對題中隱含條件挖掘不夠，對于“式”的運算意識薄弱，能力亟待提高.

問題3過定點P(6，9)作l:(2a-b)x+(2b-c)y+(2c-a)=0的垂線，垂足H的軌跡是什么？

學生2：我列出了l與PH兩條直線方程，構(gòu)成方程組，求交點H的軌跡方程，感覺太繁了，算不下去.

學生4(搶答)：如圖2，因為PH⊥MH，所以點H在以PM為直徑的圓上.

圖2

學生3回答時課堂非常安靜，還有很多同學在默默地點頭.當學生4搶答時，課堂一下子活躍起來了.“哎，對啊！”他們開始懊悔自己沒有畫圖，只是埋頭苦算，還有些畫了圖，但沒有將PM連起來，也就沒有跳出“數(shù)”的囹圄，從“形”的角度重新認識它，真可謂“數(shù)”缺“形”時少直觀！

問題4點C(1，-2)與垂足H的軌跡圓D：(x-5)2+(y-2)2=50位置關(guān)系如何？CH的最大、最小值分別是多少？CH長度的取值范圍是．

圖3

學生眾：點C在圓D內(nèi)部時，

|CH|max=|CD|+R，|CH|min=R-|CD|，

至此，本題解答應該是圓滿的了，絕大多數(shù)同學都能看懂題目，厘清思路，基本達到了看山是山，看水是水的境界.

第二重境界——看山不是山，看水不是水

為了讓學生保持積極思考狀態(tài)，養(yǎng)成良好的思維習慣，幫助學生進一步學會思考、深化理解，筆者安排了解題回顧、反思的教學環(huán)節(jié).

問題5解答本題的關(guān)鍵在哪？你是如何想的呢？

學生5：應該有兩處，一是直線l所過定點問題，二是垂足H的軌跡問題.題中沒有直接說明，相對比較隱含……

師：學生6做出了正確的答案，我們還是聽聽他的高見吧，說不定有驚喜呢！

圖4

此時教室里鴉雀無聲，觀察學生的表情、神態(tài)大致有三種：一是張嘴望著學生6(佩服、質(zhì)疑？)，二是托腮看著投影上學生6的解題過程(尋找著什么？)，三是低頭在草稿紙上寫著或畫著什么(驗證著什么？).時間飛逝，兩分鐘后有小聲議論“答案巧了”、“肯定有問題”、“可能也行的” ……

學生7(托腮)：直線l不可能同時過兩個定點M(4，-5)、N(-2，1).若過兩個定點且不變成一條定直線，那么過點P(6，9)作l垂線的垂足H就應該是一個定點，CH的長度即為一個定值.

學生8(張嘴)：我說這個答案是巧了！

這個結(jié)果在我們意料之外，為驗證它的正確性，筆者利用幾何畫板在圖4的基礎(chǔ)上改變P點的位置(如圖5)，測得無論垂足H的軌跡是以PM為直徑的圓，還是以PN為直徑的圓，此結(jié)果CH長度的取值范圍均相同.此時很多同學又認可了學生6的解答應該是正確的，但仍有部分同學不甘心.

圖5

至此，老師與同學經(jīng)歷了“對(答案)→錯(猜想)→對(驗證)→錯(質(zhì)疑)”的過程，到了看山不是山，看水不是水的境界.

第三重境界——看山還是山，看水還是水

為了弄清上述問題，筆者繼續(xù)設(shè)計如下問題，請同學們再思考：

問題6直線l究竟是過定點M(4，-5)還是N(-2，1)？

學生11：應該是M(4，-5)，因為本題中a，b，c滿足的條件是a-2b+c=0，而若過定點N(-2，1)，則-5a+4b+c=0，與條件不一致！事實上，直線bx+cy+a=0與直線l已不是同一條直線，它們經(jīng)過的定點當然不同.如l1:y=k1x+3，l2:y=k2x-3，l:λ(k1x-y+3)+μ(k2x-y-3)=0，當λ=2，μ=1時，l過定點(0，1)，與l1，l2所過定點均不相同.顯然不可用l2所過定點(0，-3)來代替l所過定點.

問題7答案巧在哪里呢？

葉瀾教授說過“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵守固定路線而沒有激情的行程.”我再次把圖5投影出來，讓學生仔細觀察.有同學發(fā)現(xiàn)，此時點C(1，-2)恰好是M(4，-5)與N(-2，1)的中點，是否玄機就在這里呢？

圖6

顯然范圍是不一致的. 看來本題答案確實是巧了，那么為什么改變P點位置，結(jié)果仍一致呢？

思考若C是MN的中點，過M、N分別作動直線l1，l2，過平面內(nèi)任一點P(與過M、N不重合)作直線l1，l2的垂線，垂足分別為H、Q，那么CH長度的取值范圍與CQ長度的取值范圍一定相同？

學生12：問題可抽象為H點的軌跡是以PM為直徑的圓D，Q軌跡是以PN為直徑的圓E(如圖7)，|CH|max=|CD|+|DH|=|CD|+|PD|，|CQ|max=|CE|+|EQ|=|CE|+|PE|，又D、C、E分別為PM、MN、PN的中點，所以四邊形CDPE為平行四邊形，所以|CD|+|PD|=|CE|+|PE|，所以|CH|max=|CQ|max.同理，|CH|min=|CD|-|DH′|=|CD|-|PD|，|CQ|min=|EQ′|-|CE|=|EP|-|CE|，所以|CH|min=|CQ|min，則必有CH長度的取值范圍與CQ長度的取值范圍相同.

圖7

太棒了！課堂上響起一片熱烈的掌聲.我不得不驚嘆：學生真的是聰明的！他們每個人身上都蘊藏著無限的潛能.下課鈴響了，同學們?nèi)砸猹q未盡.

學生13：兩定點一動點的問題，我想到的是橢圓.

學生14：兩定點一動點的問題，我想到了雙曲線.

學生15：兩定點一動點的問題，我想到了阿波羅尼斯圓.

本節(jié)課又讓我們見證了……

感嘆：看山還是山，看水還是水.

之后，教師布置了一道鞏固練習(2013年度江蘇卷第17題改編)：在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，圓C: (x-a)2+(y-2a+4)2=1，若圓C上存在點M，使MA=2MO，則圓心C的橫坐標的取值范圍是________.

一道檢測的壓軸題，由于得分率太低，幾乎成了一道廢題．大家都認同“錯誤可以轉(zhuǎn)化為一種資源”的觀點，而筆者對這道近乎廢題進行再利用，把它作為課堂教學的一種探究資源，通過四個問題分解難點，發(fā)掘其隱含的思維價值．課上由于學生6的“獨到解法”使問題變得撲朔迷離，教師又抓住這一種課堂的生成資源，還時間給學生進行數(shù)學探究，大大激發(fā)了同學們探究的熱情、探究的欲望和創(chuàng)造的潛能，這不僅是知識的拓展、延伸，更是學生分析問題、解決問題的能力在提升，學生思維能力在發(fā)展，使得本題的思維價值得到充分的發(fā)掘．

俗語說：要給學生一滴水，老師就必須有一碗水，對于這類意外生成問題的處理，它考量的是教師的智慧和應變機制，對我們現(xiàn)代教師各方面能力(應變能力、扎實的基本功和幾何畫板等軟件的應用)都提出了更高的要求，只有做到如王國維所說的“入乎其內(nèi)”，才能“出乎其外”，愿我們師生且行且珍惜.