陳 劍,劉 策,楊志遠(yuǎn),杜選福

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

基于6Sigma方法的發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳 劍,劉 策,楊志遠(yuǎn),杜選福

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

為提高發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的隔振性能,文章將穩(wěn)健設(shè)計(jì)與多目標(biāo)優(yōu)化相結(jié)合,提出了一種發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化方法。該方法采用第二代非劣排序遺傳算法對(duì)懸置剛度進(jìn)行確定性優(yōu)化;考慮懸置剛度的不確定性,利用蒙特卡洛模擬方法獲得確定性優(yōu)化方案的可靠性,并利用6Sigma優(yōu)化方法對(duì)懸置系統(tǒng)做了進(jìn)一步穩(wěn)健優(yōu)化;最后以某型轎車的發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)優(yōu)化為例,驗(yàn)證了該方法的有效性。

懸置系統(tǒng);多目標(biāo)優(yōu)化;蒙特卡洛模擬;6Sigma優(yōu)化;穩(wěn)健優(yōu)化

發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)作為連接發(fā)動(dòng)機(jī)與車架的彈性支撐系統(tǒng),能夠衰減動(dòng)力總成和車架之間的振動(dòng)傳遞,起到支承、隔振和限位的作用[1]。改善懸置系統(tǒng)的性能,不僅能降低動(dòng)力總成本身的振動(dòng),還能減小其傳遞到車架上的動(dòng)反力[2]。目前,國內(nèi)外研究者對(duì)懸置系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),很少考慮懸置參數(shù)的不確定性。然而,懸置元件的制造、加工和使用過程中存在大量的不確定性,懸置參數(shù)的細(xì)微偏差或波動(dòng)容易造成懸置系統(tǒng)性能不穩(wěn)定,甚至存在失效的可能[3]。因此,在懸置系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中,應(yīng)對(duì)其性能進(jìn)行穩(wěn)健性分析和優(yōu)化。

為避免傳統(tǒng)優(yōu)化算法因較依賴梯度信息而得到局部最優(yōu)解[4],本文針對(duì)汽車發(fā)動(dòng)機(jī)懸置動(dòng)剛度的不確定性問題,以懸置剛度為設(shè)計(jì)變量且考慮其不確定性,以固有頻率的合理配置為約束條件,以6個(gè)方向的解耦率、懸置系統(tǒng)動(dòng)反力和動(dòng)反力穩(wěn)健性函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)向量,將多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。

1 能量解耦和動(dòng)反力穩(wěn)健函數(shù)

1.1 懸置系統(tǒng)的解耦率

一般情況下,發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)6個(gè)固有振型振動(dòng)時(shí)存在慣性耦合和彈性耦合,耦合對(duì)懸置系統(tǒng)的隔振性能產(chǎn)生不利影響,使共振頻率范圍擴(kuò)大,系統(tǒng)共振的幾率加大,因此須進(jìn)行解耦設(shè)計(jì)。通常情況下,主要考慮使動(dòng)力總成垂直方向(z軸)以及繞曲軸(x軸)轉(zhuǎn)動(dòng)方向上達(dá)到解耦就認(rèn)為解耦成功。

系統(tǒng)作i階主振動(dòng)時(shí)動(dòng)能為:

(1)

其中,ωi為系統(tǒng)的第i階固有頻率;Mkl為質(zhì)量矩陣第k行第l列元素;(φi)l、(φi)k分別為第i階主振型的第l個(gè)和第k個(gè)元素。

懸置系統(tǒng)在第i階模態(tài)下,第k個(gè)廣義坐標(biāo)上振動(dòng)能量占系統(tǒng)總能量的百分比為:

(2)

其中,Tki為在第k個(gè)廣義坐標(biāo)上動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的解耦率,其值越大,表示系統(tǒng)在第k個(gè)廣義坐標(biāo)上的解耦程度越高。一般認(rèn)為,當(dāng)某個(gè)方向上能量解耦率超過85%,該方向近乎完全解耦。

1.2 懸置系統(tǒng)的動(dòng)反力及穩(wěn)健性函數(shù)

汽車發(fā)動(dòng)機(jī)在怠速工況且不考慮阻尼的情況下,懸置系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為:

(3)

其中,Fe為系統(tǒng)所受的簡諧激勵(lì)力矢量。

懸置系統(tǒng)受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解為:

Udyn=(K-ω2M)-1Fe

(4)

第i個(gè)懸置傳遞給車身的動(dòng)反力[5]為:

fi=[-ki┆kiri]Udyn

(5)

其中,ki為第i個(gè)懸置在全局坐標(biāo)系中的剛度矩陣;ri為第i個(gè)懸置位置坐標(biāo)的反對(duì)稱陣。

怠速工況下懸置系統(tǒng)傳遞給車身的總動(dòng)反力[6]大小為:

(6)

其中,fxi、fyi、fzi為第i個(gè)懸置在怠速工況下動(dòng)反力的3個(gè)分量。

發(fā)動(dòng)機(jī)作為汽車的兩大振源之一,其傳遞到車身的動(dòng)反力大小直接表征系統(tǒng)隔振性能的優(yōu)劣，其值越低,表明懸置系統(tǒng)隔振性能越好。動(dòng)反力波動(dòng)過大不但達(dá)不到優(yōu)化目的,而且影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作性能[7]?？紤]到懸置參數(shù)的不確定性,本文建立動(dòng)反力穩(wěn)健性函數(shù)為:

f(kn)=μF/σF

(7)

其中,μF和σF分別為動(dòng)反力的均值和方差,通過蒙特卡洛模擬得到其值,兩者的比值反映懸置系統(tǒng)參數(shù)不確定性對(duì)動(dòng)反力不確定性的影響。

2 多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法

在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,目標(biāo)函數(shù)向量包含有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)。這些目標(biāo)函數(shù)通常都是相互沖突的,一個(gè)目標(biāo)性能的改善常伴隨著另一個(gè)目標(biāo)性能的下降[5]。因此,不存在一個(gè)優(yōu)化解同時(shí)使所有目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu),但存在能同時(shí)較好地滿足各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的解,即Pareto 最優(yōu)解。NSGA-Ⅱ算法是一種基于快速非劣性排序的改進(jìn)型多目標(biāo)遺傳算法，其高效性在于運(yùn)用一個(gè)非支配分類程序,使多目標(biāo)簡化到一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)的方式,該算法能解決任意數(shù)目的目標(biāo)問題,在工程中有著廣泛的應(yīng)用,其確定性優(yōu)化模型為:

Minimizefm(x),m=1,2,…,M;

Subject togj(x)≤0,j=1,2,…,J;

(8)

傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化策略無法用數(shù)學(xué)模型來體現(xiàn)設(shè)計(jì)變量不確定因素的影響,因此優(yōu)化結(jié)果具有較低的可靠性和魯棒性。如果直接采用確定性優(yōu)化得到的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行生產(chǎn),那么存在較大的質(zhì)量風(fēng)險(xiǎn),甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失效。為解決這些不確定因素帶來的影響,從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā),在設(shè)計(jì)之初引入概率模型分析不確定因素給產(chǎn)品性能和質(zhì)量帶來的影響,借助于概率分析方法來控制隨機(jī)變量對(duì)產(chǎn)品性能和質(zhì)量的影響,獲得滿足性能和可靠性的高質(zhì)量產(chǎn)品。

2.2 6Sigma穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于6Sigma的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅考慮目標(biāo)函數(shù)均值uf的變化,而且考慮目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σf的變化。其目標(biāo)是尋找設(shè)計(jì)空間的“平坦”區(qū)域,提高平均性能，最小化由設(shè)計(jì)變量的不確定性造成的輸出響應(yīng)波動(dòng),在提高可靠性的同時(shí)降低系統(tǒng)對(duì)輸入?yún)?shù)的敏感度,提高魯棒性,其6Sigma穩(wěn)健優(yōu)化模型為:

MinimizeF(μyi(x),σyi(x));

Subject togj(μyi(x),σyi(x))≤0，

i=1,2,…,I，j=1,2,…,J

(9)

其中,μXi、σXi為Xi的均值、標(biāo)準(zhǔn)差;μyi(x)、σyi(x)為輸出性能參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差；F(μyi(x)、σyi(x))為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);n為σ水平數(shù);gj(μyi(x)、σyi(x))為約束函數(shù)。

6Sigma優(yōu)化方法的基本思想是對(duì)當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng),在平均值周圍生成一組樣本點(diǎn),然后通過統(tǒng)計(jì)分析單一設(shè)計(jì)點(diǎn)上輸出響應(yīng)的可靠度和σ水平。其關(guān)鍵是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性,主要方法有蒙特卡洛抽樣(Monte Carlo sampling,MCS)、試驗(yàn)設(shè)計(jì)(design of experiment,DOE)和基于可靠性評(píng)價(jià)等。本文采用計(jì)算精度最高的蒙特卡洛模擬方法。該方法是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算方法,將不確定性因素都建模為在已知概率分布的隨機(jī)變量,通過隨機(jī)抽樣可以估計(jì)系統(tǒng)響應(yīng)的概率分布特征(均值、標(biāo)準(zhǔn)方差等)。MCS方法的采樣規(guī)則有傳統(tǒng)的簡單隨機(jī)采樣和基于方差降低技術(shù)的描述采樣2種。

本文在進(jìn)行6Sigma穩(wěn)健優(yōu)化時(shí)為減少計(jì)算量采用描述采樣,該方法將每個(gè)隨機(jī)變量所定義的空間分為相等的概率子空間,對(duì)每個(gè)隨機(jī)變量子空間只進(jìn)行1次分析(每個(gè)隨機(jī)變量的子空間只與另外的隨機(jī)變量的子空間結(jié)合1次),離散的2個(gè)變量空間中的每一行和每一列在隨機(jī)順序中只被取樣1次。與簡單的隨機(jī)抽樣相比,描述抽樣只需要較少的抽樣點(diǎn)就能得到同樣的可信度或者更好的響應(yīng)估計(jì)[8]。

基于6Sigma方法的汽車發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖1所示。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

3.1 背景

某型轎車怠速時(shí)車身和方向盤抖動(dòng)厲害,現(xiàn)已確定主要是由于發(fā)動(dòng)機(jī)懸置振動(dòng)耦合導(dǎo)致,因此對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)按圖1流程進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.2 初始數(shù)據(jù)

原設(shè)計(jì)懸置各向剛度見表1所列,其他初始懸置參數(shù)省略。

表1 原設(shè)計(jì)懸置的各向靜剛度 N/mm

優(yōu)化前該車懸置系統(tǒng)動(dòng)反力F=292.36 N,各階固有頻率和解耦率見表2所列。

表2 原設(shè)計(jì)的固有頻率與解耦率 %

從表2可以看出,懸置系統(tǒng)第1階和第2階振動(dòng)固有頻率間隔f1,2只有0.45 Hz,繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的解耦率為47.80%,繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的解耦率為49.10%,均低于解耦率指標(biāo)要求,因此需要對(duì)懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。

考慮到懸置剛度不確定性,應(yīng)用蒙特卡羅法進(jìn)行描述采樣計(jì)算。假設(shè)懸置剛度的波動(dòng)服從正態(tài)分布,方差為均值的15%,可得動(dòng)反力的均值μF=289.28,方差σF=35.67,由此可知?jiǎng)臃戳Φ姆€(wěn)健型函數(shù)值為8.11。

3.3 確定性優(yōu)化

對(duì)于上述懸置系統(tǒng)先進(jìn)行確定性優(yōu)化,優(yōu)化模型為：

Minimize

F(kn)=(f(kn),fr(kn),Dm(kn)=1-di),

i=x,y,z,xr,yr,zr;m=1,2,…,6;

Subject to 6≤fl≤16,l=1,2,…,6;

50≤kn≤305,n=1,2,…,12;

fj，j+1=|fj+1-fj|≥1,j=0,1,…,4

(10)

其中,kn為懸置剛度設(shè)計(jì)變量;di為6個(gè)模態(tài)解耦率;fl(l=1,2,…,6)為第1階固有頻率;fj，j+1為第j+1階固有頻率與第j階固有頻率的間隔;f(kn)為怠速工況下動(dòng)反力;fr(kn)為動(dòng)反力穩(wěn)健型函數(shù)的倒數(shù)。

懸置系統(tǒng)確定性優(yōu)化后的動(dòng)反力大小F=186.64 N,懸置點(diǎn)各向剛度見表3所列,并對(duì)確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行6Sigma穩(wěn)健分析，結(jié)果見表4所列。

表3 優(yōu)化后懸置各向靜剛度值 N/mm

表4 優(yōu)化前、后結(jié)果對(duì)比及σ水平

由表4可知,系統(tǒng)各階頻率之間的差值都在1 Hz以上,符合頻率合理配置的要求;優(yōu)化后系統(tǒng)的解耦率都高于85%,而懸置系統(tǒng)一階固有頻率和對(duì)振動(dòng)影響大的繞x軸方向和z軸方向的解耦率的σ水平都較低,如圖2所示，不滿足穩(wěn)健性要求,需對(duì)其進(jìn)行6Sigma穩(wěn)健優(yōu)化。

經(jīng)蒙特卡洛抽樣模擬,動(dòng)反力均值μF=182.75,方差為σF=9.87,動(dòng)反力的穩(wěn)健性函數(shù)值為18. 51。

圖2 確定性優(yōu)化繞x軸、z軸方向解耦率σ水平

3.4 6Sigma穩(wěn)健優(yōu)化

針對(duì)實(shí)際工程中側(cè)重點(diǎn)的不同,對(duì)各頻率約束選取不同的σ水平,其6Sigma優(yōu)化的模型為：

Minimize

F(kn)=(f(kn),fr(kn),Dm(kn)=1-di)，

i=x,y,z,xr,yr,zr，m=1,2…,6;

Subject to

6≤μ(fx)±6σ(fx)≤10,

8≤μ(fy)±3σ(fy)≤12,

6≤μ(fz)±3σ(fz)≤8,

8≤μ(fxr)±6σ(fxr)≤12,

8≤μ(fyr)±3σ(fyr)≤14,

8≤μ(fzr)±3σ(fzr)≤16,

1+3σ(fj,j+1)≤μ(fj,j+1),

(11)

6Sigma穩(wěn)健優(yōu)化后的動(dòng)反力大小F=220.56 N,懸置點(diǎn)各向剛度見表3,6Sigma優(yōu)化結(jié)果及其σ水平見表4。

由6Sigma優(yōu)化結(jié)果可知,與確定性優(yōu)化相比,懸置系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)名義值幾乎不變,z方向和xr方向模態(tài)解耦率和第1階固有頻率均達(dá)到6σ水平,相比穩(wěn)健優(yōu)化前有明顯的改善,如圖3所示。經(jīng)蒙特卡洛抽樣,動(dòng)反力均值為μF=216.68,方差為σF=10.16,動(dòng)反力穩(wěn)健型函數(shù)值為21.32。

圖3 6Sigma優(yōu)化后繞x軸、z軸方向解耦率的σ水平

4 結(jié) 論

(1) 本文基于6Sigma方法,將多目標(biāo)優(yōu)化與6Sigma穩(wěn)健設(shè)計(jì)相結(jié)合,應(yīng)用遺傳算法對(duì)懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法在對(duì)懸置剛度進(jìn)行尋優(yōu)的同時(shí),還考慮了懸置剛度的不確定性,從而在實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的同時(shí)提高了懸置系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)健性。

(2) 對(duì)某轎車的發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì),結(jié)果表明: 在固有頻率滿足合理配置要求的同時(shí),穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅大幅降低了懸置系統(tǒng)的動(dòng)反力,而且提高了動(dòng)反力的穩(wěn)健性,對(duì)工程應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。

[1] 方錫邦,汪佳,楊祖昆,等.轎車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,28(2):125-128.

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RobustoptimizationdesignofenginemountingsystembasedonSixSigmamethod

CHEN Jian,LIU Ce,YANG Zhiyuan,DU Xuanfu

(School of Mechanical Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

To improve the performance of vibration isolation of engine mounting system, a multi-objective robust optimization method is proposed, combining robust design and multi-objective optimization. In the method, a deterministic optimization on mount stiffness is conducted by using non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅱ. Considering the uncertainty of mount stiffness, Monte Carlo simulation technique is used to analyze the reliability of deterministic optimization scheme, and Six Sigma optimization is adopted to perform robust optimization on mounting system. Finally, the effectiveness of the proposed method is validated by an example of engine mounting system optimization for a car.

mounting system; multi-objective optimization; Monte Carlo simulation; Six Sigma optimization; robust optimization

2016-03-21；

2016-07-20

合肥工業(yè)大學(xué)產(chǎn)學(xué)研校企合作資助項(xiàng)目(W2015JSKF0392)

陳 劍(1962-),男,河南固始人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.11.006

U464.12

A

1003-5060(2017)11-1469-05

(責(zé)任編輯 胡亞敏)