隋郁

（鄭州大學音樂考古研究院，河南鄭州450001）

統(tǒng)計學標準差在鐘類樂器分析中的操作方法及意義
——以形制分析為例

隋郁

（鄭州大學音樂考古研究院，河南鄭州450001）

對鐘類樂器形制數(shù)據(jù)進行標準差分析，其目的是觀察樂鐘在設計、制作層面的規(guī)范程度。在實際操作中，由于這一分析方法可以借由軟件協(xié)助，工作人員能夠將精力集中于對計算結果的解讀，而這也能夠保證計算結果的輸出既快捷方便又精準無誤。此外，標準差的分析方法亦可以用來觀察相同音程關系、不同音分值的偏離程度，這一分析方法已被筆者應用到針對樂鐘正側鼓音程音分值偏離程度的分析中。

樂鐘；定量研究；標準差；形制

對鐘類樂器的形制進行分析，學界所常用的是考古類型學分型、分式的方法，其研究目的是為了找到器物發(fā)展演變的序列關系。但筆者對鐘類樂器形制數(shù)據(jù)的分析并未采用這種方法，而是使用一種定量分析的方法——統(tǒng)計學標準差，其目的是觀察樂鐘在設計、制作層面的規(guī)范程度。

定量分析是與定性分析相輔相成的一種研究方法，常見的定量分析方法有求平均值、百分比等。與擅長歸納、分析、演繹的定性分析相比，定量分析所注重的是研究對象的數(shù)量關系，即從數(shù)量的角度來看待學科中的現(xiàn)象和規(guī)律?！皵?shù)量關系的研究不僅能揭示被研究考古資料中內涵的，而不易被傳統(tǒng)的定性研究所看出的某些現(xiàn)象和規(guī)律，而且定量研究排除了在歸納和演繹等推理過程中可能出現(xiàn)的主觀任意性?！盵1]11筆者認為，由于定量分析與定性分析在研究方法與關注焦點上所存在的明顯差異，定量分析至少應該成為定性分析的有效補充。

在實際操作中，定量分析亦有其自身的優(yōu)勢——軟件協(xié)助。定量分析的分析對象，往往涉及到繁復的計算工作。當面對巨大的工作量時，由計算機軟件來完成計算過程，可以使工作人員能夠將精力集中于對計算結果的解讀，而這也能夠保證計算結果的輸出既快捷方便又精準無誤，避免出現(xiàn)研究工作中精力投入與成果產(chǎn)出不成正比的問題。

筆者的研究是以統(tǒng)計學標準差作為定量分析的工具，以“定量”的思維模式對編鐘形制規(guī)范進行考量。而本文的內容，正是對統(tǒng)計學標準差這一定量分析工具從功能優(yōu)勢、學科融入歷程、具體操作方法等多方面進行介紹，以期讀者能夠更加順利地理解筆者所提出的針對編鐘形制規(guī)范程度的分析。此外，標準差的分析方法亦可以用來觀察相同音程關系、不同音分值的偏離程度。這一分析方法，已被筆者應用到針對樂鐘正側鼓音程音分值偏離程度的分析中。標準差大則音分值的偏離程度大，樂鐘正側鼓音程關系受理性因素制約的程度??；反之，則理性因素參與的可能性高，樂鐘所發(fā)雙音更可能擺脫了原生狀態(tài)，而向更高層次的鑄生、鑄調階段發(fā)展。總之，筆者認為，合理的使用統(tǒng)計學標準差的方法對音樂、樂器相關數(shù)據(jù)進行分析，可操作性很強又科學、準確，且能夠對音樂學研究有所幫助。

一、標準差及其在考古學研究方法中的引入

由于標準差這一統(tǒng)計學分析方法所具有的科學性以及實用性，考古學界已經(jīng)將其作為數(shù)據(jù)資料分析方法之一。

（一）平均值的局限與標準差的優(yōu)勢

在以往所見的針對樂鐘形制數(shù)據(jù)進行分析的方法中，求平均值的方法較為常見。這類分析通常先將眾多數(shù)據(jù)求得均值，繼而通過觀察單個數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)整體與平均值距離的遠近，來進行分析與判斷。平均值本身并不能體現(xiàn)出眾數(shù)據(jù)對均值的偏離程度，但可以通過對單一數(shù)據(jù)與均值大小的對比，粗略顯示出這些數(shù)據(jù)與均值偏離的程度。這種求平均值的方法，早已被熟知并被廣泛運用于日常生活的方方面面。對數(shù)據(jù)與平均值偏離程度的觀察與分析，要視使用者的使用要求與使用目的而定，通常并不要求十分精確。需要肯定的是，求平均值的方法由于簡易方便，確實能對研究過程中的分析與判斷起到輔助作用，但這一方法并不能用量化的方式精確顯示數(shù)據(jù)整體對于均值的偏離程度，也即筆者所謂“平均值的局限”。

當涉及的數(shù)據(jù)少且簡單時，數(shù)據(jù)與平均值的關系顯而易見；但當數(shù)據(jù)多且復雜時，對數(shù)據(jù)與其平均值偏離程度的觀察，就絕非一目了然了。而標準差正是對“數(shù)據(jù)關于均值的離散程度的一種度量”，其公式[2]130為：

其中，Xi表示所統(tǒng)計眾數(shù)據(jù)中的單個數(shù)值；i表示被納入統(tǒng)計的眾數(shù)據(jù)的序號，本公式中規(guī)定i=1，即從第一個數(shù)據(jù)開始統(tǒng)計；N表示被納入統(tǒng)計的數(shù)據(jù)的總數(shù)量；μ表示眾數(shù)據(jù)的平均值；Σ本身表示“求和”；（Xi-μ）2表示被統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的某一個數(shù)據(jù)與平均值差值的平方，結合則表示所有被統(tǒng)計數(shù)據(jù)（第1個到第N個）與平均值差值的平方之和；σ代表標準差，標準差越大，則表示數(shù)據(jù)整體和平均值之間的偏離程度越大，標準差越小，則表示數(shù)據(jù)整體和平均值之間的偏離程度越小。下面舉例說明。

兩組數(shù)列2、7、9、14（數(shù)列一）和5、6、10、11（數(shù)列二），每組的平均值均為8，但顯然每組數(shù)據(jù)對8的偏離程度并不相同，數(shù)列一大，數(shù)列二小，可這種偏離度無法通過平均值得以顯示。將兩個數(shù)列中的各數(shù)分別帶入標準差公式，得出如下值：

顯然第二組數(shù)據(jù)對平均值的偏離程度較小。在處理較少數(shù)量的數(shù)據(jù)時，我們尚可以通過直觀的目測來把握數(shù)據(jù)與平均值的差距遠近；但在面對眾多繁復數(shù)據(jù)時，對標準差的計算，將成為分析數(shù)據(jù)偏差程度的有效手段。

正是由于統(tǒng)計學標準差具有上述功能優(yōu)勢，筆者將其作為分析編鐘形制數(shù)據(jù)以及正側鼓音程音分值偏離程度的工具。

（二）標準差在考古學研究方法中的引入

由于考古學歷來重視與自然科學的結合，自然科學的定量思維觀念與定量研究方法必然會被納入到考古學研究之中。定量分析的方法已經(jīng)被我國考古學界重視并運用，其中亦包括標準差。

自20世紀80年代末期開始，北京大學與吉林大學的考古系開設了“定量考古學”和“計算機考古”課程。在教學過程中，由于沒有定量考古學的相關中文教程，考古專業(yè)的學生只能通過旁聽這方面的課程來補充相關知識。但由于許多學生的數(shù)學基礎薄弱，且專門的數(shù)學課程所涉及的舉例往往與考古專業(yè)并不相關，因此學習的效果不甚理想。鑒于這一實際情況，北京大學考古系教授陳鐵梅于2005年編著了國內第一本定量考古學的專門著作《定量考古學》。此書將定量研究的方法與考古學研究的實例相結合，便于考古專業(yè)的學生理解與接受。關于標準差，書中提到，考古學家黃蘊平曾用這一方法對周口店遺址第一地點和南京湯山兩地出土的腫骨鹿腿骨的直徑做了統(tǒng)計檢驗；袁靖等人曾用這一方法，對山東貝丘遺址各層貝殼的尺寸做了統(tǒng)計檢驗。[1]10

總之，隨著考古學研究者對定量研究的日益重視，標準差分析的方法已經(jīng)被廣泛使用于考古學領域的研究之中。

（三）標準差可用于鐘類樂器的形制分析

標準差之所以可應用于鐘類樂器的形制分析，是由鐘類樂器自身的形制特點所決定的。根據(jù)《周禮·考工記·鳧氏》所載，鐘體不同部位的尺寸存在比例關系。由于鐘體大小不等，直接將鐘體各部分的尺寸用來比較，僅能得出顯而易見的長度差別，難以得出對鐘體設計的規(guī)律性認識。因此，將單純的長度換算成不同部位之間的比值，再對比值加以比較應為上策。分析對象自身的“總體標準差”所顯示出的鐘體比例對其平均值的偏離程度，能夠說明研究對象在設計、制作層面的規(guī)范程度；此外，將《鳧氏》所載比值代替平均值（即作為標準差公式中的μ值）代入標準差公式，其計算結果（即本文所言“對比標準差”）能夠顯示出研究對象在設計層面與《鳧氏》所載鐘形的相近或相別。

總而言之，依筆者之見，器物的尺寸數(shù)據(jù)有兩種情況可以使用標準差的方法進行分析。其一為尺寸固定的狀況，符合這一狀況的器物，其理論尺寸固定不變，用標準差的方法對實物的尺寸數(shù)據(jù)進行分析時，標準差大則器物制作的規(guī)范性弱，反之則規(guī)范性強；其二為器物各部分的尺寸存在固定的比例關系，符合這一狀況的器物，雖然其各部位的具體尺寸可以按照既有的比例關系放大或縮小，但由于這類器物各部分尺寸的比例關系固定不變，因此可以用標準差的方法對各部位之間的比值進行分析，標準差大則器物制作的規(guī)范性弱，反之則規(guī)范性強。而鐘類樂器的形制數(shù)據(jù)之所以能夠使用標準差的方法進行分析，正是由于其形制尺寸中存在固定比例關系的原因。

二、對鐘類樂器的形制進行標準差分析的操作方法

由于藝術生數(shù)學基礎相對薄弱，在運用與數(shù)學相關的分析方法時，稍有繁瑣或生僻便往往會被表面現(xiàn)象嚇倒。其實，計算機程序完全可以代替人工運算，而我們需要做的只是對程序運算的結果進行合理的解讀。對標準差方法的運用亦是如此，復雜的公式絕不該成為我們使用標準差這一方法的障礙。我們可以借助EXCEL軟件能夠輸入公式自動運算的功能來完成數(shù)據(jù)計算的中間環(huán)節(jié)，從而直接進入數(shù)據(jù)解讀階段。

筆者認為，使用標準差的方法對鐘類樂器的形制進行分析，可分為5個步驟。下面將逐一對每個步驟的具體操作方法加以說明，其中涉及EXCEL軟件的公式設置方法，在此不做展開，如有需要可查閱相關書籍。

（一）資料與數(shù)據(jù)的準備階段

首先將需要整理的樂鐘形制數(shù)據(jù)在EXCEL表格中錄入，并將各部位的數(shù)據(jù)逐一轉換成比值。比值的計算可以使用EXCEL公式自動完成（如圖1中P3的公式為圖中劃圈處所示），本文對自動運算的結果保留兩位小數(shù)。每一列比值僅需設置本列第一行的公式（如圖1中P列第3行），其他各行的公式可以通過格式復制來完成輸入。

圖1 資料準備示意圖

圖2 平均值與理論值示意圖

表2

（二）平均值與理論值

平均值的計算可以使用EXCEL公式自動完成（如Q8的公式為圖2中劃圈處所示），平均值僅需設置第一列（如圖2中Q8）的公式，其他各列的公式可以通過格式復制來完成。平均值可以用來與《考工記》所載理論值進行對比，以便粗略觀察實際值與理論值的差距，本文對自動運算的結果保留兩位小數(shù)。

關于《考工記》中所載鐘體各部位的相對長度，筆者曾在《〈周禮·考工記·鳧氏〉兩種解讀方式之比較》[3]72-82一文中做出計算，結果如表1所示：

表1

將此6處相對長度的比例依次取值，除去分子、分母相互顛倒的倒數(shù)之一，結果如表2所示。

至此，可將上列計算結果填入EXCEL表格中“《考工記》理論值”的相應位置。

（三）總體標準差

總體標準差的計算可以使用EXCEL公式自動完成（如Q10的公式為圖3中劃圈處所示），總體標準差值僅需設置第一列（如圖3中Q10）的公式，其他各列可以通過格式復制來完成，本文對自動運算的結果保留兩位小數(shù)?？傮w標準差可以用來觀察各列數(shù)據(jù)距其平均值的偏離程度，從而反映出鐘體各部位在設計、制作層面的規(guī)范程度?？傮w標準差大，則偏離程度較大，規(guī)范程度弱；反之則偏離程度較小，規(guī)范程度強。

（四）對比標準差

對比標準差的計算相對復雜，由于需要手動將《考工記》理論值作為μ值代入標準差公式，因此需要將標準差公式分為兩步進行運算。

步驟一：先求得公式中（Xi-μ）2的部分，μ值在此即《考工記》理論值。這一部分公式原先的意義為“與平均值的差的平方”，當將《考工記》理論值作為μ值代入其中后，這部分公式的意義即轉換為“與理論值的差的平方”，其計算可以使用EXCEL公式自動完成（如Q13的公式為圖4-1中劃圈處所示）。設置第一列第一行（如圖4-1中Q13）的公式后，其他各列的第一行可以通過格式復制來完成；各列的其他各行則需要在公式復制之后再逐一進行公式改寫（如Q14的公式為“=（Q4－Q9）^2”，Q15的公式為“=（Q5－Q9）^2”等），不能通過復制直接完成。為保證運算結果的精確性，此處自動運算的結果建議保留無限小數(shù)。

步驟二：標準差公式中剩余的計算，可以使用EXCEL公式自動完成（如Q11的公式為圖4-2中劃圈處所示），自動運算的結果保留兩位小數(shù)。步驟二的計算僅需設置第一列（如圖4-2中Q11）的公式，其他各列可以通過格式復制來完成。

對比標準差可以用來觀察各列數(shù)據(jù)與《考工記》所載理論值的偏離度，從而反映出各套鐘的形制與《考工記》所載鐘形的相符程度。對比標準差大，則偏離度大，與理論形制相差較大；反之則偏離度小，與理論形制較為相符。

圖3 總體標準差示意圖

圖4-1 對比標準差示意圖

圖4-2 對比標準差示意圖

（五）數(shù)據(jù)復查

為了保證數(shù)據(jù)計算結果的準確有效，需要對數(shù)據(jù)進行復查。在能夠保證公式設置完全正確的狀況下，對數(shù)據(jù)的復查只需校對舞脩、舞廣等原始數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)來源是否一致即可。各部位數(shù)據(jù)的比例以及標準差、平均值的設置，由于是EXCEL公式自動計算，當原始數(shù)據(jù)改動時，由公式計算的結果便會自動更新，無須重新輸入公式計算。但在分析編鐘形制數(shù)據(jù)的過程中，經(jīng)常會碰到由于樂鐘局部損壞而出現(xiàn)的數(shù)據(jù)不全的狀況，由于統(tǒng)一設置的EXCEL公式并不能自動剔除無效數(shù)據(jù)，因此需要手動刪除。

如圖5所示，由于本套編鐘其中一鐘的銑間殘而無數(shù)據(jù)，因此需要手動將該鐘關于銑間的比值結果刪除，以保證公式計算結果的準確有效。

至此，形制分析的數(shù)據(jù)資料全部準備完成，可根據(jù)分析的結果，對數(shù)據(jù)的意義進行后續(xù)解讀。

三、標準差在鐘類樂器形制分析中的意義

使用標準差的方法對編鐘形制數(shù)據(jù)進行分析，是研究方法上的新嘗試。筆者經(jīng)過審慎的思考，對使用標準差的方法求得編鐘形制總體標準差以及對比標準差的意義作如下總結。

圖5 數(shù)據(jù)復查示意圖

（一）求鐘體各部位數(shù)據(jù)比例總體標準差的意義

1.成編列的鐘，其總體標準差的大小所指向的是此套編鐘在設計、制作層面的規(guī)范程度，總體標準差越小則編鐘形制在設計與制作層面的規(guī)范性越強，反之則規(guī)范程度越弱。2.同一地域所出土的同類、單件鐘，其總體標準差的大小是此地區(qū)對此類鐘在設計層面是否具有統(tǒng)一規(guī)范的顯示，標準差越小則代表越可能具有一定之規(guī)，反之則代表形制差異較大而規(guī)范度較弱。3.當總體標準差較小時，則可將所統(tǒng)計的此組比值的平均值，視為此組鐘體設計的相對規(guī)范，并將此相對規(guī)范與《考工記》所載理論規(guī)范相對比，進一步分析形制的差異。4.不同統(tǒng)計對象同組數(shù)據(jù)（如均為）的總體標準差可以進行比較，其所指向的是不同編鐘相同部位設計規(guī)范程度的對比。5.相同統(tǒng)計對象的不同組數(shù)據(jù)之總體標準差可以進行比較，其所指向的是同一套編鐘不同部位之間設計規(guī)范程度的差別。6.不同統(tǒng)計對象的不同組數(shù)的總體標準差，筆者認為對其進行比較是無意義的。

（二）求鐘體各部位數(shù)據(jù)比例對比標準差的意義

1.將《考工記》所載鐘體各部位數(shù)據(jù)的比例作為μ值代入標準差公式，則得出所統(tǒng)計的鐘體各部位數(shù)據(jù)比例與《考工記》所載比例的標準差，本文中稱其為“對比標準差”。2.總體標準差較小的鐘組，可通過對比標準差來與《考工記》所載鐘形的設計規(guī)范相對比，對比標準差值的大小，所指向的是統(tǒng)計對象與《考工記》所載鐘形在設計規(guī)范層面的離合程度，差值越大則說明其形制越有別于《考工記》，反之則說明其與《考工記》所載鐘形在一定程度上相符，且存在相關的可能。3.不同統(tǒng)計對象同組數(shù)據(jù)之間的對比標準差可以進行比較，其所指向的是不同編鐘相同部位的形制與《考工記》所載離合程度的對比。4.相同統(tǒng)計對象的不同組數(shù)據(jù)的對比標準差可以進行比較，其所指向的是同一套編鐘不同部位的設計規(guī)范與《考工記》所載鐘形差別程度的對比。5.不同統(tǒng)計對象的不同組數(shù)據(jù)的對比標準差，筆者認為對其進行比較是無意義的。6.統(tǒng)計對象的總體標準差與對比標準差越接近，則說明其平均值越接近《考工記》所載比例。7.某組數(shù)據(jù)的總體標準差較小但對比標準差較大時，則說明此套編鐘的形制有別于《考工記》而自成體系，因此可將這組數(shù)據(jù)的平均值與《考工記》理論比例相比較，進一步分析此比值偏大或偏小與分母、分子的關系，進而把握鐘體形制與《考工記》所載的細微區(qū)別。8.當數(shù)據(jù)分析結果呈現(xiàn)出總體標準差和對比標準差均較大的狀況時，由于總體標準差大說明統(tǒng)計對象自身所具有的統(tǒng)一規(guī)范性弱，因此哪怕是與《考工記》相對比的對比標準差亦大，也不能說明統(tǒng)計對象有別于《考工記》而趨向于自成體系，因其形制的統(tǒng)一性差而無所謂“體系”可言。

由于《考工記》經(jīng)學者研究認為很可能是齊國的官書，其中記載的樂鐘形制是甬鐘形制的理論值，也就是說，《考工記》所載形制規(guī)范，原本并非為所有地區(qū)、所有樂鐘類別的鐘體形制規(guī)范，但《考工記》所載鐘形是關于鐘體形制比例的唯一記載，它所具有的這種唯一性，反而將它推至“參照物”的地位?？傊P者認為，求“對比標準差”這種實際值與理論值的對比參照是有意義的。

通過在對編鐘的研究過程中使用標準差方法的實踐與思考，筆者認為標準差分析具有意義的關鍵在于分析對象是否具有統(tǒng)一性，這是能夠反映出理性因素的參與程度的。比如形制的統(tǒng)一性高，則樂鐘在設計、鑄造層面所具有的規(guī)范性強；相同音程中音分值的統(tǒng)一性差，離散度大，則鐘上雙音的關系并不規(guī)范，偶然性大，雙音狀態(tài)所處的層次較低。

統(tǒng)計學標準差這一方法的使用，是樂鐘研究乃至音樂學研究方法上的新嘗試，其使用的方法、對象、意義尚有待繼續(xù)發(fā)掘及修正，以期在研究領域做出新的探索或對舊題提供新的理論支持。

[1] 陳鐵梅.定量考古學[M].北京：北京大學出版社，2005.

[2] S.伯恩斯坦，R.伯恩斯坦.統(tǒng)計學原理——描述性統(tǒng)計學與概率[M].史道濟，譯.北京：科學出版社，2002.

[3] 隋郁.《周禮·考工記·鳧氏》兩種解讀方式之比較[J].中國音樂，2011（1）.

The operation method and significance of statistic alstandardd eviationinbell in strumen talanalys is——ACaseStudyofFormAnalysis

SuiYu

To carry out the standard deviation analysis on the bellin strumental shape data is on the purpose to observe the standard degree of the design and production level of chimes.In practice,this analysis can be done by software,so that the staffcan focus on the interpretation of the results,which can also ensure that the output of the results is quick and easy and accurate.In addition,the standard deviation analysis method can also be used to observe the same intervalrelation ship and the deviation of different tone value,which has been applied by the author to the analysis on the interval of main and side drums of its tone value deviation.

Chimes,Quantitative Research,Standard Deviation,Shape

J611

A

1003-3653（2017）05-0099-07

10.13574/j.cnki.artsexp.2017.05.009

2017-05-02

隋郁（1982～），女，山東青島人，博士，鄭州大學音樂考古研究院講師，研究方向：音樂考古學。

①《考工記》中所言“征長”，即今言“中長”，本文中統(tǒng)一為“中長”。

（責任編輯、校對：關綺薇）