2017年6月號(hào)問題解答

(解答由問題提供人給出)

2366如圖，G為△ABC的重心，D,E,F分別為邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD,BE,CF交△ABC的外接圓于點(diǎn)L,M,N，求證:S△LMN≥S△ABC.

(山東省泰安市寧陽縣第一中學(xué) 劉才華271400)

證明設(shè)BC=a,CA=b,AB=c，

由相交弦定理得LD·AD=BD·CD，

由G為△ABC的重心得

AG=2GD,AD=3GD，

則

由三角形中線公式得

4AD2=2b2+2c2-a2，

4CF2=2a2+2b2-c2，

S△GMN

所以S△LMN

又(2a2+2b2-c2)(2b2+2c2-a2)(2c2+2a2-b2)

=(a2+b2+c2)3，

故S△LMN≥S△ABC.

2367設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且abc=1，求證：

(安徽省岳西中學(xué) 儲(chǔ)百六 246600)

證明先令a=x3,b=y3,c=z3，則原不等式轉(zhuǎn)化為：x,y,z為正實(shí)數(shù)，且xyz=1，求證：

由(y4-z4)(y-z)≥0，

得y5+z5≥y4z+yz4=yz(y3+z3),

同理

所以

最后一步是由于

相加整理可得x8+y8+z8≥x5+y5+z5.

2368如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、F、D分別在AC、AB、BC上且DE∥AB、DF∥AC，EN⊥AB、FL⊥AC，N、L分別為垂足，EN與FL交于H，

求證：AN2+AL2+BC2=BN2+CL2.

(江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 335000，溫州私立第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉沙西 325000)

證明顯然E、D、F、H四點(diǎn)共圓，并設(shè)此圓與△ABC三邊AB、BC、AC的交點(diǎn)分別為R、T、S，連接FS、SD、ER、ST、RT，如圖，

因?yàn)椤螦RE=∠FDE=∠EAR?AN=NR，

同理AL=LS，

所以

AN2+AL2+BC2=BN2+CL2

?BC2=AB(BN-AN)+AC(CL-AL)

?BC2=AB·BR+AC·CS，

又因?yàn)镋F=SD，

所以∠STD=∠EDF=∠BAS，

所以△CST∽△CBA.

同理△RBT∽△CBA，

因此AB·BR=BC·BT；

AC·CS=BC·CT

?BC2=AB·BR+AC·CS，

故原式成立.

2369設(shè)點(diǎn)I,H分別為銳角△ABC的內(nèi)心和垂心,則有

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

證明文中∑,∏分別表示三元循環(huán)和、循環(huán)積.

設(shè)R,r分別為銳角△ABC的外接圓半徑及內(nèi)切圓半徑,

由兩個(gè)熟知的三角公式

可推得

又在銳角三角形△ABC中,

設(shè)BH交AC于點(diǎn)E,則由相似比,易得

那么

那么由三元均值定理,連續(xù)放縮可得

以上證明過程中用到了以下兩個(gè)熟知的公式

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1.

2370如圖所示，從海岸上的P地瞭望某海島周邊的4座海洋科研觀察站A，B，C，D，發(fā)現(xiàn)P，A，B與P，C，D分別處在同一視線上，又測(cè)得P地到海島中心O地的距離為d千米，各觀察站到O地的距離均為r千米. 從P地到O地已建成直線通達(dá)的物流干線，現(xiàn)擬在海島內(nèi)的既有干線上設(shè)立中轉(zhuǎn)站M，新建4條由M分別直線通達(dá)各觀察站的物流支線，試確定中轉(zhuǎn)站的選址，使得新建支線的總長(zhǎng)度最短.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

解如圖，由題意知，直線PA交圓O于點(diǎn)A，B，直線PC交圓O于點(diǎn)C，D，圓O的半徑為r，OP=d.

設(shè)線段OP與圓O的交點(diǎn)為N，

自點(diǎn)P引圓O的切線PQ，切點(diǎn)為Q，

則PQ⊥OQ.

在Rt△OPQ中，作QM⊥OP于點(diǎn)M.

因OM

故知點(diǎn)M位于O，N兩點(diǎn)之間.

下面證明點(diǎn)M即為滿足既定條件的中轉(zhuǎn)站的選址(這里假定點(diǎn)M位于海島內(nèi)).

連接并延長(zhǎng)BM交圓O于點(diǎn)A′.

在△BPO和△MBO中，

因OB2=r2=OM·OP,

故△BPO∽△MBO，∠BPO=∠MBO.

在△BPM和△OA′M中，

因∠MPB=∠BPO=∠MBO=∠MA′O,

又∠PMB=∠A′MO，

故∠PBM=∠A′OM，即∠A′BA=∠A′ON.

即ON平分∠A′OA，

因此A，A′兩點(diǎn)關(guān)于ON對(duì)稱.

從而可知，M為線段ON上使得MA+MB最小的點(diǎn). 同理可得，M同時(shí)為線段ON上使得MC+MD最小的點(diǎn). 這就是說，M為線段ON上到A，B，C，D四點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).

2017年7月號(hào)問題

(來稿請(qǐng)注明出處——編者)

2371已知實(shí)數(shù)a,b,c都不等于1，且滿足abc=1,求證：

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

2372已知：如圖，AB、AC1、AC2、AE為逆時(shí)針排列的四條弦，且AB為⊙O的直徑，∠BAC1=∠EAC2.求證：

2AC1·AC2≤AB2+AB·AE.

(北京市朝陽區(qū)芳草地國(guó)際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2373在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，面積為△，求證：

(a+b-c)2+(b+c-a)2+(c+a-b)2

(浙江省開化縣第二中學(xué) 曹嘉興 324300)

2374如圖，△ABC的內(nèi)切圓I分別切AB、AC、BC于點(diǎn)D、E、G,BC邊上的高交DE于點(diǎn)H，若H為△ABC的垂心，求證：AH等于內(nèi)切圓半徑r.

(陜西省興平市教研室 呂建恒 713100)

2375在△ABC中，a,b,c；ta,tb,tc；分別表示三邊長(zhǎng)，內(nèi)角平分線長(zhǎng)，則有

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)