伍春蘭

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)

2016年底，筆者以“直線方程、傾斜角與斜率”為題，在某地著名中學(xué)給高一學(xué)生上了一節(jié)課. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)良好，成績優(yōu)秀.

直線方程的概念本質(zhì)上是刻畫直線與方程的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這是解析幾何可以用方程(代數(shù))研究直線(幾何)的基礎(chǔ). 雖然直線方程的概念有些抽象，但思考問題的角度和方法都是數(shù)學(xué)味道的體現(xiàn). 直線的傾斜角與斜率概念、公式，作為事實(shí)性知識(shí)不難理解，如果就事論事直接給出，省時(shí)省力，但學(xué)生錯(cuò)失了一次思維體操的機(jī)會(huì). 把學(xué)生思維參與作為一個(gè)重要指標(biāo)，并且從解析幾何入門課的身份考量，筆者就直線方程的概念、傾斜角概念、斜率定義及斜率公式四大教學(xué)要點(diǎn)反思.

1 直線方程的概念的了解

直線方程的概念有正反兩方面含義：方程的直線(直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解)和直線的方程(方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是直線上的點(diǎn)). 概念的表述從字面上看似繞口令，如果照本宣科只講其表，學(xué)生易被繞進(jìn)去不知所云. 在多次教師資格考試中，筆者發(fā)現(xiàn)直線方程的概念不少考生把自己都講糊涂了. 為規(guī)避難點(diǎn)，有的教科書不提直線方程的概念，轉(zhuǎn)而默認(rèn)直線與方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 將直線與其方程視為一體不去深究的好處是，減輕了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷. 但筆者主張有必要讓中等水平及以上的學(xué)生思考直線與其方程的關(guān)系，理由有二：

第一，解析幾何研究直線，就是借助坐標(biāo)把直線(幾何)問題轉(zhuǎn)化為方程(代數(shù))問題，通過方程(代數(shù))運(yùn)算研究直線(幾何)的性質(zhì). 問題是直線轉(zhuǎn)化為方程是否“充分必要”，而“充分必要”是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)的基本思維習(xí)慣，特別是高中.

第二，直線是解析幾何研究的最簡單的曲線，也是第一個(gè)研究的曲線，直線和方程的形與數(shù)的關(guān)系學(xué)生是有基礎(chǔ)的，因?yàn)樗麄冊(cè)诔踔袑W(xué)過一次函數(shù)，并畫過具體的一次函數(shù)圖象. 基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，是可以讓他們接受的，人民教育出版社的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)B版教科書，就涉及了直線方程的概念[1].

1.1 直線方程的概念片段回放

先出示x-y-1=0，然后分步提問：(1)這個(gè)等式叫什么？(2)這個(gè)方程的解是什么？請(qǐng)舉出兩組解，并說明為什么是方程的解；(3)這兩組解在幾何上表示什么？(4)方程x-y-1=0所有的解在幾何上表示什么(幾何意義)？(5)反過來這條直線上任意一點(diǎn)滿足方程x-y-1=0嗎？

前4個(gè)問題，學(xué)生輕松破解. 問題(3)學(xué)生回答“點(diǎn)”時(shí)，筆者強(qiáng)調(diào)建立xOy直角坐標(biāo)以后，有序數(shù)對(duì)(坐標(biāo))與平面上的“點(diǎn)”就建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 問題(4)學(xué)生回答“直線”時(shí)，追問“為什么”，學(xué)生能利用一次函數(shù)y=x-1說明. 問題(5)筆者借助GeoGebra平臺(tái)，讓學(xué)生觀察直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)滿足方程x-y-1=0，由此指出(直線的)方程x-y-1=0與(方程x-y-1=0的)直線的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

接下來分別出示y-1=0、x-1=0，還是分步思考相應(yīng)的問題(1)到問題(5). 在此基礎(chǔ)上，歸納出直線方程的概念.

本環(huán)節(jié)最后，就解析幾何創(chuàng)始人笛卡兒和費(fèi)馬，及解析幾何基本研究方法做了簡單介紹. 笛卡兒創(chuàng)建的坐標(biāo)系是為了解決幾何問題化歸成方程問題的結(jié)晶，而問題的提出源自笛卡兒解決所有問題的一個(gè)理論假說：任何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，繼而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最終化歸為方程的求解，這充分展現(xiàn)了“我思故我在”的笛卡兒兼具理性精神和創(chuàng)新品格.

1.2 直線方程的概念片段反思

本環(huán)節(jié)從一個(gè)具體的二元一次方程x-y-1=0出發(fā)，通過列舉方程的解和平面上點(diǎn)的關(guān)系，繼而將方程x-y-1=0變形為y=x-1，利用學(xué)生已有的一次函數(shù)y=x-1與直線的關(guān)系，得到方程x-y-1=0解的幾何直觀——直線. 然后利用信息技術(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程，完成方程x-y-1=0與直線一一對(duì)應(yīng)的認(rèn)識(shí). 同時(shí)通過方程y-1=0、x-1=0，學(xué)生覺察到有些直線的代數(shù)表示未必能轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)(y=kx+b，k≠0)，意識(shí)到直線方程概念的合理性. 至于直線方程(Ax+By+C=0，A、B不能同時(shí)為零)的抽象，留待學(xué)完“直線的方程”一節(jié)再讓學(xué)生思考.

此設(shè)計(jì)特色有三. 第一，由學(xué)生熟悉的二元一次方程出發(fā)，從解的幾何意義、與一次函數(shù)的關(guān)系等不同以往的思考角度，激發(fā)了學(xué)生的好奇心；第二，作為解析幾何的首節(jié)課，舍得筆墨在直線方程的概念和數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容上，將數(shù)學(xué)文化的理性和創(chuàng)新精神融入其中，并契合“了解”這一定位，為后面學(xué)習(xí)圓錐曲線方程的概念打下良好基礎(chǔ)；第三，學(xué)生借助笛卡爾坐標(biāo)這個(gè)橋梁，在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，對(duì)“數(shù)”與“形”的聯(lián)系有了進(jìn)一步地認(rèn)識(shí).

2 直線的傾斜角的引入

角的定義有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種，不同教材采用的傾斜角定義也有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)之別，但筆者認(rèn)為作為直線傾斜程度的刻畫，簡單合理為上，所以傾斜角使用靜態(tài)定義更好.

2.1 直線的傾斜角片段回放

圖1

出示圖1提問：過(1,0)點(diǎn)的這些直線的差異是什么？學(xué)生回答：傾斜程度不同. 于是追問：傾斜程度相對(duì)誰？用什么量刻畫傾斜程度？學(xué)生回答：x軸；角.

圖2

圖3

圖4

接下來出示圖2至圖4，分步提出系列問題：選擇圖中∠1—∠4的哪個(gè)角刻畫傾斜程度？如何給選定的角命名？如何用文字語言描述你所選定的角？特殊的直線(不與x軸相交)傾斜程度的角如何規(guī)定？刻畫直線傾斜程度的角的范圍如何規(guī)定？得出上述問題的答案你的理由是什么？

在學(xué)生獨(dú)立思考基礎(chǔ)上，小組交流，最后展示傾斜角的概念.

2.2 直線的傾斜角片段反思

出示圖1用意有兩點(diǎn)，一是發(fā)現(xiàn)過一點(diǎn)不能確定一條直線，二是相對(duì)某軸(線)的傾斜程度不同(習(xí)慣以x軸為基準(zhǔn)).描述傾斜程度，除了“角”，還有“斜率”，學(xué)生不預(yù)習(xí)是不知道“斜率”的，也很難想到用比值表示. 可能會(huì)想到k(y=kx+b)，因?yàn)閷W(xué)生在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，前面環(huán)節(jié)又借用了一次函數(shù)y=x-1與直線的關(guān)系. 但現(xiàn)場學(xué)生沒有提出k，只指出了“角”，這樣給“角”下定義的必要性就顯現(xiàn)了：刻畫直線的傾斜程度. 需要指出的是有的教材將直線斜率的概念先于直線的傾斜角，筆者不贊成這樣的安排. 因?yàn)楸硎緝A斜程度，對(duì)學(xué)生而言“角”比“斜率”更自然更直觀，學(xué)生在課堂面對(duì)問題“用什么量刻畫傾斜程度”，只有“角”的答案可以支持筆者的觀點(diǎn).

上述設(shè)計(jì)的系列問題，來源于傾斜角定義中所有規(guī)定的內(nèi)容，需要學(xué)生決策(選擇)，具有一定的挑戰(zhàn)性，又在其能力范圍內(nèi)，使他們積極投入到學(xué)習(xí)中，不僅經(jīng)歷了傾斜角“誕生”的全過程，也對(duì)定義的合理性有了較深認(rèn)識(shí)，思維得到相應(yīng)鍛煉. 其中“用文字語言描述你所選定的角”，課堂上學(xué)生表達(dá)得不順暢，因?yàn)橛镁珳?zhǔn)的文字語言描述概念對(duì)學(xué)生而言是難點(diǎn).但這種磕磕絆絆的經(jīng)歷，才能使學(xué)生真正體會(huì)教科書上的定義之妙，讓學(xué)生重視并較深入地理解概念，發(fā)現(xiàn)自己的不足(特別是學(xué)優(yōu)生)促其成長.

其實(shí)還可以更開放，比如不出示圖2至圖4，先讓學(xué)生思考直線與x軸的位置關(guān)系，自己畫圖再分別琢磨上述問題. 筆者考慮到與學(xué)生初次見面，還有很多同仁聽課，以及時(shí)間緊等原因，所以沒有采用后者的設(shè)計(jì).

3 直線的斜率定義的構(gòu)建

有的教材不用傾斜角的正切值界定斜率，益處是可以規(guī)避沒有學(xué)習(xí)三角函數(shù)的尷尬. 但筆者主張還是用“直線的傾斜角α的正切值”定義直線的斜率k為好，理由是k=tanα(α≠90°)搭建了刻畫直線傾斜程度的形(傾斜角)和數(shù)(斜率)之間的關(guān)系，使斜率有了幾何直觀. 由于傾斜角的范圍：0°≤α<180°，而學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，所以如果學(xué)生沒有學(xué)習(xí)三角函數(shù)(必修4的內(nèi)容)，在需要時(shí)給出傾斜角為鈍角時(shí)相應(yīng)正切的公式即可.

不少教師仿某教材，類比“坡度”引出“斜率”概念，筆者認(rèn)為值得商榷. “坡度”是學(xué)生學(xué)習(xí)“解直角三角形”(9年級(jí)下冊(cè))一章時(shí)，解決相關(guān)實(shí)際背景的習(xí)題時(shí)涉及的一個(gè)概念，教材直接給出. 筆者曾就“坡度”問題，隨機(jī)尋問幾位初中數(shù)學(xué)教師，他們都表示只是簡單介紹一下概念，不會(huì)讓學(xué)生做更多地思考. 例如，為什么斜面的“坡度”用坡面的“鉛直高度”與“水平寬度”的比[2]-[3]，而不用“鉛直高度”與“斜面長度”的比表示(見圖5)，這樣的問題教師不會(huì)有時(shí)間(面臨中考)讓學(xué)生探究的. “坡度”概念學(xué)生充其量只知其“表”不知其“本”，因此將“坡度”遷移到新概念(“斜率”)，無助“斜率”的理解. 另外，“坡度”解釋“斜率”定義的合理性也只局限在傾斜角為銳角的情形. 建議引入“斜率”概念后，再回顧“坡度”，說明“坡度”定義的合理性.

圖5

3.1 直線的斜率定義片段回放

(1)請(qǐng)畫過(1,0)、(2,1)兩點(diǎn)的直線，并求其方程及傾斜角.

(2)請(qǐng)畫過點(diǎn)(2,1)、傾斜角α為60°的直線，并求其方程. 思考：60°傾斜角在求直線方程過程和結(jié)果中是如何體現(xiàn)的？結(jié)合題(1)，你有什么猜想？

(3) 分別求直線方程y=kx+b的k：過A(2,1)，傾斜角為α(0°<α<90°、90°<α<180°).

(4)當(dāng)直線傾斜角α=0°、90°，(3)的結(jié)論是否成立？

學(xué)生得到k=tanα(α≠90°)并命名，然后教師解讀斜率的含義并出示斜率定義.

3.2 直線的斜率定義片段反思

因?yàn)閷W(xué)生還沒有學(xué)習(xí)怎樣求直線的方程，此時(shí)他們只能借用初中的一次函數(shù)y=kx+b，通過待定系數(shù)求解.

題(1)不僅讓學(xué)生體驗(yàn)了兩點(diǎn)確定一直線外，還復(fù)習(xí)了待定系數(shù)求直線方程的方法，同時(shí)傾斜角的求解為后面的猜想做了鋪墊. 題(2)需要將問題化歸為題(1)，即將傾斜角α為60°的條件，借助直角三角形通過正切找到另一個(gè)點(diǎn). 觀察題(1)、(2)求得的方程，學(xué)生易猜想k=tanα. 這一發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生有些興奮，一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中k竟然與傾斜角α有瓜葛，點(diǎn)燃了學(xué)生進(jìn)一步探究真?zhèn)蔚挠? 題(3)將傾斜角α一般化，分類求k，其解決問題的方法與題(2)相同. 題(4)考慮特殊的傾斜角α=0°、90°的情形.

通過題(2)、(3)的求解，學(xué)生體會(huì)到一點(diǎn)、一傾斜角α能確定一直線，但是還要將傾斜角α轉(zhuǎn)換成其正切值，而由題(3)、(4)，表明k=tanα(α≠90°)，此時(shí)為tanα下定義的必要性和合理性呼之欲出.

題(3)當(dāng)傾斜角為90°<α<180°時(shí)，由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)三角函數(shù)，所以給出誘導(dǎo)公式：tan(180°-α)=-tanα. 另外，題(3)、(4)傾斜角α的分類，完全可以交給學(xué)生思考. 與上一環(huán)節(jié)的顧慮一樣，筆者沒有采用后者的設(shè)計(jì).

本設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是“做中思”，且題目之間環(huán)環(huán)相扣一舉數(shù)得，特別是為引出斜率公式(兩點(diǎn)式) 找到生長點(diǎn).

4 直線的斜率公式的設(shè)計(jì)

(1)提問1：傾斜角和斜率都是描述直線傾斜程度，它們的差異和聯(lián)系是什么？

預(yù)設(shè)：差異是傾斜角是“形”，斜率是“數(shù)”；聯(lián)系是k=tanα(α≠90°).

意圖：明確傾斜角和斜率的差異和聯(lián)系.

(2)提問2：不借助傾斜角，已知什么條件可以求斜率？理由是什么？

預(yù)設(shè)：已知兩點(diǎn)；理由是：3.1環(huán)節(jié)題(1)的啟示；兩點(diǎn)定直線.

意圖：讓學(xué)生參與到問題的提出過程.

(3)提問3：已知兩點(diǎn)求斜率如何用符號(hào)語言表述問題？

指導(dǎo)(有需要時(shí))：在直角坐標(biāo)下，已知兩點(diǎn)就是知道兩點(diǎn)坐標(biāo).

預(yù)設(shè)：已知兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，求直線P1P2的斜率.

意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程.

(4)提問4：上述問題先不考慮特殊情況(x1=x2或y1=y2)，如何畫出圖形？需要分類嗎？

指導(dǎo)：畫圖不必考慮點(diǎn)所在坐標(biāo)的位置，只需考慮兩點(diǎn)的相對(duì)位置及傾斜角的大小(分類).

預(yù)設(shè)：根據(jù)兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的相對(duì)位置及傾斜角的大小(銳角、鈍角)，分為4類，見圖6-圖9.

意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷將較復(fù)雜數(shù)學(xué)問題，通過分類，數(shù)形結(jié)合地解決問題的過程.

圖6

圖7

圖8

圖9

(5)提問5：請(qǐng)分別計(jì)算圖6-圖9中P1P2的斜率.

意圖：學(xué)生能得到兩點(diǎn)斜率公式，發(fā)現(xiàn)公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān).

(6)提問6：請(qǐng)考慮特殊情況(x1=x2或y1=y2)，斜率兩點(diǎn)公式是否存在，并總結(jié)傾斜角、斜率、直線的關(guān)系.

預(yù)設(shè)：見表1

表1

意圖：在教師指導(dǎo)下,學(xué)生梳理傾斜角、斜率與直線的關(guān)系.

遺憾的是一節(jié)課(40分鐘)時(shí)間馬上到了，此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的活動(dòng)匆匆掠過，學(xué)生沒能充分參與.

5 結(jié)論

“直線方程、傾斜角與斜率”上述設(shè)計(jì)由兩部分組成. 第一部分有一個(gè)概念(直線方程)、一段歷史簡介；第二部分有兩個(gè)概念(傾斜角α；斜率k)、一個(gè)公式(斜率公式).

第一部分中的直線方程概念的教學(xué)意義，除了放心地將直線與其方程混為一談，重要性在于讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)講“理”，重視嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)推演過程既要考慮充分條件，也要思量必要條件.

第二部分是教學(xué)重點(diǎn)，概念引入的必要性、界定的合理性；兩個(gè)概念的共性、差異、聯(lián)系、拓展(和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)；公式的引入、推導(dǎo)等等都是具有數(shù)學(xué)味道的思考.

基于此，建議一氣呵成連排兩節(jié)課，多些學(xué)生的思維參與，少些教師的牽引替代.