徐德同

(常州市教育科學研究院 213001)

文[1]和文[2]指出：理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提，大量的課堂觀察表明，數(shù)學教學品質不高的原因，追本溯源，主要來自于教師的數(shù)學理解不到位.隨著課改的不斷深入，大家越來越清楚地認識到，回歸數(shù)學教育的本來面目，發(fā)揮數(shù)學的內在力量，感悟數(shù)學特有的思維方式，挖掘數(shù)學內容所蘊含的價值觀資源，以提高數(shù)學素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，這是數(shù)學教育發(fā)展的大勢所趨.本文以省評優(yōu)課為例，淺談教學中如何提升理解數(shù)學水平、優(yōu)化課堂教學品質.

1 教學內容

課題：平面直角坐標系

圖1

教材概要

情境引入：

音樂噴泉位置如圖1.

小麗：音樂噴泉在哪里？

小明：在中山北路西邊50m、北京西路北邊30m.

小麗能按小明的描述，找到音樂噴泉嗎？

概念建構：

平面內兩條互相垂直的數(shù)軸構成平面直角坐標系，簡稱直角坐標系，水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，向右為正方向，鉛直方向的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，向上為正方向，兩軸的交點O是原點.

探索活動：

1.在直角坐標系中，用有序實數(shù)對(a,b)描述一個點的位置；

2.Q是直角坐標系中的一點，確定與它相對應的有序數(shù)對.

數(shù)學運用：略.

2 著力提升理解數(shù)學水平

如何提升理解數(shù)學水平？本次省評優(yōu)課的教師在實踐層面進行了積極的探索，概括起來，有以下四個方面：從大局和整體看知識點，夯實理解數(shù)學基礎；從過程中感悟基本思想，突出理解數(shù)學重點；從史料中讀出理性精神，彰顯理解數(shù)學價值；從本質中把握教學要求，堅守理解數(shù)學底線.

2.1 從大局和整體看知識點，夯實理解數(shù)學基礎

直角坐標系有什么作用？教學中很多教師提到了上述問題.結論基本一致：用來確定物體的位置.筆者以為這樣的問題很有意義，只有明白了這一點，本節(jié)課的價值才會得到彰顯.其實，只要我們把直角坐標系放在“數(shù)學的長河”中去審視，答案自然清晰.作用主要有兩點：一是借助直角坐標系，實現(xiàn)了從常量數(shù)學到變量數(shù)學的跨越.在笛卡爾創(chuàng)立直角坐標系之前，數(shù)學的主題是靜態(tài)的常量.正是有了直角坐標系這一劃時代的工具，使得函數(shù)的概念產生了，數(shù)學進入變量時代.變量數(shù)學的出現(xiàn)，使數(shù)學自身在思想方法上發(fā)生了重大的變革，由此帶來整個數(shù)學面貌的根本性改觀；變量數(shù)學的產生，催生了微積分的創(chuàng)立，使自然科學描述現(xiàn)實世界的運動和變化成為可能，世界因此才變得更加精彩.直角坐標系的第二個作用是架起圖形和代數(shù)之間的橋梁.在這之前的幾何學，直觀和推理(定性研究)是主要的研究方式，直角坐標系的出現(xiàn)，把點(線、面)和數(shù)(方程)聯(lián)系到一起，幾何概念可以用代數(shù)方法來描述，從而可以從代數(shù)的角度(定量研究)來研究幾何問題.把先進的代數(shù)方法應用到幾何學中來，促進了幾何學的蓬勃發(fā)展.拉格朗日在《數(shù)學概要》中寫道：“只要代數(shù)與幾何分道揚鑣，它們進展就緩慢，它們的應用就狹窄；但是當這兩門學科結合成伴侶，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”[3].

至于建立直角坐標系就有了一個參照，可以用來確定物體的位置，這是教材編寫者命制的一個生活情境，讓學生感知數(shù)學來源于生活，有利于把知識的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài).從認知心理學的角度看，讓學生體驗從實際情境中抽象出數(shù)學問題、建構數(shù)學模型的過程，有利于他們在已有認知和經(jīng)驗基礎上的自主建構.教學中，教師應當準確把握知識的體系，從全局看知識各部分之間的內在聯(lián)系，熟悉知識在數(shù)學體系中的地位和作用，使學生獲得從整體上對知識的認識，以利于拓寬視野、提高素養(yǎng).

2.2 從過程中感悟基本思想，突出理解數(shù)學重點

學習基礎知識、掌握基本技能的同時感悟基本數(shù)學思想是學習數(shù)學的重要目標之一.本節(jié)課要感悟什么樣的數(shù)學思想？參賽教師都提到了“數(shù)形結合”思想，這也是直角坐標系的作用所在，不再贅述.還有教師提出了“坐標思想”，言過其實，本質還是形與數(shù)的結合.除“數(shù)形結合”之外，本節(jié)課還蘊含著兩個基本思想：一是“一一對應”思想.在直角坐標系的概念形成之后，教材設計了兩個探索活動：探索1，由直角坐標系中的一點，確定與它相對應的有序數(shù)對；探索2，由一對有序數(shù)對確定一個點.基于上述兩個探索，我們可以得到：在直角坐標系中，點都可以用一對有序數(shù)對來表示，一對有序數(shù)對可以確定一個點，點與有序數(shù)對是一一對應的.我們知道“對應” 是函數(shù)的本質， 感悟并形成“一一對應”思想可以為后續(xù)學習函數(shù)打下很好的認知基礎，這種“一一對應”思想也樸素體現(xiàn)了數(shù)學中的純粹性和完備性.二是由特殊到一般思想.兩個探索活動是本節(jié)課的重點，對于探索1，教材中是由有序數(shù)對(a,b)來確定一個點，教學中我們不能照搬不誤，必須化抽象為具體，從特殊的情形入手，通過對若干具體有序數(shù)對的研究，讓學生領悟出任一有序數(shù)對都對應平面上唯一的點，再把由特殊情形中總結得到的方法，應用到一般的情形中去.這樣做既符合學生的認知規(guī)律和學習心理，也能教示給學生一種研究問題的思想方法：從特殊到一般.

教科書的本質是教學活動參考體系，基本數(shù)學思想不會白紙黑字寫在教科書上，基本數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識的形成、發(fā)展過程中，蘊含在數(shù)學問題的剖析、解決過程中.教學中教師要能夠透過知識看思想，通過合理設計，引導學生逐步感悟數(shù)學思想.

2.3 從史料中讀出理性精神，彰顯理解數(shù)學價值

如何談史料？教學中很多教師都從數(shù)學史的角度介紹了笛卡爾如何想到創(chuàng)建直角坐標系.一說看到房梁上的蛛網(wǎng)受到啟發(fā)；另一說受經(jīng)緯度的啟發(fā).筆者無意去考證，事實上也無從考證.對于這些無從考證的史料，教師在引用時必須本著實事求是的態(tài)度，明確告訴學生：這僅僅是一個傳說、一個故事.這才是教者、師者應該具有的態(tài)度，這就是數(shù)學的態(tài)度：不含糊馬虎，不武斷輕言.故事到這兒遠沒有結束，教師要做的不僅是講故事，無論這些傳說的可靠性如何，有一點值得肯定的，那就是笛卡爾是個善于思考的人.這些有趣的傳說，就象瓦特看到蒸汽沖起開水壺蓋發(fā)明了蒸汽機一樣，說明笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標系的過程中，可能是受到周圍一些形狀或本質相似的事物的啟發(fā)，觸發(fā)了靈感，引發(fā)了理性的思考.故事的背后我們要教示給孩子們：要善于用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界.這，才是故事的真諦！

教育的目的在于育人，教學中教師要能夠透過現(xiàn)象看本質，把從學科中錘煉出來的數(shù)學精神(理性精神和探究精神)潛移默化為學生的思維方式、關鍵能力與核心素養(yǎng)，這些潛流于學科根基之中的方法、思想和眼光，一定會滲透到學科以外的事物中去、生活中去，真正彰顯學科的育人價值.

2.4 從本質中把握教學要求，堅守理解數(shù)學底線

畫直角坐標系時，一位優(yōu)秀教師提出了這樣的注意點：坐標系的箭頭要畫成平角實心箭頭“→”.仔細翻閱蘇科版教材，箭頭都是平角實心，不禁為參賽教師的細致所感佩.那么，直角坐標系的箭頭，是畫成虛“→”還是實“→”？筆者認為，箭頭的本質是標明正方向，虛與實只是一種形式，教材里統(tǒng)一畫成平角實心有美觀大方之意，對于書寫體而言虛比實更簡潔易畫.數(shù)學是求簡的，去偽求真、大道至簡是數(shù)學的本質追求，這一要求稍顯為過.《課標》指出：教師應當準確把握教學內容的數(shù)學實質，確定合理的要求和目標.這應該成為每一位教師的必修課，也是教師專業(yè)成長的必由之路.

教科書里的數(shù)學知識，包括準確的定義、嚴密的推理，是形式化的擺放在那兒的，教師的任務不僅要講推理，更要講道理，要能揭示學這些數(shù)學干什么，意義何在？要能揭示數(shù)學發(fā)展的軌跡，揭示數(shù)學發(fā)展過程中的智慧，揭示學習數(shù)學、研究數(shù)學的基本套路、基本方法，以此來體現(xiàn)數(shù)學的本質，彰顯數(shù)學的價值.這，才是美好的數(shù)學教育！

3 不斷優(yōu)化課堂教學品質

怎樣優(yōu)化課堂教學品質？本次評優(yōu)課的課堂展示活動給我們很多有意義的啟示：高品質源自好情境，高品質源自好生成，高品質源自好規(guī)范.一句話，教師只有認真設計教學活動，嚴格要求自己，才能優(yōu)化課堂教學品質.

3.1 高品質源自好情境

所謂情境，就是根據(jù)知識內容和學習心理，創(chuàng)造一個環(huán)境，引導學生積極思考主動探索.本節(jié)課教材設置的情境是小麗問詢“音樂噴泉”的位置，小明如何回答才能正確引導小麗？這一情境是學生身邊經(jīng)常發(fā)生的事，是真實的有意義的情境.只要合理設計問題，就能很好的引導學生自主建構.比如：

問題(1)：如果小明說音樂噴泉在“中山北路西邊50 m”，小麗能找到嗎?

問題(2)：如果小明說音樂噴泉在“北京西路北邊30 m”，小麗能找到嗎?

問題(3)：如果小明說音樂噴泉在“中山北路西邊50m，北京西路30m”，小麗能找到嗎?

問題(4)：如果小明說音樂噴泉在“中山北路西邊50 m，北京西路北邊30 m”，小麗能找到嗎?

通過上述問題，讓學生感悟出要確定音樂噴泉的位置，必須借助兩個數(shù)據(jù)，而且是兩個帶方向的數(shù)據(jù).而“正反”兩個方向在數(shù)學中可以用“正負號”來刻畫，根據(jù)常識，我們一般規(guī)定向右、向上為正方向.所以，“中山北路西邊50m，北京西路北邊30m”就可以用一組有序數(shù)對(-50，+30)來表示，再說明數(shù)對中數(shù)的有序性.這樣，用有序數(shù)對來描述一個點的位置就很清晰自然.而規(guī)定了正方向的直線是數(shù)軸，兩條互相垂直的數(shù)軸就構成了我們學習的主題“平面直角坐標系”.課題自然導出，言簡意賅.

教學中很多人舍棄了這一真實的情境，另起爐灶.有的引用中國象棋棋盤，有的引用國際象棋棋盤(學生不熟悉)，有的讓孩子們走出教室后按指定的座位入座(動靜大很熱鬧)，…….我們認為，情境的創(chuàng)設要有利于學生感受數(shù)學來源于生活，要有利于學生在已有認知和經(jīng)驗基礎上的自主建構，要有利于引出主題、引發(fā)思考、激發(fā)思維的碰撞.脫離生活實際，不顧及學生年齡特征和知識儲備，過于追求趣味化，拖沓冗長的情境都是低效的甚至毫無必要的.有一位教師在創(chuàng)設情境、形成“直角坐標系”概念這一環(huán)節(jié)用時23分鐘，主次顛倒了.數(shù)學課要有數(shù)學味，數(shù)學課是學習數(shù)學知識的，是內化數(shù)學思想方法的，是感悟數(shù)學理性精神的，情境的設計要簡單合情，概念的建構要合理有度.

3.2 高品質源自好生成

有一節(jié)課印象很深，教師請學生對圖2中的點進行分類.教師預設學生會根據(jù)坐標的正負分成4類，從而得到象限概念.學生的想法永遠比我們預設的要多.交流時，一學生回答：老師，我是按照直線進行分類的，(-2,4)、(-2,3)、(-2,2)、(-2,1)、(-2,-1)、(-2，-2)這些點都在同一直線上，可以分為一類.教師看學生的回答和自己想要的很有距離，趕緊打住，往4個部分的路上引去，接著大談象限的概念.

圖2

事實上，教師如果能順勢引導，設置追問：

(1)上述6個點都在垂直于x軸的直線上，它們的坐標有什么特征？

(2)再找若干在垂直于x軸的直線上的點、垂直于y軸的直線上的點，逐步發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律：垂直于x軸直線上的點橫坐標相同、垂直于y軸直線上的點縱坐標相同；

(3)圖中(-5,1)、(-3，-1)、(-2，-2)、(-1，-3)也在一直線上，坐標滿足什么特征？(-1，-3)、(1，-1)、(3,1)、(4,2)這些點呢？

(4)由特殊到一般，引導歸納：直線上的點，坐標滿足確定的數(shù)量關系；

(5*)拓展研究：通過歸納，設滿足的數(shù)量關系為ax+by+c=0，待定系數(shù)法求出a,b,c.

通過這樣的討論，不僅實現(xiàn)了知識的自然生長，更提升了本節(jié)課的思維品質，也為接著學習一次函數(shù)打下了堅實的基礎.這樣的順勢生成比大談象限的概念(毫無必要，知道就可以了)、多做幾道練習和形式化的小結更加自然、更有挑戰(zhàn)、更有價值.

課堂教學中隨時都有可能出現(xiàn)超出預設的不同“聲音”或偶然突發(fā)的意外情況，這種非預期信息的出現(xiàn)，稍縱即逝，可遇而不可求.而許多“意外”很可能就是學生學習的頓悟、靈感的萌發(fā)，教師若能運用教學智慧及時捕捉、把握契機，再因勢利導，就有可能催生精彩的動態(tài)資源的生成.這，才是靈動的課堂！

3.3 高品質源自好規(guī)范

數(shù)學是規(guī)范的嚴謹?shù)?，這種規(guī)范和嚴謹不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學的內容、數(shù)學的表述中，也體現(xiàn)在數(shù)學的測量、計算、畫圖、實驗等探究過程中.

教學中如何規(guī)范的畫垂線？很多教師畫圖都很隨意，直尺放在黑板上就畫.這不是科學的畫圖，也不應該是數(shù)學教師的畫圖行為.規(guī)范的畫垂線，應該是直角三角板的一條直角邊和水平直線重合，沿另一條邊畫出垂線.可以想象，沒有教師的“言傳身教”，孩子們能悟出規(guī)范的作圖？

卞毓方在《回望錢學森》一文中講到了一個真實故事：一次，是在中科院一位朋友的辦公室.我去時，朋友在欣賞一卷《錢學森手稿》.這一套手稿，分兩卷，五百多頁，是從錢學森早期的手稿遴選出來的.我拿過來翻了翻，與其說是手稿，不如說是藝術品.無論中文、英文，大字、小字，計算、圖表，都工工整整，一絲不茍，連一個小小的等號，也長短有度，中規(guī)中矩.錢老曾在黑板上給學生寫下“嚴謹、嚴肅、嚴格、嚴密”幾個大字，這是他對學生的要求，也是他學術精神的體現(xiàn).從大師身上可以發(fā)現(xiàn)規(guī)范嚴謹應該從小事做起，從細節(jié)入手.教書和育人密不可分，育人無小事，作為教師必須意識到：你的一言一行都是給孩子們做示范，規(guī)范嚴謹?shù)闹螌W作風可能會影響他們一輩子.

教學是一門藝術，教師應當不斷研究教學的方法和策略，研究如何從啟迪人的思維和智慧的角度去實施教學，不斷提升課堂教學的品質.當然，倘若講課者孤陋寡聞、學問淺薄、知識貧乏，無論怎么絞盡腦汁地研究方法和策略，也難以把課講好，只能就事論事，甚至可能弄巧成拙.路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索！