李鮮 李鵬洋

摘要：本文基于多幀且互有位移的圖像序列，構(gòu)建了從低分辨率圖像（LR）序列獲取高分辨率圖像（HR）的算法。

我們首先對HR圖像進(jìn)行模糊、幾何變換和降采樣處理得到LR圖像，再用平移矩陣對得到的LR圖像平移。將多次平移后的圖像進(jìn)行雙線性插值處理和三次樣條插值處理，由此得到了多幀LR圖像初步轉(zhuǎn)化成HR的圖像。

考慮到圖像平移后數(shù)據(jù)處理量的迅速增加，從使用較少幀數(shù)圖像的角度出發(fā)，本文采用了遞歸的最速下降迭代法（RSD），通過證明迭代系數(shù)λ的收斂性和有效性，從而得到了經(jīng)循環(huán)遞歸的最速下降迭代法處理后的HR圖像。此外，考慮到實際圖像在小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中的映射，可以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊，加強高通濾波在細(xì)節(jié)處的銳化，并且在去噪的同時實現(xiàn)了圖像一定程度的壓縮和邊緣特征的提取。由此找到了由多幀低分辨率圖像序列在一維小波空間映射的情況下，得到的有最優(yōu)細(xì)節(jié)的高分辨率圖像。

關(guān)鍵詞：高通濾波處理；峰值信噪比；最速下降迭代；小波分析

1 多幀圖像的插值與擬合

利用不同圖像之間由于幾何變換而產(chǎn)生的類似但不相同的信息，需要對圖像序列進(jìn)行精確的配準(zhǔn)。采用梯度方法（gradient method）進(jìn)行圖像配準(zhǔn)。幾何變換采用純平移模型，考慮泰勒級數(shù)的二維離散表示數(shù)字圖像形式：

上式中，（m-m0）和（n-n0）分別是豎直和水平方向上的平移量，記為Sm和Sn在求解Sm和Sn的時候可采用最小均方準(zhǔn)則，即使得下式最小：

式中，M和N分別表示x和y方向總的采樣點數(shù)，得到表示成矩陣形式的方程組，可簡寫為：

插值后圖像的高頻細(xì)節(jié)被丟失，且無唯一解，難以反映出圖像的局部細(xì)節(jié)和特點。采用了空間濾波中的線性銳化濾波和高通濾波器。

一般情況下，像素的鄰域比該像素要大，即該像素的鄰域中除了本身外還包括其他像素?？衫媚０迮c圖像進(jìn)行卷積，每個模板實際上是一個二維數(shù)組，其中各個元素的取值決定模板的功能，這種模板操作也稱為空間域濾波。

線性高通濾波器是最常用的線性銳化濾波器。這種濾波器的中心系數(shù)都是正的，而周圍的系數(shù)都是負(fù)的。對3*3的模板來說，典型的系數(shù)取值是：

事實上這是拉普拉斯算子，所有的系數(shù)之和為0。當(dāng)這樣的模板放在圖像中灰度值是常數(shù)或變化很小的區(qū)域時，其輸出為0或很小。這個濾波器將原來的圖像中的零頻域分量去除了，也就是將輸出的圖像的平均值變?yōu)?，這樣就會有一部分像素的灰度值小于0。在圖像處理中我們一般只考慮正的灰度值，所以還有將輸出圖像的灰度值范圍通過尺度變回到所要求的范圍。

此外，考慮到頻率域的圖像增強。頻率域增強的主要步驟是：

（1）技術(shù)所需增強圖的傅立葉變換；

（2）將其與一個（根據(jù)需要設(shè)計的）轉(zhuǎn)移函數(shù)相乘；

（3）再將結(jié)果進(jìn)行傅立葉反變換以得到增強的圖。

頻率域增強的兩個關(guān)鍵步驟：

（1）將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域所需的變換及將圖像從頻率域空間轉(zhuǎn)換回空間域所需的變換；

（2）在頻率域空間對圖像進(jìn)行增強加工操作。

常用的頻率域增強方法有低通濾波和高通濾波。又由于圖像的能量大部分集中在幅度譜的低頻和中頻度，而圖像的邊緣和噪聲對應(yīng)于高頻部分。高通濾波是衰減或抑制低頻分量，讓高頻的分量通過，其作用是使圖像得到銳化處理，突出圖像的邊界。

一般情況下，高通濾波對噪聲沒有任何抑制作用，為了既加強圖像的細(xì)節(jié)又抑制噪聲，可采用高頻加強濾波。高斯高通濾波的產(chǎn)生公式為：

由于上述方程組是在假設(shè)位移較小的情況下得到的，而圖像是以離散形式記錄的，位移可能不夠小，此時就需要用迭代的方法不斷地對位移量進(jìn)行修正[5]。

2 基于循環(huán)遞歸的RSD算法

RSD算法可以寫為：

（1）初始值 X0任意 （1）

（2）Xk+1i=Xki+λHTi（Yi-Hi Xki） （2）

（3）X0i+1=X∞i，i=1，2，…，L （3）

其中Yi∈RM2×1表示第i幀采樣圖像，L為采樣圖像數(shù)，Hi∈RM2×N2表示與第i幀低分辨率圖像相對應(yīng)的觀察矩陣，Hi=SHiCi。Xki表示使用第i幀低分辨率圖像進(jìn)行k次迭代后，高分辨率圖像的估計值。式（2）表示對于當(dāng)前輸入的第幀低分辨率圖像，我們使用最速下降迭代法求解高分辨率圖像的估計，其中λ是迭代系數(shù)，表示對于下一幀輸入的低分辨率圖像，我們將上一幀迭代的結(jié)果作為其迭代的初始值。

設(shè)X*為方程（2）的正確解，Xk是第k次迭代的估計值，第k次迭代的誤差為ek=X*-Xk，由（3）式得

ek+1=X*-Xk-λ HT（Y-HXk）=（I-λHTHi）e-λ

考慮到E[V]=0，平均迭代誤差可以寫成

E[ek+1]=（I-λ HTHi）k+E*[e0]

由于HT H滿秩，可以選擇λ使‖I-λ HTHi‖<1，從而式（3）收斂于X*。

因此RSD算法的迭代過程，可以看成是對誤差空間不斷進(jìn)行正交投影的過程。由于正交投影滿足‖Px‖≤‖x‖，所以在整個迭代的過程中誤差矢量的范數(shù)只可能減少，而不會導(dǎo)致發(fā)散，所以RSD算法是收斂的。

3 小波變化分析

在有小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，尋找對原圖像的最佳逼近，用來完成原圖像和噪聲的區(qū)分。

由此可見，尋找實際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射是小波去噪方法，它可以得到原圖像的最佳恢復(fù)。小波圖像銳化就是把圖像中尖銳的部分盡可能地提取出來，用于檢測和識別等領(lǐng)域。它的任務(wù)是突出高頻信息，抑制低頻信息，從快速變化的成分中分離出標(biāo)識系統(tǒng)特性或區(qū)分子系統(tǒng)邊界的成分，以便進(jìn)一步的識別、分割等操作。

使用小波方法進(jìn)行高通濾波得到的高頻結(jié)果比較純粹，完全是原圖像上的邊緣信息，而使用小波方法，不僅只有高頻成分，還有變換非常緩慢的低頻成分，這是因為二者同樣在小波系數(shù)上體現(xiàn)為絕對值較低的部分。

了較大提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]龔聲蓉，劉純平，趙勛杰，蔣德茂.數(shù)字圖像處理與分析.清華大學(xué)出版社.2006

[2]劉榴娣，劉明奇，黨長民.實用數(shù)字圖像處理[M].北京理工大學(xué)出版社，1998.

[3]龔耀寰.自適應(yīng)濾波器[M].北京：電子工業(yè)出版社，1989.

[4]鄧記才，裴炳南.一種求解LMS算法收斂步長閾值的新方法[J].信號處理，1996，12（2）：52-56.

作者簡介：

李鮮（1995.09-）女，漢族，身份證號：411324199509144222，本科生，河南省南陽市，研究方向：給排水科學(xué)與工程

李鵬洋（1996.11-）男，漢族，身份證號：410527199611260632，本科生，河南省安陽市，研究方向：給排水科學(xué)與工程