陳 呈 王金才

(蘇州大學數(shù)學科學學院 215006)

去年12月公布的PISA(Program for International Student Assessment)2015測試結果中，新加坡學生以突出的成績獲得第一，而北京、上海、江蘇、廣東組成的中國部分地區(qū)聯(lián)合體(B-S-J-G，China)在此次測試中僅位居總分第十.PISA主要測試的是學生的應用能力.目前，我國新的高中數(shù)學課程標準即將公布，并于2018年正式實行，而此次的高中新課標將“數(shù)學建模”作為六個核心素養(yǎng)之一，特別強調了“數(shù)學應用與建模”，這勢必要引起一系列的改革.因此，將我國與新加坡中學“數(shù)學應用與建?！毕啾容^，從中學習新加坡在“數(shù)學應用與建?！狈矫孑^好的措施，可以為本次高中課程的改革提供一些思路，為教師的教、學生的學以及新高考評價方式等提供一些建議.

1 課程標準

在我國，數(shù)學建模普遍存在于大學，而中學數(shù)學課程中建模的內容相對較少.2001年頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》中指出：“在教學中，應注重讓學生在實際背景中理解基本的數(shù)量關系和變化規(guī)律，注重使學生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程.”[1]強調數(shù)學的應用價值，數(shù)學建模開始進入中學數(shù)學課程.而模型思想更是2012年頒布的《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》新增的核心概念之一，指出“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義”[2]而我國《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》要求把數(shù)學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之間，并在高中階段至少安排較為完整的一次數(shù)學建?；顒樱瑪?shù)學建模的過程如圖1所示.[3]但課程標準未對數(shù)學建模的課時和內容做具體安排.

圖1 (中國)數(shù)學建模過程

自1990年開始，新加坡數(shù)學課程框架就以問題解決為核心目標.[4]2003年，新加坡將應用與建模引入數(shù)學課程框架，并于2006年頒布的教學大綱文件中在原“過程”中的“思維技能和策略” 的基礎上，增添“推理、交流和聯(lián)系”以及“應用與建模”，自此，教師開始制定關于數(shù)學建模的教學計劃.[5]當然，2012年新數(shù)學課程框架中也包含了數(shù)學建模，并且將數(shù)學應用與建模的順序由原先的第三位變?yōu)榈诙?圖2是2012年新加坡數(shù)學課程框架.新加坡數(shù)學教學大綱指出：“應用與建模使得學生將他們所學的數(shù)學知識與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來，促進對關鍵數(shù)學概念和方法的理解、掌握數(shù)學能力.學生應該有機會運用數(shù)學問題解決和推理能力解決問題，包括開放性問題和現(xiàn)實問題.數(shù)學建模是建立和改善數(shù)學模型來表征和解決現(xiàn)實問題的過程.通過數(shù)學建模，學生學會處理不確定性問題、建立聯(lián)系、選擇和運用合適的數(shù)學概念和技能、作出假設及對現(xiàn)實問題的解答進行反思，并且基于給定的或收集的數(shù)據(jù)做出決定.”[6]數(shù)學建模過程(2010版)如圖3.新加坡的數(shù)學教學大綱將“應用與建?！?MP2)按照小學、O/N(A)水平、N(T)水平以及O/N(A)水平附加數(shù)學分別提出了相應的要求.

圖2 新加坡數(shù)學課程框架

圖3 新加坡數(shù)學建模過程(2010版)

從上面的介紹可以看出，兩國都很強調數(shù)學應用與建模在數(shù)學課程中的重要性，關注數(shù)學的應用價值，這反映了國際數(shù)學課程改革的趨勢.相比較于新加坡，數(shù)學應用與建模在我國起步要稍早一些，但由于新加坡很早就開始實行以問題解決為核心的數(shù)學課程，所以在數(shù)學應用方面，新加坡的實踐和經(jīng)驗比較豐富.

2 具體做法和措施

2.1 課程設置

在我國，中學階段一般沒有設置專門的數(shù)學建模課程，而是將數(shù)學建模作為一種思想和手段，融入到各塊數(shù)學知識中，學生并沒有經(jīng)歷完整的數(shù)學建模過程，也不知道自己經(jīng)歷過數(shù)學建模.中學的數(shù)學建?；顒雍苌僭诔Ｒ?guī)的數(shù)學課堂中進行(大都在部分環(huán)節(jié)切入應用與建模)，比較常見的是以興趣小組、校本課程、選修課及課外活動等方式進行，然而，以興趣小組的形式開展數(shù)學建模的話，由于選擇面比較廣，很少有學生會選擇數(shù)學方面的，從而導致實施狀況不佳.

自2006年將數(shù)學應用與建模列入數(shù)學課程框架，新加坡也沒有將數(shù)學建模引入常規(guī)的數(shù)學課堂，其關鍵原因是數(shù)學教師對數(shù)學建模任務的準備不夠充分，不僅缺少建?；顒拥慕?jīng)驗，也沒有建模教學方面的經(jīng)驗.雖然新加坡沒有數(shù)學建模的專門課程，但是有跨學科的項目作業(yè)(Interdisciplinary Project Work，簡稱PW).PW是新加坡的一個特色課程，也是一個全年性質的教育項目，學生一般組成4-5人的研究小組，自己選擇所要研究的課題，然后學校會指派相應的指導教師負責指導.[7]PW于1999年納入新加坡課程，目的是為了通過強調各科目內部以及之間的相互聯(lián)系來增強整體的學習，并且表明校本學習和現(xiàn)實世界的問題解決之間存在相關性.到目前為止，新加坡的中、小學以多種方式實施PW，例如，作為一種代替紙-筆測試的模式以及表現(xiàn)性評價任務.PW處理的是現(xiàn)實世界的問題，涉及數(shù)學學科的PW是一項應用任務.[8]

我國和新加坡都沒有專門的數(shù)學建模課程，這當然有多方面的考慮，建模是一項比較復雜、耗時的活動，在常規(guī)的數(shù)學課堂教學中開展數(shù)學建?；顒泳哂须y度.但是我國關于數(shù)學建模的實施方式比較單一且情況不好，甚至很多學校沒有這方面的實踐，而新加坡的PW是列入課程中的，不僅是用數(shù)學解決現(xiàn)實問題，而且強調學科間的聯(lián)系.

2.2 教材處理

義務教育階段的教材設置了“綜合與實踐”欄目，貼近生活實際，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、將實際問題數(shù)學化、設計解決方案及呈現(xiàn)結果等過程，能夠逐步積累運用數(shù)學解決問題的經(jīng)驗.教材中有很多與實際相關的問題，需要教師發(fā)現(xiàn)并加以運用于數(shù)學建模的教學.而高中階段的數(shù)學教材也有與數(shù)學應用與建模相關的背景材料.國內也有一些建模材料，如：袁震東《高中數(shù)學建模(試驗本)》，袁震東、趙小平、吳長江編的《新專題教程 高中數(shù)學7 數(shù)學建?！返?[9]

新加坡中小學數(shù)學教材也沒有給出數(shù)學建模的定義以及出現(xiàn)明確的數(shù)學建模任務，但教科書中經(jīng)常出現(xiàn)一些非常規(guī)問題，這些問題可以視為應用問題.[10]由于中學階段學生學習的知識的增加，這些非常規(guī)問題也越來越復雜，甚至會有復雜的建模問題，如股票價格預測、氯化游泳池等.[11]除了教材，新加坡還為教師準備了包含數(shù)學建模活動材料的小冊子.[12]

兩國的教材都包含非常規(guī)問題，可以用作應用與建模的素材，但都未標明是建模和應用的問題，需要數(shù)學教師自行對學生解釋.

2.3 教學策略

目前國內對于數(shù)學應用與建模的教學策略的研究大都停留在表面，比如怎么開展數(shù)學建?；顒?，對于教學方法的研究大多是從大的方向上給出一些建議(以研究性學習方式開展、打破傳統(tǒng)的教學方法等，較理想的是師生共同討論、小組討論以及學生匯報教師點評)，但是否得到實施還不清楚，而在實踐過程中形成的經(jīng)驗基本上是針對具體數(shù)學模型而言的，幾乎沒有形成幾種能夠普遍適用、得到大家認可的.

而新加坡在這方面就形成了幾種得到普遍認可的教學策略，例如模型圖法、PBL教學法以及框架法等.模型圖法是新加坡針對數(shù)學課程中的問題解決提出的，自上個世紀80年代提出以來，成為中小學數(shù)學教學的一個特征，模型圖法要求學生畫出圖片模型表征題目中的數(shù)量以及數(shù)量之間的關系，有助于學生理解題意.[13]PBL教學法指的是基于問題的學習(Problem-Based Learning，簡稱PBL)，在建模教學中可以采用并修改PBL的教學方法，以問題為導向.[14]新加坡的研究者提出了多種用于中學數(shù)學課堂實施數(shù)學建模的框架，并基于所給的框架給出具體的建模的實例，以供數(shù)學教師學習以及加以利用，例如分析解釋圖表的五步框架法[10]、Ang提出的框架[15]以及Stillman等開發(fā)的框架[16]等.

2.4 學科綜合

在學科綜合方面，我國沒有新加坡重視.我國的數(shù)學課程比較強調數(shù)學內部知識間的聯(lián)系，當然也有數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，但是關于數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系強調的不夠，這反映在多方面，例如課標、教材及數(shù)學課堂教學等.而新加坡比較重視學生在學校學習的各個科目之間的聯(lián)系，這點可以從新加坡的PW課程看出，現(xiàn)實世界中的問題需要用到的知識不可能僅是數(shù)學方面的，PW強調的就是這種跨學科知識的應用.

2.5 信息技術

這方面我國并沒有新加坡重視，新加坡2012年數(shù)學教學大綱鼓勵在數(shù)學課堂中使用ICT，即信息通信技術(Information and Communication Technology，簡稱ICT)，在建模中更是注重ICT的運用，這點可以從圖3的數(shù)學建模過程看出.數(shù)學建模涉及的背景很復雜，運用ICT對于數(shù)學建模有多方面的好處，例如表征現(xiàn)實情境、收集和分析數(shù)據(jù)、表征數(shù)學模型以及計算.[10]ICT也是21世紀需要具備的一項能力.新加坡的ICT主要有計算器、計算機軟件和互聯(lián)網(wǎng)等，ICT是數(shù)學建模活動的重要工具.

3 評價方式

數(shù)學建模問題本身具有開放性，對數(shù)學建模的評價并不是簡單的對與錯的問題，需要考慮的因素是多方面的.我國的數(shù)學課標對數(shù)學建模教學的評價方式并未做明確規(guī)定，而是以建議的方式提出評價中應該關注學生“能否選擇有效的方法和手段收集信息、聯(lián)系相關知識、提出解決問題的思路，建立恰當?shù)臄?shù)學模型，進而嘗試解決問題”，“要重視學生做數(shù)學的過程，充分發(fā)揮數(shù)學作業(yè)在學生評價中的作用.作業(yè)的類型應多樣化，例如常規(guī)作業(yè)，開放性、探索性數(shù)學問題，數(shù)學實驗，數(shù)學建模，課題研究作業(yè)，專題總結報告等”.[3]目前，我國的數(shù)學考試(包括中考以及高考)與數(shù)學建模對學生能力要求的側重點不同，[9]將數(shù)學建模引入正規(guī)的考試中還存在困難.雖然數(shù)學試卷中有應用題，但是應用題與數(shù)學建模問題是不能等同的，數(shù)學建模問題涉及到的背景、數(shù)據(jù)等遠比應用題復雜，應用題是對實際生活中的問題的高度抽象.國內有部分地區(qū)組織了數(shù)學應用與建模方面的競賽，例如上海市和北京市分別從1991年和1994年開始組織“金橋杯”和“方正杯”中學生數(shù)學知識應用競賽，1997年開始舉辦的“北京市高中數(shù)學知識應用競賽”吸引了全國的學生參與.[17]

2013年新加坡國家考試大綱在目標中指出：使學生能夠“發(fā)展數(shù)學思維能力，用公式表示情境的能力，問題解決的基本技能，以及綜合運用數(shù)學知識與技能解決相關實際問題的能力”.[18]常規(guī)的考試并不適合評價開放性的建模問題，數(shù)學應用與建模是否會成為新加坡學校的測試要求之一還是一個未知的問題，但毫無疑問，數(shù)學應用與建模在學校數(shù)學課堂教學中越來越受到重視.[5]雖然數(shù)學應用與建模還未成為考試的要求，但是前面提到的PW是每個高一學生需完成的課程，于2005年已經(jīng)成為新加坡大學入學的要求.[8]教師在PW課程中的角色除了監(jiān)控和指導整個過程外，還需在每個PW完成時對其進行系統(tǒng)和仔細的評估，為此，教育部門制定了一系列具體的評價標準(如表1).[7]從某種程度上說，這可以看成是對數(shù)學應用的一種評價方式.

表1 新加坡“項目作業(yè)”評價標準

鑒于數(shù)學應用與建模的開放性，在正規(guī)的考試中很難對其進行評價，我國和新加坡都未將其納入標準考試的評價標準.

4 數(shù)學教師培訓

在數(shù)學應用與建模的教學中，教師的作用是毋庸置疑的，隨著應用與建模進入數(shù)學課程，教師需要從觀念上重視應用與建模，其次也需要有數(shù)學建模的經(jīng)驗以及數(shù)學建模教學的經(jīng)驗，所以教師要接受數(shù)學應用與建模專題培訓.我國的教師培訓比較多的是所有科目的教師在一起進行，以講座或網(wǎng)上培訓的形式展開，單獨以數(shù)學科目為主開展的培訓比較少，以數(shù)學應用與建模為主題開展的就更少了，幾乎沒有，即使是開展了這方面的培訓，其主要方式也是進行一些理論方面的培訓，例如數(shù)學建模的含義、數(shù)學建模的步驟等，以實踐的方式開展培訓比較少.

而新加坡有以數(shù)學應用與建模為主題的教師培訓.新加坡數(shù)學應用與建模方面的研究中有很多是關于數(shù)學教師的，包括在職教師以及職前教師，由此可以看出新加坡對于數(shù)學應用與建模的教學中教師角色的重視.在新加坡的教育系統(tǒng)中，所有接受培訓的教師(那些被認為已經(jīng)成功完成了必須的職前教育的)每年需要接受100小時的職業(yè)發(fā)展培訓，職業(yè)發(fā)展課程包括一個專題討論會、一整天的會議(或研討會)以及長期的認證課程，然而截至2009年底，還沒有專門致力于數(shù)學建模課堂教學的專業(yè)發(fā)展課程.為了幫助中小學數(shù)學教師實施數(shù)學應用與建模教學，新加坡數(shù)學教育協(xié)會、新加坡教育學會數(shù)學與數(shù)學教育學術小組(唯一提供職前教師教育的機構和在職教師教育的主要提供者)于2009年聯(lián)合舉辦了以“數(shù)學應用與建?！睘橹黝}的2009數(shù)學教師研討會(Mathematics Teachers Conference，簡稱MTC)，并將成果匯編成《數(shù)學應用與建?！?2010年鑒).[11]2010年6月，新加坡教育學會數(shù)學與數(shù)學教育學術小組連續(xù)組織了兩個活動，即數(shù)學建模宣傳(Mathematical Modelling Outreach，簡稱MMO)和第二屆Lee Peng Yee研討會，這兩個活動的主題都圍繞數(shù)學建模，除了為參與的學生和教師組織座談會，也有學生動手完成一個數(shù)學建?；顒拥沫h(huán)節(jié)，以及為了教師更好地實施數(shù)學建模而開展的動手實踐的作坊，這些作坊解決有關數(shù)學建模概念、為數(shù)學建模而提出問題、數(shù)學建模任務設計以及促進數(shù)學建模教學的問題.[19]從新加坡教育學會數(shù)學與數(shù)學教育學術小組官方網(wǎng)站上的信息來看，目前新加坡已經(jīng)有專門以數(shù)學建模為主題的在職教師培訓了，同時還有相關的會議、講座、學術報告會以及研究項目等，形式豐富，為數(shù)學應用與建模的教學提供了各種培訓以及理論上的指導.

5 小結與啟示

總之，從上面的分析可以看出我國在課標、課程設置方面的情況和新加坡類似，但是在教材、教學策略、學科綜合、信息技術、評價方式以及教師培訓方面較新加坡還有些差距.

數(shù)學建模在我國雖然已經(jīng)起步，但是在開展形式、與常規(guī)課堂的整合、評價方式以及教師培訓等方面還有待探索和改善.雖然新加坡的數(shù)學建模起步較晚，也存在一些問題，例如數(shù)學建模未能與常規(guī)課堂很好地整合以及缺少數(shù)學應用與建模專題教師培訓等.但從2015PISA測試的結果可以看出，新加坡在這方面的很多實踐還是值得借鑒的.

在教材方面，應該為教師專門準備包含數(shù)學應用與建模的材料，提供一些案例；在教學策略上，可以借鑒新加坡的模型圖法、PBL教學法以及框架法等并加以改善，以符合我國中學教師及學生的實際情況；重視學科綜合，強調數(shù)學與其它學科之間的聯(lián)系；提倡數(shù)學應用與建模教學中信息技術的使用，培養(yǎng)學生這方面的能力是21世紀的需求；由于數(shù)學應用與建模任務的開放性，對其評價不是簡單的對與錯的問題，故而將其納入正規(guī)的數(shù)學考試中存在困難，可以學習新加坡的方式將數(shù)學應用與建模列入學校入學的要求，但具體怎么實行還有待探索；大力開展以數(shù)學應用與建模為主題的教師培訓，不僅要將其含義、教學方式、實施過程等介紹給教師，轉變數(shù)學教師的教學觀念，還要進行案例的分析，可以適當?shù)亻_展教學實踐，根據(jù)實際情況指導數(shù)學教師，中學可以就近與大學建立合作關系，由大學中的中學數(shù)學建模方面的專家開展培訓.