周 瑩 廖麗紅 梁 鑫 黃懷芳

(1.廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院541004； 2.北京師范大學廣西平果附屬學校531400；3.廣西來賓市第一中學546100)

1 問題提出

國家課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據(jù)，是國家管理和評價課程的基礎[1][2]，教材是體現(xiàn)課程標準的理念、目標和內(nèi)容，直接指導課程實施的潛在實施課程，而數(shù)學習題作為數(shù)學教材的重要組成部分，是數(shù)學教學過程中組織學生學習、實踐活動的一種重要形式,它是否與課程標準匹配，關系到課程改革能否順利推進和教材的的質(zhì)量基礎.通過查閱文獻發(fā)現(xiàn)，有關教材習題與課程標準的一致性研究很少，尤其在數(shù)學課程的內(nèi)容標準方面;而且在課程實施中我們和一些學者發(fā)現(xiàn)[3]，許多初中數(shù)學教師對教材設置的習題不夠重視,甚至陷入濫用教輔資料、題海戰(zhàn)術境地；而中學數(shù)學教材的函數(shù)作為其核心內(nèi)容，這已成為國際的主流[4].基于以上多方面的思考，我們著手對數(shù)學教材函數(shù)習題與數(shù)學內(nèi)容標準進行一致性地研究，期望能為教材編寫和課程標準的修訂提供參考，乃至促進師生樹立良好的教材習題觀.

2 研究方法

本文研究的是人民教育出版社出版的義務教育數(shù)學教材(2014版)(簡稱“人教版”)和湖南教育出版社出版的義務教育數(shù)學教材(2014版)(簡稱“湘教版”)中的函數(shù)習題與義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(簡稱課程標準)的一致性問題，主要采用SEC模型，利用SPSS16.0、EXCEL、MATLAB軟件對編碼結(jié)果進行分析.

2.1 研究內(nèi)容

選取人教版和湘教版的函數(shù)習題，從內(nèi)容主題和認知水平的兩個維度，對比分析與課程標準的一致性程度.其中，習題為函數(shù)的課時練習，章節(jié)習題及復習題；課程標準為第三學段“數(shù)與代數(shù)”領域第三部分函數(shù)即函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的所有內(nèi)容標準.

在內(nèi)容主題的劃分時，充分考慮到主題分類的科學性、全面性及編碼工作的簡潔性，根據(jù)課程標準的函數(shù)內(nèi)容分類及教材的目錄編排，將函數(shù)內(nèi)容主題劃分為：函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、函數(shù)與方程、函數(shù)與實際問題這4個內(nèi)容主題,每個主題又包含一系列具體的子主題.

對于認知水平的劃分，根據(jù)修訂版布盧姆教育目標分類學中的認知維度從低到高分為記憶、理解、運用、分析、評價、創(chuàng)造6個亞類.

因此，構(gòu)成了初中函數(shù)習題與數(shù)學課程內(nèi)容標準的4×6的二維矩陣結(jié)構(gòu)，它包含4個內(nèi)容主題和6個認知水平.

2.2 應用模型

2002年美國維斯康星洲教育中心主任安德魯·帕特(Andrew Porter)等學者，在諾曼·韋伯(Norman L.Webb)對評價與課程標準一致性的研究成果基礎上，提出課程實施調(diào)查的定量研究模型(Survey of the Enacted Curriculum，簡稱SEC模型)用于判斷評價教育項目與課程標準間的一致性，目前“SEC”分析范式已經(jīng)在美國各州得到推廣和應用[5].

為了給出一致性程度的標準，美國學者Gavin W. Fulmer(2011)利用R軟件進行隨機模擬，在給定顯著水平情況下分別計算出不同單元格及不同標準點時的臨界值.若一致性系數(shù)大于顯著性水平的臨界值，說明評價內(nèi)容與課程標準存在統(tǒng)計意義上的顯著一致性；反之，一致性不顯著.若是進行雙側(cè)檢驗，則分別與臨界值的上下限進行比較，當一致性系數(shù)小于臨界值下限時，認為不一致；當一致性系數(shù)大于臨界值上限時，認為顯著一致；當落在臨界值之間時，認為有一致性，但不顯著.

2.3 編碼結(jié)果

本研究的編碼工作首先由三位具有數(shù)學與數(shù)學教育研究背景的工作者進行獨立編碼，之后利用SPSS16.0對他們的編碼結(jié)果進行相關分析.結(jié)果表明三位編碼者兩兩之間的Kendall’s tau相關系數(shù)和Spearman’s rho相關系數(shù)均是0.934以上，且Kendall檢驗的顯著性概率小于顯著性水平0.05，說明他們的編碼結(jié)果具有很好的相關性和內(nèi)部一致性，驗證編碼結(jié)果有效.因此，三位編碼者只需針對分歧點進行討論，形成最終一致的編碼結(jié)果，之后進行標準化處理，計算各單元格數(shù)量比率值，結(jié)果如表1至表3所示.

表1 課程標準的編碼結(jié)果(比率)

表2 人教版函數(shù)習題的編碼結(jié)果(比率)

表3 湘教版函數(shù)習題的編碼結(jié)果(比率)

3 結(jié)果與分析

3.1 一致性系數(shù)

將表1、表2與表3的比率值數(shù)據(jù)代入Porter公式[6]，計算人教版和湘教版的函數(shù)習題與數(shù)學內(nèi)容標準的一致性系數(shù)分別為0.7668、0.7969.根據(jù)美國學者Gavin W. Fulmer[7]393-396計算的臨界值表(4×6編碼標準，30標準點)，在顯著性水平0.05下的臨界值上下限分別為0.8849、0.7867.由于人教版的函數(shù)習題與數(shù)學內(nèi)容標準的一致性系數(shù)0.7668小于臨界值下限0.7867，說明人教版的函數(shù)習題與數(shù)學內(nèi)容標準的一致性弱；而湘教版的函數(shù)習題與數(shù)學內(nèi)容標準的一致性系數(shù)0.7969 ∈[0.7867, 0.8849],說明湘教版的函數(shù)習題與數(shù)學內(nèi)容標準具有一致性，但在統(tǒng)計學意義上不顯著.

3.2 圖形表征

為了能夠直觀地觀察分析，分別畫出不同內(nèi)容主題和認知水平的權(quán)重柱狀圖1、圖2，并通過地形圖對4個內(nèi)容主題和6個認知水平的權(quán)重分別呈現(xiàn)在表3、表4、表5中，結(jié)果及分析如下：

圖1 內(nèi)容主題分布情況

圖2 認知水平分布情況

圖3 課程標準地形圖

圖4 人教版函數(shù)習題地形圖

圖5 湘教版函數(shù)習題地形圖

(1)內(nèi)容主題維度

觀察以上地形圖與圖1得知，兩個版本的函數(shù)習題在內(nèi)容主題上的分布權(quán)重均是：函數(shù)圖像與性質(zhì)>函數(shù)的概念>函數(shù)與實際問題>函數(shù)與方程，均側(cè)重于考察“函數(shù)圖像與性質(zhì)”這一內(nèi)容主題.而課程標準中涉及的內(nèi)容主題分布是，函數(shù)的概念>函數(shù)圖像與性質(zhì)>函數(shù)與實際問題>函數(shù)與方程.整體上兩個版本的內(nèi)容主題在“函數(shù)與實際問題”及“函數(shù)與方程”上都與課程標準的保持一致；相對于“函數(shù)的概念”與“函數(shù)圖像與性質(zhì)”課程標準更重視前者，而人教版和湘教版都與課程標準則為后者；湘教版的函數(shù)習題在內(nèi)容主題的整體分布與課程標準的吻合度比人教版的略大.

(2)認知水平維度

由以上地形圖、圖2和表2可知，課程標準和兩個版本在認知維度上都主要集中于“運用”，其次是“理解”.在“分析”認知水平，無論是人教版還是湘教版的認知水平都弱于課程標準的要求.在“評價”和“創(chuàng)造”這兩個高認知的權(quán)重上人教版略高于課程內(nèi)容標準，而湘教版的又比人教版的要高.

(3)內(nèi)容主題與認知水平

① 從圖3至圖5可以發(fā)現(xiàn)，在三者都最為強調(diào)的“運用”水平層次，兩個版本與課程內(nèi)容標準存在差異，課程標準側(cè)重于“函數(shù)的概念”內(nèi)容主題，而人教版和湘教版偏向于“函數(shù)圖像與性質(zhì)”.

② 三者一致強調(diào) “理解”水平，但分布在不完全相同的內(nèi)容主題里.從圖3至圖5可以發(fā)現(xiàn)，課程標準和湘教版體現(xiàn)在“函數(shù)的概念”，而人教版落腳于“函數(shù)圖像和性質(zhì)”.

③ 圖3至圖5表明，課程標準其次強調(diào) “函數(shù)圖像與性質(zhì)”的“理解”和“運用”、 “函數(shù)與實際問題”的“運用”水平，然后就是 “函數(shù)與方程”的“運用”，之后就是“函數(shù)與實際問題”與“函數(shù)圖像與性質(zhì)”的“分析”；人教版其次強調(diào) “函數(shù)的概念”的“理解”與“函數(shù)與實際問題”的“運用”，然后就是“函數(shù)與方程”的“運用”水平；湘教版其次強調(diào) “函數(shù)圖像和性質(zhì)”的“理解”、“函數(shù)與實際問題”的“運用”，之后就是 “函數(shù)與方程”的“運用”水平.相對人教版來說，湘教版在“函數(shù)圖像與性質(zhì)”的“理解”水平上的習題設置更符合課程標準的要求，而人教版和湘教版在“函數(shù)圖像與性質(zhì)”和“函數(shù)與實際問題”的“分析”水平上都明顯弱于課程標準.

以上研究得出：人教版和湘教版的函數(shù)習題以及課程內(nèi)容標準三者都一致強調(diào)認知水平中的“運用”，其次為“理解”， 而“創(chuàng)造”、“評價”和“分析”弱；在四個內(nèi)容主題中，課程標準側(cè)重于“函數(shù)的概念”，而人教版和湘教版偏向于“函數(shù)圖像與性質(zhì)”.整體上人教版和湘教版的函數(shù)習題與數(shù)學內(nèi)容標準的一致性都不高.

4 思考與建議

(1)精準把握課程標準的要求

依據(jù)國際著名課程論學者古德萊德的課程分類，課程標準屬于文本課程，教材則屬于理解課程，教材是編者根據(jù)自己對課程標準的理解而編寫具體材料，卻未必真正代表課程標準的本來含義，從而與課程標準保持一致[8]，這在本研究中也有發(fā)現(xiàn).譬如，課程標準中要求學生“能用適當?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系”.這個要求具有一定的開放性，需要學生對該實際問題進行分析，并根據(jù)具體問題選取三種函數(shù)表示法中的最合適的表示法，來刻畫簡單實際問題中變量之間的關系，對應的認知水平是“分析”、 “運用”.而其中的教材在設計相應的習題時卻是“某桌子定價20元/張.如果一次性購買25張以上，超過25張的部分打七折，請用列表法表示購買數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關系.”該習題直接指定學生用列表法，而不需要學生思考方法的選擇與評價，對應的認知水平是“理解”、“運用”，與課程標準的認知水平要求不完全一致.因此,為保障教材的質(zhì)量基礎，教材習題編者應該重視精準把握課程標準對數(shù)學教材習題的認知水平和內(nèi)容主題等多元要求.

誠然，若有教材基于某些教育發(fā)達地區(qū)或?qū)W校，設計的教材及習題在保證了課程標準基本要求的同時，超越課程標準的基本認知要求，拓展、豐富課程標準的內(nèi)容范圍及其教材編寫策略方法，這些只要有利于學生的良好發(fā)展，實乃屬于落實課程標準的“下要保底”、“上不封頂”的統(tǒng)一性與獨創(chuàng)性相結(jié)合理念.譬如，人教版在章尾之處設有知識結(jié)構(gòu)圖、回顧與思考的“小結(jié)”，對學習的梳理、反思，形成良好思維習慣具有指導和示范作用; 湘教版教科書在學生易錯之處，針對應歸納的結(jié)論和需要引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的地方，分別采用 “警示”、“歸納”、“問題”三種形式的小貼士，使教科書更具可讀性和探究性.

(2)適量加大高級認知水平的權(quán)重

美國國家數(shù)學咨詢委員會在2008年頒布的總結(jié)報告《成功需要基礎》中，特別強調(diào)高水平的認知能力對提高國家競爭力、國民素養(yǎng)及生活水平的重要性.長期以來我國重視雙基和注重常規(guī)練習是傳統(tǒng)優(yōu)勢，然而,一些研究[9][10][11]和以上研究發(fā)現(xiàn)教材習題或課程內(nèi)容標準過于注重“運用”、“理解”水平而弱于“創(chuàng)造”、“評價”、“分析”水平， 這種重中低級、 輕高級認知水平的情況與美國、英國和新加坡等國外先進國家相比差異顯著，這與課程標準提出的發(fā)展創(chuàng)新意識、學會思考的先進理念不夠一致.課程標準作為教材編寫的依據(jù)，為了能發(fā)揮其本來應有的標準作用和更有效地推進新課程改革，建議在內(nèi)容標準及其習題配置方面要適度加強創(chuàng)新、評價等高級認知水平，要求教材要注意體現(xiàn)發(fā)揮習題的系統(tǒng)功能，在準確把握習題的容量、難度的基礎上，適量開發(fā)一些具有情境性、開放性、探究性的習題，盡可能提供學生尤其是那些學有余力的學生有發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決非常規(guī)問題的機會，提升核心素養(yǎng).

(3)加強習題內(nèi)容分布及其層次性

雖然螺旋式是教材編排的一種科學方式，有重復相同但層次不同的特點.但是在研究的教材中發(fā)現(xiàn)存在同個內(nèi)容的習題重復過多、內(nèi)容主題層次不明顯的情況.例如：課程標準中要求學生會畫二次函數(shù)圖像的內(nèi)容標準只有“會用描點法畫二次函數(shù)的圖像”一條，但統(tǒng)計湘教版的二次函數(shù)習題部分，要求學生畫二次函數(shù)圖像一共有43題，占了二次函數(shù)習題總數(shù)的37%，而這些題目涉及的知識點或內(nèi)容主題和認知水平幾乎相同，人教版的函數(shù)習題也存在類似情況.這樣的習題分布內(nèi)容窄、內(nèi)容主題重復過多或簡單重復的問題在不同學段[7]等也有體現(xiàn).建議編者適當降低習題的重復性，增強各內(nèi)容主題的平衡性，加強習題的層次性以及不同知識關聯(lián)性的習題.此外，著眼教材的習題欄目，幾乎都是教材編者出題，很少有鼓勵和引導學習的主體發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、自主設計習題的情境，這種問題值得進一步研究.