文/劉豫寧 編輯/甄知

生活中的數(shù)學(xué)之地圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)奧秘

文/劉豫寧 編輯/甄知

當(dāng)你打開一張標(biāo)準(zhǔn)的世界地圖的時(shí)候，是否留意到加拿大上方那一片白色的大陸？她是世界第一大島——格陵蘭島，有200多萬平方千米。她的英文名直譯過來是“綠島”，但是這塊大陸幾乎位于北極圈內(nèi)，氣候寒冷。行政上，她屬于丹麥王國。這塊大陸在地圖上看起來要比她的實(shí)際尺寸大一些，似乎能夠達(dá)到美國國土面積的一半?？墒敲绹膰撩娣e有 937萬平方千米。這種相對尺度的偏差在各種地圖上都存在，所以世界地圖只能近似地反映各個(gè)國家的地理信息。

那么能不能設(shè)計(jì)一張絕對精確的地圖呢？直觀來看，這似乎是不行的，因?yàn)榈厍虻谋砻媸菑澢模氚阉戒伒揭粡埣埳峡偸菚鼓承﹨^(qū)域出現(xiàn)扭曲。于是人類根據(jù)實(shí)際的需要設(shè)計(jì)出五花八門的地圖投影法，應(yīng)對不同的需要。這些投影法雖然不能消除偏差，卻可以把偏差放在不太重要的位置。由于北極地區(qū)地廣人稀，在繪制行政地圖時(shí)候往往是犧牲那里的精確度而保持其他地域的版圖相對精確。

在航天器未被發(fā)明的時(shí)代，繪制精確的地圖是掌握地理信息的關(guān)鍵手段之一，在軍事、航海、行政管理等領(lǐng)域都有重要用途。即使到了今天，我們還要時(shí)不時(shí)地打開手機(jī)上的地圖定位一下目的地。到19世紀(jì)初，人類已經(jīng)發(fā)明了幾十種地圖投影法。雖然測量會有偏差，地形的因素也制約了地圖的精確性，可是從制圖學(xué)理論的角度思考，就會自然產(chǎn)生一個(gè)問題：這種偏差是不是可以在理論上被消除？在歐洲，這個(gè)問題的解決最終落在了兩個(gè)德國人的肩上，一位是數(shù)學(xué)家高斯，另一位是探險(xiǎn)家洪堡。德國當(dāng)代作家丹尼爾·凱曼在2005年出版的《丈量世界》中描述了兩位同處一個(gè)時(shí)代的德國科學(xué)家以截然相反的方式進(jìn)行各自的研究，最后卻奇跡般地走向同一目標(biāo)。

高斯

高斯被譽(yù)為繼牛頓以來最偉大的數(shù)學(xué)天才，有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，也是測量學(xué)的高手，在包括數(shù)學(xué)、物理學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)的十幾個(gè)領(lǐng)域有開創(chuàng)性的工作。他出生在一個(gè)貧困的猶太家庭里。他在十歲的時(shí)候利用對稱的方法解決了從 1 一直加到 100 等于多少這個(gè)問題，讓老師另眼相看。由于在數(shù)學(xué)上非凡的天分，高斯得到了去更好的學(xué)校學(xué)習(xí)的機(jī)會并受到呂訥堡公爵的資助，進(jìn)入德國哥廷根大學(xué)，走上了數(shù)學(xué)科研之路。高斯一生有很多偉大的發(fā)現(xiàn)：他在 18 歲的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，可以從大量測量數(shù)據(jù)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)公式，是一種非常有用的數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。他利用該方法成功地計(jì)算了谷神星的軌道，并直接導(dǎo)致了后來人們重新發(fā)現(xiàn)這顆小行星。這使得高斯的名聲傳遍歐洲。高斯在哥廷根大學(xué)還擔(dān)任天文臺的臺長，他在大量的觀測和數(shù)據(jù)處理中發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布，它是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用。在十元馬克（德國貨幣）上就印著高斯和他發(fā)現(xiàn)的正態(tài)分布。高斯從 18歲進(jìn)入哥廷根大學(xué)，在那里度過了全部學(xué)術(shù)生涯。他為哥廷根日后成為近代數(shù)學(xué)的搖籃起到了關(guān)鍵的作用。

我們故事的第二個(gè)主人公，亞歷山大·馮·洪堡出生于一個(gè)貴族家庭。他的哥哥威廉·馮·洪堡是柏林洪堡大學(xué)的創(chuàng)始者，也是著名的教育改革者。他重新改革了普魯士引以為傲的義務(wù)教育制度，讓所有階層的子女都有相同的機(jī)會接受教育；在高等教育領(lǐng)域，他提出通過科學(xué)研究方法和教學(xué)與科學(xué)研究相結(jié)合的方法去追求純粹知識的思想，科學(xué)研究第一次成為大學(xué)職能。亞歷山大·馮·洪堡從小受到家庭學(xué)術(shù)氣氛的熏陶，具有極強(qiáng)的好奇心。與哥哥的興趣不同，他愛好游歷各國，凡是足跡所到，高山大川無不登臨，奇花異草無不采集，兼有徐霞客的好奇心和李時(shí)珍的執(zhí)著。

為了完成大地測量，洪堡曾考察過西歐、南北美洲、北亞和中亞等地，其科學(xué)活動涉及地理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、地球物理學(xué)、氣象學(xué)和生物學(xué)等。他最重要的貢獻(xiàn)之一是根據(jù)前人和自己所測定的世界各地溫度，于1817年第一個(gè)繪制了全球等溫線圖，指出氣候不僅受緯度影響，還與海拔高度、離海遠(yuǎn)近、風(fēng)向等因素有關(guān)，并使同緯度各地的氣候得以互相比較。他研究了氣候帶分布、大陸性和海洋性氣候、地形對氣候的形成作用；發(fā)現(xiàn)植物分布的水平分異和垂直分異性，論述氣候同植物分布的水平分異和垂直分異的關(guān)系，得出植物形態(tài)隨高度而變化的結(jié)論；根據(jù)植被景觀的不同，將世界分成16個(gè)區(qū)，確立了植物區(qū)系的概念，創(chuàng)建了植物地理學(xué)；首次繪制地形剖面圖，進(jìn)行地質(zhì)、地理研究；指出火山分布與地下裂隙的關(guān)系；認(rèn)識到地層愈深溫度愈高的現(xiàn)象。 他是 19 世紀(jì)科學(xué)界中最杰出的人物之一，被譽(yù)為是哥倫布之后最偉大的博物學(xué)家、地理學(xué)家。洪堡廣泛游歷于世界各地，他的科學(xué)成就和著作推動了近代自然科學(xué)的發(fā)展，在世界上產(chǎn)生了很大影響。為紀(jì)念洪堡，德國建有洪堡基金會，資助世界各國的自然科學(xué)研究。

亞歷山大·馮·洪堡

高斯與洪堡無論出身還是經(jīng)歷都不相同，丈量世界的方法也是大相徑庭。高斯是個(gè)理論派，他把制圖學(xué)看成一門理論科學(xué)，認(rèn)為基本的理論應(yīng)該在天文臺就可以完成。他對于制圖學(xué)中的理論誤差的認(rèn)識是非常獨(dú)到的。他想解決的問題是：如果忽略地形因素，把地球看成一個(gè)圓球，怎么把它或者它的一部分精確地投影到一張紙上？他經(jīng)過大量的測量和計(jì)算發(fā)現(xiàn)這種理論誤差是無法避免的，即使是繪制德國地圖！

這個(gè)結(jié)論聽上去就有點(diǎn)反直覺了。為了說明白這件事，我們得先解釋一下“度規(guī)”這個(gè)概念。度規(guī)其實(shí)就是兩點(diǎn)間的距離。迄今為止人類發(fā)明了幾十種繪制地圖的方法。其本質(zhì)都是把地球投影到平面上。然而無論用什么投影方式繪制的地圖，它上面任何兩點(diǎn)間的距離都由直線段給出，從而給出一個(gè)度規(guī)。而在地球表面，兩點(diǎn)之間的最短連線的長度就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度。大圓就是經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓。一般來說地球上任何兩個(gè)城市間的航班都是由大圓連接的。如圖所示，從舊金山飛到倫敦的航班，并不是沿著緯線飛行。所以地球表面兩點(diǎn)的距離也會給出地球表面上的一個(gè)度規(guī)。因此繪制絕對精確地圖的本質(zhì)就是要找到一種投影方法，把地球投射到平面上，使得它與地球表面的度規(guī)一模一樣。高斯經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算證明：曲面上的度規(guī)決定了它的曲率（準(zhǔn)確來說，是高斯曲率）。然而平面作為一種特殊的曲面，它的高斯曲率永遠(yuǎn)是零，與度規(guī)的選取無關(guān)，因?yàn)樗耆珱]有彎曲；而球面的高斯曲率不是零。這就反推出平面上不存在與球面上同樣的度規(guī)，也就在理論上論證了地圖永遠(yuǎn)畫不準(zhǔn)。

高斯的論證不僅對于整個(gè)地球，而且對于地球上的任意一塊區(qū)域都是可行的，這也就說明無法通過不斷增加測量精度來提高地圖的整體精度。值得一提的是，高斯的理論非但沒有終止大地測量學(xué)這一學(xué)科，而是為它的發(fā)展指出了新的道路，特別是高斯曲率這一不變量的引入，對地球表面的度規(guī)和彎曲給出了定量的描述。如果說高斯的理論給出了大地測量學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和理論骨架，那么洪堡大量的實(shí)際考察和觀測則賦予了這一學(xué)科以血肉。兩位先哲用各自的方式大大加深了人類對于自身所處的自然環(huán)境的認(rèn)識。

劉豫寧

博士，上海紐約大學(xué)數(shù)學(xué)助理教授。2006年畢業(yè)于武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系，2011年獲法國南錫第一大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)博士學(xué)位。