劉國海

(海南省農(nóng)墾中學(xué) 570226)

概率與統(tǒng)計問題與我們的日常生活密切相關(guān)，是理論聯(lián)系實際的重要體現(xiàn)．同時，中學(xué)數(shù)學(xué)中的概率與統(tǒng)計又是大學(xué)《概率論及數(shù)理統(tǒng)計》的重要基礎(chǔ)．因此，在往年的各地高考和模擬考試中經(jīng)常出現(xiàn)一些概率問題，其善變、新穎的情境總是給人眼前一亮、耳目一新的感覺.

筆者在概率教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)兩個問題，學(xué)生解決時容易產(chǎn)生幾種不同的解法．但每種解法得到的結(jié)果未必相同，也就是出現(xiàn)“一題多解”的困惑.

問題一：幾何概型

例1在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上取一點M，求AM

解法一：如圖1，在AB上截取AC′=AC，于是

圖1

圖2

其實以上兩種解法是我們的學(xué)生在解題過程中常出現(xiàn)的不同結(jié)果，似乎各有各的道理，孰是孰非，這是我們值得深思的一個問題.

在概率論發(fā)展的初期階段，人們就發(fā)現(xiàn)不能僅僅考慮隨機現(xiàn)象的可能結(jié)果只有有窮個基本事件，還要研究“無窮個基本事件”的情形.

假設(shè)某一隨機現(xiàn)象的樣本空間，可用歐氏空間的某一區(qū)域S表示，其樣本點具有所謂“均勻分布”的性質(zhì)．在我們解決這類問題時，總是假設(shè)區(qū)域S以及其中任一可能出現(xiàn)的小區(qū)域A都是可以度量的，其度量大小用μ(A)表示(如一維長度，二維面積，三維體積).

回過頭看例1，解法一考慮的是長度之比，解法二考慮的是角度，也可以理解為兩個半徑無窮大的扇形面積之比．其實兩種解法是對研究對象的理解偏差導(dǎo)致的．而針對本題，筆者認為解法一是切合題意的，因為這里考察的是點M的位置．如果把題目變?yōu)椋涸诘妊黂t△ABC中，在∠ACB內(nèi)部，以C為起點任作一條射線，交斜邊AB于點M，求AM

再如：

例2如圖3，A,B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C，B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？

圖3

解法一：記

E

：“

A

與

C

，

B

與

D

之間的距離都不小于10米”．把

AB

三等分，由于中間長度為

米，所以

圖4

類似例1、例2這類題目所謂的“多解”可能是“偽解”，很可能解題方法的切入點就是錯誤的．也恰恰說明解題要認真分析、審清題意，搞準(zhǔn)問題研究的對象，真正理解相關(guān)概念的本質(zhì)，采用最切合題意的解題方法才能得到正確的答案．但也有一類概率問題的“一題多解”是難以辨別孰是孰非的.

圖5

圖6

圖7

問題二：離散型隨機變量的分布列

例4從某學(xué)校隨機抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)檢查得到每位學(xué)生的視力，其中“好視力”4人，以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的整體數(shù)據(jù)，若從中任選3人，記X表示抽到 “好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解法一：依題意，ξ=0,1,2,3，則

所以X的分布列為

X0123P112833709701140

所以X的分布列為

X0123P27642764964164

以上兩種解法：一種是超幾何分布，一種是二項分布．雖然求出的分布列不同，但最終得到的數(shù)學(xué)期望是一樣的，是“純屬巧合”，還是“必然結(jié)果”？其實超幾何分布和二項分布是有密切聯(lián)系的，都屬于離散型隨機變量分布，但也有一定的區(qū)別.

從表象來看，兩種分布列的概率求解有完全不同的表達式，但概率分布列構(gòu)造上又有相似點．高中數(shù)學(xué)教材中超幾何分布的定義是：

設(shè)有N件產(chǎn)品，其中M件是不合格品，無放回地任意取n件，則其中恰好有不合格品的件數(shù)X服從超幾何分布，記作X～H(N,n,M).

由此可見，這兩種分布的主要區(qū)別就是抽取方式的“有放回”和“無放回”.

這類問題，學(xué)生解題時真正區(qū)別起來還是有難度的．筆者認為具體甄別應(yīng)該僅僅抓住超幾何分布和二項分布的定義，緊扣“放回”與“不放回”進行判定．針對本例，顯然解法一是切題的.

如例4變?yōu)椋喝魪脑撔?人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到 “好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．那么這個問題用二項分布(解法二)就更切題了，這一點我們可以認真體會一下.

概率統(tǒng)計主要探討現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和隨機現(xiàn)象，并且通過對數(shù)據(jù)收集、整理、分析幫助人們作出合理的決策．由于概率統(tǒng)計納入中學(xué)數(shù)學(xué)課程的時間不是很長，致使概率的教學(xué)研究相對不夠成熟，學(xué)生們在學(xué)習(xí)這一部分知識時還存在一定的困難．因而，讓學(xué)生理解它的內(nèi)容與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的直覺，讓學(xué)生的思考在分析真實數(shù)據(jù)中形成，讓學(xué)生的理解在集體討論中加深，尤其是對一些概念的討論和辨析至關(guān)重要．