向 易，阮曉莉，李必文

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

基于憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多Mittag-Leffler穩(wěn)定

向 易，阮曉莉，李必文

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

討論了基于憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題.利用Lyapunov方法得到Mittag-Leffler穩(wěn)定,分析的結(jié)果來(lái)自于右端不連續(xù)的分?jǐn)?shù)階微分方程原理，推廣和提高了傳統(tǒng)的基于憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)結(jié)果。

分?jǐn)?shù)階；基于憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；Mittag-Leffler穩(wěn)定；多穩(wěn)定

1 預(yù)備知識(shí)和系統(tǒng)描述

在這個(gè)部分,我們將給出一些定義和引理, 以及模型介紹, 并提出幾個(gè)假設(shè).

定義1[1]函數(shù)f是α階分?jǐn)?shù)積分的定義為:

其中t≥t0,α>0,Г(·) , 為Gamma函數(shù).

定義2[1]函數(shù)f∈Cn+1([t0,+∞],R)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(在[t,+∞)上所有n+1階微分函數(shù)的集合)的定義為:

其中t≥t0,n是一個(gè)正整數(shù)使得n-1<α

定義3[1]定義兩個(gè)參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)為：

其中μ>0,v>0 ,z∈,代表復(fù)數(shù)集.

如果μ=v=1, 則E1,1(z)=exp(z).

含有雙參數(shù)的Mittag-Leffler的拉普拉斯變化為

其中t>0,θ∈R,Re(s)表示s的實(shí)部分,z∈Rn, ‖z‖=max1≤i≤n|zi|.

給出了一類(lèi)基于憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:

其中i=1,2,…,n,t≥0,n代表基于憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的個(gè)數(shù),x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T,xi(t) 代表第i個(gè)神經(jīng)元在時(shí)間t的狀態(tài).ci>0是常數(shù),Ii=(I1,I2,…In)T∈R代表外部輸入矢量,也是常矢量.fi(·)是非線性激活函數(shù),aij(xj(t))是連接憶阻權(quán)重, 并定義為

備注1： 在憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)中，由于aij(xj(t))是不連續(xù)的, 因此微分方程的解的一般定義不能用在這里. 為了解決這個(gè)問(wèn)題, Filippov提出了右端不連續(xù)的微分方程的解的概念.基于這個(gè)定義,一個(gè)右端不連續(xù)的微分方程與一個(gè)已確定的微分包含有相同的解.

現(xiàn)在我們介紹Filippov解的概念[2]. 考慮下面這個(gè)微分系統(tǒng):

其中f(t,x)在x中是不連續(xù)的.

定義4[3]考慮集值映射F∶R×Rn→Rn的定義

接下來(lái), 我們考慮憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1).利用集值映射, 有

這里i,j=1,2,…,n. 那么憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的Filippov解的定義如下.

定義5[3]如果x(t)是在任意緊致區(qū)間[0,t)上完全連續(xù),x(0)=x0, 并且有

其中t≥0,i=1,2,…,n,0<α<1. 如果存在γij∈K(aij(xij(t)))使得

這里t∈[0,T),i=1,2,…,n.

則當(dāng)初值條件是x(0)=x0,t∈[0,T)時(shí), 函數(shù)x(t)是(1)的解.

為了確定憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的解的存在性，我們給出下面假設(shè)：

假設(shè)1 激活函數(shù)fi(u)是連續(xù)的, 并且存在常數(shù)mi

mi

假設(shè)2 存在常數(shù)

定義6[4]P=(Pij)n×n是一個(gè)非奇異M-矩陣, 如果P滿足:

1)Pij≤0,i≠j,i,j=1,2,…,n;

2) 存在矢量ω>0, 滿足Pω>0.

我們定義局部的Mittag-Leffler穩(wěn)定如下.

其中M,σ是正常數(shù). 則憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的平衡點(diǎn)x*∈D也被稱(chēng)為是在D中的局部Mittag-Leffler穩(wěn)定.

引理1[4]假設(shè)0<α<1,t0≥0并且m∈=([t0,+∞),R)是可微. 如果存在t1>t0使得

m(t1)=0,對(duì)于t0≤t0(Dαm(t1)≥0).

引理2[4]如果h(t)∈C1([0,+∞),R), 那么任意0<α<1

引理3[3]如果對(duì)于任意t∈[0,+∞)有DαV(t)≤θV(t), 那么對(duì)于t>0有

V(t)≤V(0)Eα(θtα) 其中θ為常數(shù)

下面我們通過(guò)分段相空間法決定平衡點(diǎn)的數(shù)量. 首先,定義邊界函數(shù)如下:

對(duì)于任意區(qū)間I?R, 使I0=Φ,I1=I. 那么定義

給定一個(gè)正整數(shù)N, 定義下面這個(gè)集合:

Δ(N)={ΔK|K=1,…,N}

其中,Δk=(ξ1,…,ξn)T∈Rn(k=1,…,N), 當(dāng)i≠k時(shí),ξk=1,ξi=0 .使

引理4[3]如果

2 主要結(jié)論

讓z(t)=x(t)-x*, 則有

這里i=1,2,…,n, 則

那么存在hij(zj(t))∈Aij(zj(t))使得

證 根據(jù)假設(shè)2,fj(±Tj)=0

令

則

Aij(zj(t))=K(aij(u))fj(u)-K(aij(v))fj(v)

由假設(shè)2

若|u|,|v|>Tj,則

若|u|,|v|

使得|u|Tj.

如果v<-Tj, 那么

如果v>Tj, 那么

那么

對(duì)任意hij(zj(t))∈Aij(zj(t)).

根據(jù)假設(shè)3, 存在一個(gè)正實(shí)數(shù), 使得

構(gòu)造一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)

通過(guò)引理1和引理2, 下面有

從引理3, 可知

3 實(shí)例仿真

由系統(tǒng)(1)選取如下參數(shù)

fi(r)=f(r)=tanh(r);i=1,2.

基于假設(shè)1,mi=-1,Mi=1;i=1,2.

那么邊界函數(shù)分別是

1) F+1a(r)=-r+2．6f(r)+0．05F-1a(r)=-r+2．6f(r)-0．05F+2a(r)=-r+2．5f(r)+0．05F-2a(r)=-r+2．5f(r)-0．052) F+1b(r)=-r+2．6f(r)+0．05F-1b(r)=-r+2．6f(r)-0．05F+2b(r)=-r+2．4f(r)+0．05F-2b(r)=-r+2．4f(r)-0．05

3) F+1c(r)=-r+2．7f(r)+0．05F-1c(r)=-r+2．7f(r)-0．05F+2c(r)=-r+2．5f(r)+0．05F-2c(r)=-r+2．5f(r)-0．054) F+1d(r)=-r+2．6f(r)+0．05F-1d(r)=-r+2．6f(r)-0．05F+2d(r)=-r+2．4f(r)+0．05F-2d(r)=-r+2．4f(r)-0．05

圖(3)是例一中的邊界函數(shù)

圖(4)是例一中的邊界函數(shù)

圖(5)是例一中的邊界函數(shù)

圖(6)是例一中的邊界函數(shù).

圖(7)是例一中的邊界函數(shù)

圖(8)是例一中的邊界函數(shù)

由圖(1)至圖(8)的仿真結(jié)果, 可以得到Ki=Ki=1.

因此, 條件滿足定理1. 憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)有至少32=9個(gè)平衡點(diǎn),22=4 個(gè)局部Mittag-Leffler穩(wěn)定點(diǎn). 一百個(gè)隨機(jī)出發(fā)的相位圖描述在圖(9)中.

圖(9)例一中的相位圖

[1]Koeller R. Applications of fractional calculus to the theory of viscoelasticity[J].Journal of Applied Mechanics,1984, 299～307.

[2]Filippov A F.[Mathematics and its applications(Soviet series), differential equations with discontinuous right-hand sides.][M]. Boston: Kluwer Academic Pulishers,1988.

[3]Chen J J, Zeng Z G, Giang P. Global Mittag-leffler stability and synchronization of memristor-based fractional-order neural networks[J]. Neural Networks, 2014, 51: 1～8.

[4]Liu P, Zeng Z G. Multiple Mittag-leffler stability of fractional-order recurrent neural network[J]. Transactions Systems, 2017, 2168～2216.

MultipleMittag-Lefflerstabilityofmemristor-basedfractional-orderneuralnetwork

XIANG Yi， RUAN Xiao-li，LI Bi-wen

(College of Mathematics and Statistics ,Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

The paper focuses on the stability of multiple equilibrium points of memristor-based fractional-order neural network. The multiple Mittag-Leffler stability are established by using Lyapunov method for these network, and the theory of fractional-order differential equations with discontinuous right-hand sides had been used in this paper. Through the promotion of literature, this paper discusses the unknown constraint quadratic programming problem to make improvements.

fractional-order; memristor-based neural network; Mittag-Leffler stability; multistability

O193

A

2096-3149(2017)04- 0048-08

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.04.011

2017—08—25

向易(1993— )，男，湖北武漢人， 碩士研究生, 研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.