葛丹丹 鄒裕志 史萌萌

（1.華北電力大學(xué)新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 2.國網(wǎng)南平供電公司3.國網(wǎng)江西省供電公司景德鎮(zhèn)市分公司 ）

基于LMI的電力系統(tǒng)分散控制器設(shè)計(jì)

葛丹丹1鄒裕志2史萌萌3

（1.華北電力大學(xué)新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 2.國網(wǎng)南平供電公司3.國網(wǎng)江西省供電公司景德鎮(zhèn)市分公司 ）

發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)中加裝電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（PSS）是目前最常規(guī)的抑制低頻振蕩的措施，但基于傳統(tǒng)理論方法設(shè)計(jì)的PSS參數(shù)僅適用于某一特定運(yùn)行點(diǎn)。魯棒控制理論的發(fā)展彌補(bǔ)了傳統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的弊端，另外線性矩陣不等式（LMI）方法的出現(xiàn)也解決了求解困難的局面。本文基于線性時(shí)不變系統(tǒng)模型，利用LMI方法，研究了H∞狀態(tài)反饋分散控制器的設(shè)計(jì)，并以四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)互聯(lián)電力系統(tǒng)為例，進(jìn)行了實(shí)例設(shè)計(jì)，仿真分析表明，所得控制器能使閉環(huán)大系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。

線性時(shí)不變系統(tǒng)；分散控制；線性矩陣不等式；H∞狀態(tài)反饋

0 引言

低頻振蕩[1]是電網(wǎng)大規(guī)模互聯(lián)后極易發(fā)生的動態(tài)穩(wěn)定問題，尤其是在采用快速響應(yīng)高放大倍數(shù)勵(lì)磁系統(tǒng)的條件下更容易出現(xiàn)。這是由于快速勵(lì)磁調(diào)節(jié)器產(chǎn)生的附加阻尼為負(fù)值，抵消了系統(tǒng)本身所固有的正阻尼，使系統(tǒng)的總阻尼減少或成為負(fù)值[2,3]，以致系統(tǒng)在擾動作用后的功率振蕩長久不能平息，甚至導(dǎo)致自發(fā)的低頻振蕩，低頻振蕩的頻率一般在0.1～2.5Hz之間。

低頻振蕩會引起聯(lián)絡(luò)線過流跳閘、系統(tǒng)與系統(tǒng)或機(jī)組與系統(tǒng)之間的失步而解列，嚴(yán)重威脅電力系統(tǒng)的穩(wěn)定，因此解決低頻振蕩問題成為電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要課題之一。自20世紀(jì)60年代以來，相關(guān)學(xué)者在發(fā)生機(jī)制、分析方法和控制措施等方面進(jìn)行了較為廣泛的研究[4-7]，對低頻振蕩問題的認(rèn)識獲得了很大的進(jìn)步。在發(fā)電機(jī)側(cè)加裝電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（PSS）是目前抑制低頻振蕩的常用手段[8]，但由于PSS的參數(shù)是針對系統(tǒng)的某一特定頻率而進(jìn)行整定的，所以當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)改變時(shí)，控制結(jié)果必然會偏離最佳控制點(diǎn)，甚至?xí)谀承┻\(yùn)行點(diǎn)上存在著激發(fā)軸系扭振和使系統(tǒng)阻尼減小的危險(xiǎn)。此外，在多機(jī)系統(tǒng)中還存在安裝地點(diǎn)選擇和參數(shù)協(xié)調(diào)整定問題。

為了能在設(shè)計(jì)過程中考慮到系統(tǒng)的各種不確定性，同時(shí)彌補(bǔ)傳統(tǒng)線性PSS控制器只基于系統(tǒng)的某一個(gè)運(yùn)行點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)的缺陷，魯棒控制的方法被提出并廣泛地應(yīng)用于各種控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中[9-12]。此外，考慮到電力系統(tǒng)的地理覆蓋面極廣，若直接采用集中控制，各控制站之間實(shí)時(shí)信息的交換成本高且難以實(shí)現(xiàn)，因此按照各控制站地理位置的分布實(shí)行分散控制[13,14]是電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制的首選控制方法。目前，基于魯棒理論的分散控制問題的研究已取得進(jìn)展，但所有這些研究成果普遍存在計(jì)算復(fù)雜、求解困難的問題。隨著求解凸優(yōu)化問題內(nèi)點(diǎn)法的提出，LMI方法[15-17]以其高效的求解算法和能獲得全局最優(yōu)解引起了控制界的關(guān)注，成為魯棒控制分析與設(shè)計(jì)的重要方法。

為此，本文以四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，基于LMI方法對電力系統(tǒng)H∞狀態(tài)反饋分散魯棒控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，并利用Matlab的用于求解線性矩陣不等式問題的LMI工具箱[18]進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果顯示，設(shè)計(jì)得到的控制器對抑制互聯(lián)系統(tǒng)的低頻振蕩問題有較顯著的效果，保證了大系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定。

1 線性矩陣不等式LMI

線性矩陣不等式LMI可以表示成如下的一般形式：

L( x)＜ 0表示 L( x)是負(fù)定的，即對所有非零的向量或者 L( x)的特征值均小于零。若下式成立：

則相應(yīng)的矩陣不等式稱為非嚴(yán)格的線性矩陣不等式。

多個(gè)LMI可以用一個(gè)LMI來表示，即

等價(jià)于

線性矩陣不等式L( x)＜0這個(gè)約束條件定義了自變量空間中的一個(gè)凸集，即因此是自變量的一個(gè)凸約束。正是線性矩陣不等式的這一性質(zhì)使得可以應(yīng)用解決凸優(yōu)化問題的有效方法來求解相關(guān)的矩陣不等式問題[19]。

2 H∞理論

本文旨在設(shè)計(jì)具有H∞勵(lì)磁控制規(guī)律的分散控制器，因此在進(jìn)行其他相關(guān)工作的說明之前，首先以圖1所示的廣義系統(tǒng)為例，對H∞理論進(jìn)行簡要說明[20]。

圖1 廣義系統(tǒng)

P( s)表示一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，由以下的狀態(tài)空間描述：

式中， x∈Rn為狀態(tài)向量； u∈Rm為控制輸入；y∈Rp為測量輸出； z∈Rr為被調(diào)輸出； w∈Rq為外部擾動； K( s)為一個(gè)控制器的傳遞函數(shù)。

本節(jié)的目的是設(shè)計(jì)控制規(guī)律u=Kx，使得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的所有特征值均在左半開復(fù)平面：

設(shè)計(jì)分散的狀態(tài)反饋H∞控制器，大多通過解Riccati方程進(jìn)行，但是控制理論涉及較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，求解過程復(fù)雜，有時(shí)盡管問題本身有解，但也難以得到。LMI方法的出現(xiàn)，給從前不能或難以得到解析解的問題帶來希望，使得求解變得簡便。所以本文將該設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為如下優(yōu)化問題：

如果該優(yōu)化問題有解，則結(jié)合如下定理：

對系統(tǒng)（5），存在一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)（6）是漸進(jìn)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對稱正定矩陣X和矩陣W，使得以下的矩陣不等式成立：

進(jìn)而，如果上述矩陣不等式存在一個(gè)可行解X?,W?，則是系統(tǒng)（5）的一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器。

利用該優(yōu)化問題的最優(yōu)解可以得到系統(tǒng)（5）的最優(yōu)H∞控制器。

這個(gè)優(yōu)化問題是一個(gè)具有線性矩陣不等式約束和線性目標(biāo)函數(shù)的凸優(yōu)化問題，因此可以用LMI工具箱中的求解器mincx來求解該問題，從而實(shí)現(xiàn)多機(jī)電力系統(tǒng)最優(yōu)魯棒勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)。

3 設(shè)計(jì)步驟

具體的計(jì)算流程及算法步驟[21]如下：

1）列出多機(jī)系統(tǒng)的元件數(shù)學(xué)模型，根據(jù)潮流計(jì)算結(jié)果計(jì)算各代數(shù)量和狀態(tài)量的初值。將各元件模型在工作點(diǎn)處線性化，形成全系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程

2）用QR分解法計(jì)算系統(tǒng)的全部特征根ni及其相應(yīng)的左右特征向量ml，m。

3） 將 特 征 根 中 振 蕩 頻 率 在0.2～0.5Hz的根取出，計(jì)算其與各狀態(tài)量xk的相關(guān)因子，進(jìn)而計(jì)算iλ的機(jī)電回路相關(guān)比cyyz(:,i)，找出低頻振蕩模式 (:,)1 cyyz i＞。

5）根據(jù)機(jī)電模式λi和狀態(tài)量xk的相關(guān)因子幅值大小可判斷與哪一臺發(fā)電機(jī)強(qiáng)相關(guān)，從而根據(jù)需要決定是否安裝分散控制器。

6）依據(jù)式（7）在Matlab中編程求得各分散控制器的控制規(guī)律。

7）針對實(shí)例用上述方法設(shè)計(jì)分散控制器，并仿真驗(yàn)證該方法的有效性。

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

本文選擇IEEE四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)作為研究對象，進(jìn)行分散控制器設(shè)計(jì)。該標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，包括兩個(gè)相似的區(qū)域，兩區(qū)域間用一條弱聯(lián)絡(luò)線連接，每個(gè)區(qū)域有兩臺耦合的機(jī)組。

圖2 IEEE四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

4.1 設(shè)計(jì)過程

結(jié)合第3節(jié)給出的設(shè)計(jì)步驟，對圖2所示的系統(tǒng)基于某一穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)進(jìn)行線性化后，計(jì)算系統(tǒng)的特征值，鑒別系統(tǒng)的低頻振蕩模式，依據(jù)每個(gè)特征值的機(jī)電回路相關(guān)比決定分散控制器的安裝位置。表1給出了計(jì)算得到的各機(jī)電模式和各狀態(tài)量的相關(guān)因子。

表1 各機(jī)電模式及強(qiáng)相關(guān)狀態(tài)量

-0.2705 + 5.9925i-0.2705 - 5.9925i?2δ-0.2636 + 5.5871i ?w3-0.2636 - 5.5871i?3δ-0.9071 + 3.7679i Efd1?-0.9071 - 3.7679i ?Eq′1 0.1962 + 3.5281i?3δ 0.1962 - 3.5281i ?w3 0.0002 + 0.276i ′0.0002 - 0.276i ?Eq′1?Efd1

由上表可見，其中前八個(gè)機(jī)電模式僅與第二臺機(jī)組的狀態(tài)量強(qiáng)相關(guān)，所以第二臺機(jī)組需裝設(shè)分散控制器，且被調(diào)輸出為其第二、三、四個(gè)狀態(tài)量。第九、第十、第十三、十四個(gè)機(jī)電模式與第三臺機(jī)組的第一、第二個(gè)狀態(tài)量強(qiáng)相關(guān)，那么第三臺機(jī)組也應(yīng)該裝設(shè)分散控制器，且選擇第三和第四個(gè)狀態(tài)量為被調(diào)輸出，同樣地，第一臺機(jī)組也需要裝設(shè)分散控制器，并選擇第三、第四個(gè)狀態(tài)量為被調(diào)輸出。各機(jī)電模式均與第四臺機(jī)組無關(guān)，因此，理論上來講，不需裝設(shè)分散控制器。

根據(jù)以上分析，編程得到第一、二、三臺機(jī)組對應(yīng)分散控制器的反饋增益，但在上述條件下，由公式得到的對應(yīng)于第三臺機(jī)組的分散控制器的反饋增益有可能是不正確的，因?yàn)楣降木仃囉锌赡苡蟹瞧娈惤?。所以這里嘗試重新選擇被調(diào)輸出量，經(jīng)驗(yàn)證，選擇第三臺機(jī)組的狀態(tài)量作為被調(diào)輸出，也能保證系統(tǒng)在受到小干擾的情況下，保持靜態(tài)穩(wěn)定，此時(shí)各分散控制器的反饋增益見表2。

表2 各機(jī)組分散控制器的反饋增益

加裝分散控制器后（見表3），所得閉環(huán)系統(tǒng)的特征值均在復(fù)平面的左半部分，根據(jù)李雅普諾夫小干擾穩(wěn)定性判斷原則，系統(tǒng)是靜態(tài)穩(wěn)定的。運(yùn)行相關(guān)程序得到系統(tǒng)的低頻振蕩模式的阻尼比，此時(shí)系統(tǒng)低頻振蕩模式的阻尼比為ξ = 0.02426225121813，根據(jù)欠阻尼原理，系統(tǒng)的總阻尼很小時(shí)，如果受到擾動，系統(tǒng)中的功率振蕩長久不能平息，就會造成減幅或等幅的低頻振蕩，所以這里系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定需要較長的時(shí)間（具體結(jié)果見4.2節(jié)）。

表3 加裝分散控制器前后系統(tǒng)的特征值

4.2 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提到的控制方案在提高系統(tǒng)穩(wěn)定性能方面的效益，假定系統(tǒng)中機(jī)組一的機(jī)械轉(zhuǎn)矩增加0.5%的機(jī)械功率階躍擾動，擾動持續(xù)0.5s后消失，此時(shí)系統(tǒng)存在低頻振蕩，結(jié)果顯示未加裝控制器時(shí)系統(tǒng)本身是不穩(wěn)定的，各發(fā)電機(jī)呈增幅振蕩，而加裝分散控制器后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到了明顯的改善，較好地抑制了低頻振蕩，但因?yàn)橄到y(tǒng)總阻尼較小，恢復(fù)穩(wěn)定需要較長時(shí)間。仿真結(jié)果如圖3～4所示。

圖3 加控制器前發(fā)電機(jī)一和二的相對功角變化曲線

圖4 加控制器后發(fā)電機(jī)一和二的相對功角變化曲線

需要說明的是，本文設(shè)計(jì)的是孤立的分散控制器，其設(shè)計(jì)目標(biāo)只是滿足某一直觀的、簡單的、局部的要求，換句話說，各控制器雖然能各自為其局部的目標(biāo)服務(wù)，但很難保證各局部控制器的控制作用不發(fā)生沖突。即使各控制器之間不發(fā)生相互沖突，要使它們相互協(xié)調(diào)，使系統(tǒng)總體性能達(dá)到最佳，也幾乎是不可能的。所以由仿真結(jié)果可以看出，因?yàn)檎枘徇^小，在系統(tǒng)受到小擾動時(shí)，會經(jīng)過一個(gè)較長時(shí)間的低頻振蕩才能靜態(tài)穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

本文結(jié)合子系統(tǒng)狀態(tài)量反饋分散控制理論研究了多機(jī)電力系統(tǒng)勵(lì)磁控制，并基于LMI方法解決了電力系統(tǒng)分散控制器的具體設(shè)計(jì)過程。研究結(jié)果顯示，本文給出的控制器設(shè)計(jì)思路，計(jì)算量很小，避免了采用全局模型帶來的過大計(jì)算量而無法應(yīng)用于大系統(tǒng)的問題。另外，本文采用的計(jì)算各狀態(tài)量與各特征值的機(jī)電回路相比，確定與各特征值強(qiáng)相關(guān)的狀態(tài)量的方式，可以決定分散控制器的安裝位置和順序，從而可以解決大系統(tǒng)中分散控制安裝順序的問題。

在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，由于許多限制或者附加條件，導(dǎo)致求解問題越來越困難，但這些一般都可轉(zhuǎn)化成求解LMI的標(biāo)準(zhǔn)問題，且LMI的標(biāo)準(zhǔn)問題有多種數(shù)值解法，而它們共同的思路就是把LMI問題看作凸優(yōu)化問題來處理。LMI有多種標(biāo)準(zhǔn)問題的形式，無論理論上還是實(shí)際上都可以有效地求解，即確定這些問題的解是否存在，且求解程序是比較簡單的，求解時(shí)間很短。因此，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和優(yōu)化理論的發(fā)展，基于線性矩陣不等式的設(shè)計(jì)方法今后會有很大的發(fā)展和應(yīng)用。

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2017-06-20）