古 斌 郭宇立 李 群

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710049)

基于構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則的裂紋與夾雜干涉問題1)

古 斌 郭宇立 李 群2)

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710049)

基于構(gòu)型力概念提出一種可判斷裂紋起裂以及裂紋擴(kuò)展方向的新斷裂準(zhǔn)則.該準(zhǔn)則假設(shè)當(dāng)構(gòu)型合力值達(dá)到一個(gè)臨界值時(shí)裂紋開始擴(kuò)展，而裂紋擴(kuò)展的方向則為構(gòu)型合力的矢量方向.基于此斷裂準(zhǔn)則，本文開發(fā)構(gòu)型力的有限元計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)裂紋擴(kuò)展的數(shù)值模擬，并著重對(duì)工程中常見的含孔洞/夾雜結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展問題展開研究.研究結(jié)果表明，基于構(gòu)型力的裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則可以很好地預(yù)測(cè)裂紋與孔/夾雜的干涉作用，其數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，從而驗(yàn)證了該裂紋擴(kuò)展模擬方法的有效性.通過對(duì)裂紋和夾雜(圓孔、軟夾雜、硬夾雜)干涉問題的數(shù)值模擬表明，裂紋前端夾雜對(duì)裂紋的擴(kuò)展具有重要影響.裂紋的擴(kuò)展方向與裂紋和夾雜的相對(duì)位置、以及夾雜類型密切相關(guān).軟夾雜和圓孔會(huì)吸引裂紋向其擴(kuò)展，而硬夾雜會(huì)排斥裂紋擴(kuò)展，裂紋在擴(kuò)展過程中會(huì)繞開硬夾雜.當(dāng)裂紋與夾雜夾角較小時(shí)，夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響作用明顯，當(dāng)夾角較大時(shí)，夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響較小；特別當(dāng)裂紋與夾雜夾角為45?時(shí)，軟夾雜和圓孔可能會(huì)抑制裂紋的擴(kuò)展，使裂紋擴(kuò)展發(fā)生止裂.研究結(jié)果有助于認(rèn)清含孔洞/夾雜結(jié)構(gòu)中的裂紋擴(kuò)展或止裂問題，對(duì)于工程中的斷裂問題具有重要指導(dǎo)意義.

構(gòu)型力，斷裂準(zhǔn)則，裂紋擴(kuò)展，夾雜，孔洞

引言

許多工程結(jié)構(gòu)材料中通常存在著孔洞、裂紋類缺陷，對(duì)于這類結(jié)構(gòu)材料斷裂行為的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，需要考慮孔洞和裂紋的擴(kuò)展及其相互作用，研究夾雜與裂紋的相互作用問題，具有重要的工程實(shí)際意義和理論價(jià)值[1-3]，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者針對(duì)此問題，開展了理論、數(shù)值以及實(shí)驗(yàn)相關(guān)研究.Atkindon[4]提出了一種包含夾雜的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值計(jì)算方法.Rubinstein[5]研究了宏觀裂紋和微觀缺陷的相互作用機(jī)制.Li等[6]采用Eshelby等效夾雜理論分析了I型裂紋與圓形夾雜體間的相互作用關(guān)系.Soh等[7]對(duì)裂紋和多缺陷介質(zhì)相互作用機(jī)制進(jìn)行了研究.閆相橋[8]基于單一裂紋的Bueckner原理提出了一種平面彈性介質(zhì)中多孔洞多裂紋相互作用問題的數(shù)值計(jì)算方法.Mishuris等[9]采用數(shù)值模擬的方法研究了面外剪切作用下裂紋與缺陷介質(zhì)的作用機(jī)制.Zhang等[10]基于分布位錯(cuò)法分析了有限板中裂紋與圓形夾雜的相互作用.付云偉等[11]基于相互作用直推估計(jì)法,建立一種考慮含夾雜相互作用的夾雜界面裂紋開裂模型.楊仁樹等[12]采用數(shù)字激光動(dòng)態(tài)焦散線方法研究了運(yùn)動(dòng)裂紋與圓形孔缺陷的相互作用機(jī)制.張財(cái)貴等[13]采用壓縮單裂紋圓孔板確定了巖石動(dòng)態(tài)起裂、擴(kuò)展和止裂韌度.

裂紋與夾雜的干涉問題研究，主要借助于斷裂力學(xué)的知識(shí).雖然過去幾十年，大量學(xué)者的深入研究使得斷裂力學(xué)取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，并提出了一些經(jīng)典斷裂準(zhǔn)則預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展，如能量釋放率G[14]、應(yīng)力強(qiáng)度因子K[15]、J積分[16-17]、裂紋尖端張開位移CTOD[18]、最大周向應(yīng)力σθθ[19]和應(yīng)變能密度因子S[20]等.但是由于斷裂現(xiàn)象涉及外部載荷、介質(zhì)幾何構(gòu)型等各方面因素，至今為止，還沒有出現(xiàn)能夠處理所有斷裂問題的統(tǒng)一性理論，而且某些特定準(zhǔn)則也存在著一定的局限性.其中，G,K,CTOD和J僅可以用來預(yù)測(cè)裂紋的萌生或者起裂，而無法預(yù)測(cè)裂紋的擴(kuò)展方向；σθθ和S可以用來預(yù)測(cè)裂紋起裂方向，但需要一個(gè)標(biāo)定距離rc來計(jì)算相關(guān)的參數(shù)，且其預(yù)測(cè)結(jié)果受該標(biāo)定距離的影響.此外，在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，材料通常承受復(fù)雜載荷作用或者需要考慮夾雜/孔洞對(duì)裂紋的干涉作用，就需要對(duì)其復(fù)合型裂紋問題進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè).許多學(xué)者對(duì)復(fù)合型斷裂問題進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)上的廣泛研究，并提出了許多關(guān)于復(fù)合型斷裂問題的準(zhǔn)則.但是至今為止，對(duì)復(fù)合型裂紋的理論預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間還存在著一定的差別.

近期，材料構(gòu)型力學(xué)的發(fā)展為處理復(fù)雜裂紋擴(kuò)展問題提供了一種有效的手段.關(guān)于構(gòu)型力的概念可以追溯到Eshelby[21]關(guān)于晶格缺陷的研究，其相關(guān)工作為隨后材料構(gòu)型力學(xué)的建立奠定了基礎(chǔ).近年來，科研工作者們?cè)跇?gòu)型力的各個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域研究上取得了諸多進(jìn)展[22-34].材料構(gòu)型力學(xué)的發(fā)展對(duì)于促進(jìn)斷裂力學(xué)的發(fā)展和完善具有重要意義.因此，本文將首先基于材料構(gòu)型力學(xué)的概念，提出一種預(yù)測(cè)裂紋起裂和擴(kuò)展的統(tǒng)一性判定準(zhǔn)則，該構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則可以彌補(bǔ)前述準(zhǔn)則的不足；基于構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則，通過有限元方法對(duì)裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)，并著重研究斷裂力學(xué)中的裂紋與夾雜干涉問題，分析夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的促進(jìn)和抑制作用，最終為含復(fù)雜裂紋的材料斷裂失效評(píng)估提供支撐.

1 構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則

材料構(gòu)型力學(xué)研究當(dāng)材料中缺陷(夾雜、空穴、位錯(cuò)、裂紋、塑性區(qū)等)的構(gòu)型(形狀、尺寸和位置)改變時(shí)系統(tǒng)自由能的改變.因此，其在描述含裂紋材料的破壞行為方面具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì).構(gòu)型力的定義如下[21]

式中W表示應(yīng)變能密度，為W對(duì)xi的顯式求導(dǎo)，gi也稱之為Eshelby構(gòu)型力.此外，小變形情況下構(gòu)型應(yīng)力的定義如下

其中，δji為Kronecker符號(hào)，σjk為應(yīng)力分量，uk,i為位移uk對(duì)坐標(biāo)xi的求導(dǎo)，bji也稱為Eshelby構(gòu)型應(yīng)力張量.在大變形下，構(gòu)型應(yīng)力可定義為

其中，W0表示應(yīng)變能密度，Pji為第一Piola-Kircho ff應(yīng)力分量，F(xiàn)ji為變形梯度.構(gòu)型力與構(gòu)型應(yīng)力之間滿足如下平衡方程

構(gòu)型力是材料損傷演化的驅(qū)動(dòng)力，可以作為裂紋擴(kuò)展的驅(qū)動(dòng)力，表征著單位厚度的無窮小單元沿xi方向滑動(dòng)單位距離所產(chǎn)生的總勢(shì)能改變量，如圖1所示.

圖1 平面無限小單元的滑動(dòng)與構(gòu)型力的關(guān)系Fig.1 The relation between the translation motion and the con fi gurational forces of planar in fi nitesimal elements

構(gòu)型力的數(shù)值計(jì)算可借助于有限元方法[22]，根據(jù)平衡方程式(4)，首先對(duì)單元上的構(gòu)型應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而得到單元內(nèi)某個(gè)確定節(jié)點(diǎn)的構(gòu)型力在線彈性條件下，有

其中，N表示節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單元形狀函數(shù)，上標(biāo)e表示單元編號(hào)，βe為單元的面積.在得到某個(gè)單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)構(gòu)型力后，對(duì)應(yīng)于K節(jié)點(diǎn)上構(gòu)型力值則為該節(jié)點(diǎn)相鄰的所有單元的構(gòu)型力之和，即

其中，nel表示節(jié)點(diǎn)相鄰單元的個(gè)數(shù).通過此方法，可最終得到每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)構(gòu)型力數(shù)值，進(jìn)而用于后面的裂紋擴(kuò)展數(shù)值計(jì)算中.

而在彈塑性條件下，構(gòu)型力可計(jì)算為

其中，B為塑性構(gòu)型力，滿足B=σ·?εp?q?α，α為內(nèi)變量，與加載歷史有關(guān)，εp為塑性應(yīng)變，q是與塑性應(yīng)變能密度有關(guān)的量.

基于構(gòu)型力可建立相應(yīng)的裂紋斷裂準(zhǔn)則，描述材料中任意裂紋的起裂和裂紋擴(kuò)展方向.其描述如下：

(1)假設(shè)裂紋尖端的構(gòu)型力矢量為G=(Gx,Gy),當(dāng)構(gòu)型力矢量(或者稱為構(gòu)型合力)的幅值|G|大于某一臨界值時(shí)，即裂紋尖端的擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力大于材料斷裂韌性時(shí)，裂紋開始擴(kuò)展.即

其中Gc為材料的臨界構(gòu)型力斷裂韌性，為材料常數(shù)，與裂紋構(gòu)型和載荷無關(guān).

(2)裂紋擴(kuò)展方向假設(shè)為構(gòu)型力矢量方向，其裂紋起裂角度θ可定義為

基于構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)主要有：該準(zhǔn)則不需要定義裂尖的斷裂進(jìn)行區(qū)rc，即圓形損傷核，因而可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)裂紋起裂；該準(zhǔn)則可同時(shí)判斷起裂條件和預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展方向.

基于構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則的裂紋擴(kuò)展模擬算法，其流程如圖2所示.首先建立含有裂紋的幾何模型，劃分網(wǎng)格，對(duì)其單元屬性和材料屬性進(jìn)行設(shè)置.然后設(shè)置邊界條件，包括力邊界條件和位移邊界條件.計(jì)算求解得出Eshelby構(gòu)型力在裂紋尖端局部坐標(biāo)系下的兩個(gè)分量，根據(jù)兩個(gè)分量確定Eshelby構(gòu)型力合力矢量的大小，并將其與構(gòu)型力臨界值Gc進(jìn)行比較，判斷裂紋是否發(fā)生擴(kuò)展，若構(gòu)型力合力超過臨界值Gc，裂紋繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)展.根據(jù)判定準(zhǔn)則 (9)，計(jì)算裂紋偏轉(zhuǎn)角θdefl，并用于建立擴(kuò)展后的幾何模型，沿著裂紋尖端的材料構(gòu)型力合力矢量方向平移一個(gè)增量?a，作為新的裂紋尖端，重新劃分網(wǎng)格，求解問題，計(jì)算新的裂紋構(gòu)型下的構(gòu)型力合力矢量，判定是否裂紋擴(kuò)展.而一旦構(gòu)型力合力小于臨界值Gc，則意味著裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力小于裂紋擴(kuò)展阻力，裂紋發(fā)生止裂現(xiàn)象，此時(shí)在計(jì)算中需要跳出循環(huán)，停止計(jì)算.

圖2 基于構(gòu)型力準(zhǔn)則的裂紋擴(kuò)展數(shù)值模擬流程圖Fig.2 Flow diagram of numerical simulation of crack propagation based on the con fi gurational force criterion

在模擬裂紋擴(kuò)展過程中，裂紋偏轉(zhuǎn)角θdefl是通過構(gòu)型力合力矢量與裂尖局部坐標(biāo)系夾角得到.而另一個(gè)關(guān)鍵的控制變量就是裂紋的擴(kuò)展步長(zhǎng)?a，為了減少不必要的數(shù)值計(jì)算量，每個(gè)子步長(zhǎng)根據(jù)偏轉(zhuǎn)角不斷修正，如圖 3所示，每步的擴(kuò)展步長(zhǎng)為?a=(1?sin|θdefl|)?a0，其中 ?a0表示初始裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)，?a為當(dāng)前的擴(kuò)展步長(zhǎng)，θdefl表示裂紋尖端局部坐標(biāo)系下所預(yù)測(cè)的裂紋偏轉(zhuǎn)角.通過如此設(shè)置，在偏轉(zhuǎn)角較小的時(shí)候，裂紋能夠?qū)崿F(xiàn)快速擴(kuò)展，減少計(jì)算負(fù)擔(dān)；而偏轉(zhuǎn)角θdefl較大的時(shí)候，步長(zhǎng)?a迅速減小，便于精細(xì)觀察裂紋偏轉(zhuǎn)變化，提高計(jì)算準(zhǔn)確度.另外，在數(shù)值模擬過程中，為了加快運(yùn)算的速度，采用智能網(wǎng)格算法對(duì)裂紋可能會(huì)通過的區(qū)域采用局部加密的自由網(wǎng)格進(jìn)行處理，并且只對(duì)裂紋尖端附近的網(wǎng)格進(jìn)行重新劃分，而遠(yuǎn)離裂尖對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大的區(qū)域則采用固定的網(wǎng)格劃分.

圖3 裂紋擴(kuò)展子步長(zhǎng)設(shè)置Fig.3 Substep of the crack propagation

2 裂紋和夾雜相互干涉問題的數(shù)值模擬與結(jié)果討論

2.1 構(gòu)型力準(zhǔn)則驗(yàn)證

首先，通過一個(gè)含圓孔的四點(diǎn)彎曲梁對(duì)裂紋擴(kuò)展模擬算法的可靠性進(jìn)行驗(yàn)證，該模型常常用于驗(yàn)證斷裂力學(xué)新準(zhǔn)則及其相關(guān)算法的有效性，具有很強(qiáng)代表性.模型尺寸如圖4(a)所示.初始裂紋長(zhǎng)度為a=2.5mm，位于梁的底部中央，在裂紋附近存在一個(gè)圓形孔洞，邊界條件和外載荷條件分別采用四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)的邊界條件.

圖4 含圓孔四點(diǎn)彎曲梁的裂紋擴(kuò)展模擬Fig.4 Crack propagation simulation of four-point-bending beam with circular hole

材料采用線彈性本構(gòu)，彈性模量E為205GPa，泊松比υ為0.3.在計(jì)算中，其施加載荷P始終滿足裂紋G>Gc的裂紋起裂條件.在本例中，不涉及失效臨界載荷的判定，只是對(duì)裂紋在圓孔干涉下的擴(kuò)展路徑進(jìn)行觀察,將構(gòu)型力準(zhǔn)則計(jì)算得到的裂紋擴(kuò)展數(shù)值結(jié)果與Miranda等[35]的四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.圖4(b)左側(cè)為基于構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則的四點(diǎn)彎曲模型裂紋擴(kuò)展路徑數(shù)值模擬結(jié)果；圖4(b)右側(cè)為Miranda等的實(shí)驗(yàn)所得的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì).數(shù)值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，裂紋受孔洞的影響一直向孔的方向靠近，并最終和單孔重合，裂紋擴(kuò)展結(jié)束.通過對(duì)比圖4(b)中的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值模擬的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，這驗(yàn)證了通過構(gòu)型力準(zhǔn)則對(duì)裂紋擴(kuò)展預(yù)測(cè)的數(shù)值模擬是可信且可行的，該準(zhǔn)則可用于后續(xù)裂紋和孔洞干涉問題的研究中.

2.2 裂紋與孔洞干涉問題的研究

本節(jié)著重對(duì)裂紋和圓形孔洞的干涉問題進(jìn)行分析，通過數(shù)值方法模擬裂紋在孔洞干涉作用下的擴(kuò)展趨勢(shì)，并得到Eshelby構(gòu)型驅(qū)動(dòng)力在裂紋擴(kuò)展過程中隨著裂紋擴(kuò)展的變化趨勢(shì)，分析和討論裂紋擴(kuò)展過程中孔洞對(duì)裂紋的屏蔽和反屏蔽作用.

如圖 5所示，考慮裂紋前端存在一個(gè)圓形孔洞，α為初始裂紋與孔洞圓心和裂尖連線的夾角，裂紋尖端與圓形夾雜中心距離d=8mm，初始裂紋長(zhǎng)度a=10mm，圓形夾雜的半徑r=3mm，σ=100MPa為模型所受的均勻分布拉伸載荷，模型下端固定，假設(shè)該模型處于平面應(yīng)力狀態(tài).材料采用線彈性本構(gòu)，基體彈性模量E=71GPa，泊松比υ=0.33.在裂紋與夾雜干涉效應(yīng)的研究中，夾雜相對(duì)于裂紋尖端的位置是一個(gè)重要參量.如圖5所示，夾角α以及裂尖與圓心距離d共同決定了圓形夾雜的位置，將距離d固定，圓形夾雜的位置就可以由單一變量夾角α確定，本文的主要研究目標(biāo)就是認(rèn)清不同夾角α下，圓形夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的干涉影響.

圖5 裂紋和夾雜干涉模型(單位：mm)Fig.5 Model of the crack interacting with an inclusion(unit:mm)

為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，分別對(duì)夾角α為0?，15?，30?，45?，60?，75?及 90?的圓形孔洞進(jìn)行數(shù)值模擬，觀察在不同孔洞與裂紋相對(duì)位置下，裂紋擴(kuò)展軌跡所受的影響，結(jié)果如圖6所示.

圖6 不同孔洞位置 (α =0?，15?，30?，45?，60?，75?及 90?)干涉作用下裂紋的擴(kuò)展趨勢(shì)Fig.6 The crack propagation trend under the interaction of the hole in the di ff erent positions(α =0?，15?，30?，45?，60?，75? and 90?)

由圖6可以看出，當(dāng)α=0?時(shí)，裂紋從開始擴(kuò)展一直沿著它的正前方，直至與孔洞發(fā)生聚合，裂紋擴(kuò)展結(jié)束；當(dāng)α=15?和30?時(shí)，裂紋從起裂時(shí)就受到孔洞的作用，而向孔洞的方向逐漸偏轉(zhuǎn)，直到裂紋與孔洞聚合，裂紋停止擴(kuò)展；當(dāng)α=45?和60?時(shí)，裂紋同樣從起裂時(shí)就受到孔洞的作用向孔洞的方向偏移，偏移一定方向和距離后，裂紋擴(kuò)展受到孔洞的影響力減小，裂紋繞開孔洞，一直向前繼續(xù)擴(kuò)展；當(dāng)α=75?和90?時(shí)，裂紋從起裂時(shí)受到孔洞的干涉作用就非常小，裂紋存在微小偏轉(zhuǎn)，裂紋呈現(xiàn)出完整的I型裂紋軌跡擴(kuò)展，直到發(fā)生斷裂為止.

裂紋尖端構(gòu)型驅(qū)動(dòng)力變化趨勢(shì)如圖7所示，為了方便對(duì)比，對(duì)不含孔洞的均質(zhì)材料在相同的邊界條件下的裂尖構(gòu)型力進(jìn)行計(jì)算.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)夾角較小時(shí) (α=0?，15?，30?)，裂紋尖端的構(gòu)型力在發(fā)生起裂之后迅速增大，直至發(fā)生聚合，增長(zhǎng)的幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過沒有孔洞干涉下的I型裂紋，這意味著當(dāng)夾角較小時(shí)，孔洞促進(jìn)裂紋的擴(kuò)展.另外，隨著夾角α的增大，裂尖的構(gòu)型力增長(zhǎng)幅度呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)；而在夾角α=45?和60?時(shí)，裂尖構(gòu)型力在初始增大之后，出現(xiàn)了短暫的下降趨勢(shì)，之后再次迅速增大，對(duì)于孔洞干涉下的裂紋，其構(gòu)型驅(qū)動(dòng)力均小于沒有孔洞干涉的純I型的裂紋擴(kuò)展構(gòu)型力，說明此時(shí)孔洞的存在對(duì)裂紋擴(kuò)展起到了抑制的作用；當(dāng)α=75?和90?時(shí)，由于孔洞對(duì)于裂紋尖端的干涉作用已經(jīng)非常微弱，裂尖構(gòu)型力與沒有孔洞干涉的純I型裂紋擴(kuò)展非常接近，孔洞的存在僅對(duì)裂紋擴(kuò)展起到輕微的抑制作用.綜上所述，當(dāng)孔洞與裂尖的夾角α較小時(shí)(α=0?，15?，30?)，孔洞的存在促進(jìn)了裂紋的擴(kuò)展，當(dāng)夾角α>45?時(shí)，孔洞將在不同程度抑制裂紋的擴(kuò)展.

圖7 孔洞干涉作用下，裂尖構(gòu)型力斷裂參數(shù)隨裂紋擴(kuò)展的變化趨勢(shì)Fig.7 Variation of the resultant con fi gurational force(C-force)at crack tip with crack propagation under the interaction of the hole

2.3 裂紋與軟夾雜干涉問題的研究

下面，我們考慮軟性?shī)A雜對(duì)裂紋擴(kuò)展軌跡的影響.裂尖附近存在彈性模量E=7GPa的均質(zhì)圓形軟夾雜，其彈性模量約為基體的1/10，采用與圖5中相同的邊界條件與外部載荷，研究7個(gè)不同夾角α下的裂紋擴(kuò)展軌跡，結(jié)果如圖8所示，其中黃色圓形表示均質(zhì)的軟夾雜材料.

圖8 不同軟夾雜位置 (α =0?,15?,30?,45?,60?,75? 和 90?)干涉作用下裂紋的擴(kuò)展趨勢(shì)Fig.8 The crack propagation trend under the interaction of the soft inclusion in the di ff erent positions(α =0?,15?,30?,45?,60?,75? and 90?)

由圖8可以看出，當(dāng)α=0?時(shí)，裂紋從開始擴(kuò)展到擴(kuò)展結(jié)束一直沿著I型裂紋的擴(kuò)展方向，即朝向軟夾雜前進(jìn)；α=15?和30?時(shí)，裂紋從起裂時(shí)就受到軟夾雜的作用并向它的方向偏轉(zhuǎn)，直到裂紋與軟夾雜聚合；α=45?和60?時(shí)，裂紋從起裂時(shí)就受到軟夾雜的作用發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在裂紋擴(kuò)展受到軟夾雜的干涉減小到一定程度后，裂紋便一直向前繼續(xù)擴(kuò)展；α=75?和90?時(shí)裂紋在起裂之后，首先向著軟夾雜發(fā)生輕微的偏轉(zhuǎn)，之后軟夾雜對(duì)于裂尖的作用迅速減小，裂紋則繼續(xù)進(jìn)行著近似I型裂紋的擴(kuò)展直到發(fā)生斷裂為止.對(duì)比圖6可以看出，軟夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響趨勢(shì)與孔洞模型的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)基本相似.圖9給出裂紋附近存在軟夾雜時(shí)，裂尖構(gòu)型力隨裂紋長(zhǎng)度改變的變化趨勢(shì)，可以發(fā)現(xiàn)，不同夾角α的軟夾雜模型的裂尖構(gòu)型力變化趨勢(shì)與圓孔模型相似.它也很好地證明了孔洞與軟夾雜的相似性.這也意味著，不管是在促進(jìn)裂紋擴(kuò)展的階段還是在抑制裂紋擴(kuò)展的階段，對(duì)裂紋的干涉作用，孔洞對(duì)裂紋的干涉作用都比軟夾雜要更強(qiáng).

圖9 軟夾雜干涉作用下，裂尖構(gòu)型力斷裂參數(shù)隨裂紋擴(kuò)展的變化趨勢(shì)Fig.9 Variation of the resultant con fi gurational force at crack tip with crack propagation under the interaction of the soft inclusion

2.4 裂紋與硬夾雜干涉問題的研究

圖10給出硬夾雜材料對(duì)裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)的影響規(guī)律.其中，取硬夾雜彈性模量E=500GPa，其彈性模量約為基體的7倍.邊界條件與外部載荷不變，研究7個(gè)不同夾角α下的裂紋擴(kuò)展，紅色圓形表示均質(zhì)線彈性硬夾雜材料.

由圖10可以看出，硬夾雜對(duì)裂紋的擴(kuò)展軌跡顯示出與之前孔洞和軟夾雜完全不同的一些現(xiàn)象.α=0?時(shí)，裂紋從起裂到擴(kuò)展結(jié)束一直沿著I型裂紋的軌跡擴(kuò)展最終與硬夾雜聚合，這與軟夾雜和孔洞的情況基本相似；但當(dāng)α=15?和30?時(shí)，裂紋在靠近硬夾雜時(shí)受到強(qiáng)烈的干涉作用，繞開硬夾雜后，繼續(xù)向前擴(kuò)展；當(dāng)α>45?(α=45?，60?，75?，90?)時(shí)，裂紋從起裂時(shí)就受到硬夾雜的作用而選擇遠(yuǎn)離硬夾雜的方向偏移，在受到硬夾雜的作用逐漸減小后，裂紋便一直向著前繼續(xù)擴(kuò)展.事實(shí)上，此時(shí)硬夾雜對(duì)裂紋的影響可以忽略不計(jì)，裂紋幾乎是沿著純I型裂紋擴(kuò)展的方向擴(kuò)展直到發(fā)生斷裂.

圖10 不同硬夾雜位置 (α =0?,15?,30?,45?,60?,75? 和 90?)干涉作用下裂紋的擴(kuò)展趨勢(shì)Fig.10 The crack propagation trend under the interaction of the hard inclusion in the di ff erent positions(α =0?,15?,30?,45?,60?,75? and 90?)

對(duì)比圖6，圖8和圖10，可以得出如下結(jié)論，軟夾雜和圓孔會(huì)吸引裂紋向其擴(kuò)展，而硬夾雜會(huì)排斥裂紋擴(kuò)展，裂紋在擴(kuò)展過程中會(huì)繞開硬夾雜.當(dāng)裂紋與夾雜夾角較小時(shí)，夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響作用明顯，當(dāng)夾角較大時(shí)，夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響較?。划?dāng)圓形夾雜與初始裂尖的夾角α超過60?時(shí)，不論是軟夾雜、硬夾雜還是孔洞，對(duì)裂尖的影響都非常小，裂紋都會(huì)呈現(xiàn)出近似于I型裂紋的趨勢(shì)進(jìn)行擴(kuò)展.

圖11給出硬夾雜干涉作用下裂尖構(gòu)型力隨著裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度的變化.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=0?時(shí)，硬夾雜能夠明顯抑制裂尖構(gòu)型力的增加，直至裂紋與硬夾雜發(fā)生聚合；當(dāng)α=15?和30?時(shí)，裂尖構(gòu)型力一開始增加緩慢，之后又迅速增大，直接增長(zhǎng)到純I型裂紋擴(kuò)展的程度，這表明，此時(shí)硬夾雜對(duì)裂紋的影響完全可以忽略當(dāng)α>45?(α=45?，60?，75?，90?)時(shí)，裂紋在起裂之后的受到輕微的抑制作用，之后便不同程度的迅速增大，直至最后曲線重合，這說明了在繞過硬夾雜后，硬夾雜對(duì)裂紋將不再有影響.觀察夾角α從15?增長(zhǎng)到90?，可以發(fā)現(xiàn)，隨著夾角α的增大，硬夾雜對(duì)裂紋的抑制作用逐漸減小，對(duì)裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)的影響也越小.

圖11 硬夾雜干涉作用下，裂尖構(gòu)型力斷裂參數(shù)隨裂紋擴(kuò)展的變化趨勢(shì)Fig.11 Variation of the resultant con fi gurational force at crack tip with crack propagation under the interaction of the hard inclusion

2.5 孔洞、軟夾雜、硬夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展影響的對(duì)比研究

為了更好地對(duì)比分析不同夾雜類型對(duì)裂紋干涉屏蔽的影響，本節(jié)將著重對(duì)孔洞、軟夾雜和硬夾雜干涉下裂紋擴(kuò)展軌跡，以及裂尖構(gòu)型力斷裂參數(shù)的影響趨勢(shì)進(jìn)行對(duì)比分析.其中軟夾雜的彈性模量約為基體彈模的1/10，而硬夾雜彈性模量約為基體的7倍.圖12和圖13分別給出當(dāng)夾雜與裂紋相對(duì)角度α=0?和45?時(shí)，其裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)和裂紋尖端構(gòu)型力變化趨勢(shì)對(duì)比.

圖12 當(dāng)α=0?時(shí)，3種不同夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展影響Fig.12 E ff ect of three di ff erent inclusions on crack growth while α =0?

圖13 當(dāng)α=45?時(shí)，3種不同夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展影響Fig.13 E ff ect of three di ff erent inclusions on crack growth while α=45?

由圖12(a)可以看出，當(dāng)夾雜位于α=0?時(shí)，3種夾雜模型的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)是相同的，這是模型的對(duì)稱性產(chǎn)生的必然結(jié)果.在裂紋剛剛發(fā)生起裂時(shí)，受軟夾雜與孔洞作用的裂紋，裂尖構(gòu)型力比均質(zhì)材料大，這說明它們會(huì)優(yōu)先發(fā)生起裂.而在發(fā)生起裂之后，孔洞的作用比軟夾雜增長(zhǎng)得更為迅速.而硬夾雜與無夾雜在裂紋開始發(fā)生擴(kuò)展時(shí)，裂尖構(gòu)型力要小，而在起裂之后，受硬夾雜作用的裂尖構(gòu)型力增長(zhǎng)更為緩慢.顯然，裂尖構(gòu)型力的增長(zhǎng)速度與裂尖附近夾雜的彈性模量相關(guān)，彈性模量越大，裂尖構(gòu)型力越不容易增大，裂紋越不易擴(kuò)展，更趨近于穩(wěn)定的狀態(tài).

而當(dāng)α=45?時(shí)，由圖13(a)可以看出，軟夾雜和圓孔會(huì)吸引裂紋向其偏轉(zhuǎn)，而硬夾雜會(huì)排斥裂紋，裂紋在擴(kuò)展過程中會(huì)繞開硬夾雜.另一方面，在圖13(b)中軟夾雜和圓孔模型的構(gòu)型力均為先增大再減小，然后增大，而硬夾雜模型的構(gòu)型力與無夾雜情況相似，一直在增大.尤其需要注意的是，當(dāng)α=45?時(shí)，如果材料基體的斷裂韌性位于軟夾雜(或孔洞)曲線的兩個(gè)極值點(diǎn)之間，那么當(dāng)裂紋擴(kuò)展到一定程度后，構(gòu)型力值將減小，并有可能小于材料的斷裂韌性Gc，此時(shí)裂紋就會(huì)出現(xiàn)止裂的現(xiàn)象.

為了更好分析孔洞夾雜對(duì)裂紋的止裂屏蔽現(xiàn)象，圖 14給出α=45?時(shí)，裂紋初始構(gòu)型，即孔洞模型擴(kuò)展4mm后的狀態(tài)，假設(shè)材料斷裂韌性為Gc=32N/mm，由于初始裂尖節(jié)點(diǎn)構(gòu)型力大于臨界值Gc，裂紋開始擴(kuò)展，隨著裂紋擴(kuò)展，當(dāng)裂紋擴(kuò)展3.5mm時(shí)，裂尖節(jié)點(diǎn)構(gòu)型力將小于臨界值，此時(shí)裂紋將停止擴(kuò)展，材料將會(huì)出現(xiàn)止裂現(xiàn)象，如圖14中構(gòu)型力變化趨勢(shì)所示.這說明存在某些特殊的裂紋和夾雜構(gòu)型，裂紋會(huì)因?yàn)閳A孔的存在而發(fā)生止裂，即孔洞的存在對(duì)于材料整體來說并不意味著整體強(qiáng)度的下降，而會(huì)對(duì)裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生抑制作用，從而起到材料增韌效果.

圖14 α=45?時(shí)，孔洞對(duì)于裂紋擴(kuò)展的止裂分析Fig.14 Crack arresting by the hole while α =45?

3 結(jié)論

本文基于材料構(gòu)型力學(xué)概念提出一種可預(yù)測(cè)復(fù)雜裂紋起裂和擴(kuò)展的構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則，通過有限元方法對(duì)其裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)，并著重研究了裂紋和夾雜(孔洞、軟夾雜和硬夾雜)的干涉屏蔽效應(yīng)，主要結(jié)論如下：

(1)通過該準(zhǔn)則對(duì)含圓孔的四點(diǎn)彎曲梁進(jìn)行了裂紋擴(kuò)展模擬，并與現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，構(gòu)型力準(zhǔn)則可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)裂紋在圓孔干涉下的擴(kuò)展軌跡.對(duì)裂尖附近存在軟夾雜、硬夾雜以及孔洞的模型，通過控制單一變量夾角α，表征夾雜相對(duì)裂紋的不同狀態(tài)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，軟夾雜和圓孔會(huì)吸引裂紋向其擴(kuò)展，而硬夾雜會(huì)排斥裂紋擴(kuò)展，裂紋在擴(kuò)展過程中會(huì)繞開硬夾雜.

(2)通過分析三種不同類型夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響發(fā)現(xiàn)，當(dāng)夾角α較小時(shí)，夾雜對(duì)裂紋的干涉作用非常明顯，并且隨著夾角α增大，夾雜對(duì)裂紋擴(kuò)展的干涉作用會(huì)逐漸減小.而當(dāng)圓形夾雜與初始裂尖的夾角α超過60?時(shí)，不論是軟夾雜、硬夾雜還是孔洞，對(duì)裂尖的影響都非常小.

(3)對(duì)于某些特定的初始裂紋和孔洞構(gòu)型的研究發(fā)現(xiàn)，孔洞的存在確實(shí)可以造成裂紋止裂現(xiàn)象的發(fā)生.某些特定構(gòu)型下，裂尖構(gòu)型驅(qū)動(dòng)力會(huì)出現(xiàn)下降的趨勢(shì)，孔洞將在不同程度抑制裂紋的擴(kuò)展.由此可見，孔洞的存在對(duì)于材料整體來說并不意味著整體強(qiáng)度的下降，反而在某些構(gòu)型下會(huì)對(duì)裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生抑制作用，從而起到材料增韌效果.

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CRACK INTERACTING WITH AN INDIVIDUAL INCLUSION BY THE FRACTURE CRITERION OF CONFIGURATIONAL FORCE1)

Gu Bin Guo Yuli Li Qun2)
(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures，School of Aerospace，Xi’an Jiaotong University，Xi’an710049，China)

Based on the concept of con fi gurational force,a new fracture criterion is proposed to determine the crack initiation and the direction of crack propagation.The criterion assumes that when the resultant con fi gurational force reaches a critical value,the crack begins to grow,while the direction of the crack propagation is the vector direction of the resultant con fi gurational force.Moreover,the fi nite element method of con fi gurational force is developed to realize the numerical simulation of crack propagation.The crack propagation problem of the structure with an individual hole/inclusion in engineering is studied.The results show that the crack propagation criterion based on con fi gurational force can predict the crack growth interacting with an individual hole/inclusion well,the results of the numerical simulation are consistent with experimental results,which veri fi es the validity of the simulation method of the crack propagation.The numerical simulation of the interference between cracks and inclusions(holes,soft inclusions or hard inclusions)shows that the inclusion near tip of the crack has an important in fl uence on the propagation of the crack.The propagation direction of the crack is related to the relative position of crack and inclusion,and the type of inclusion.The soft inclusion and the circular hole attract the crack to expand,while the hard inclusion will repel the crack growth,and the crack will bypass the hard inclusion during the propagation.When the intersection angle of the crack and inclusion is small,the e ff ect of inclusion on crack propagation is obvious.The inclusion has little e ff ect on crack propagation when the angle is large.Particularly,when the angle is 45?,and the growth of soft inclusion may suppress the crack propagation.This study can help to understand the crack propagation in the structure with voids and inclusions,and have important guiding signi fi cance for the fracture problems in engineering.

con fi gurational force,fracture criterion,crack propagation,inclusion,hole

O346.1

A doi：10.6052/0459-1879-17-209

2017–06–01 收稿，2017–08–07 錄用,2017–08–11 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472205).

2)李群，副教授，博士生導(dǎo)師，主要從事斷裂與損傷力學(xué)研究.E-mail:qunli@mail.xjtu.edu.cn

古斌,郭宇立,李群.基于構(gòu)型力斷裂準(zhǔn)則的裂紋與夾雜干涉問題.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(6):1312-1321

Gu Bin,Guo Yuli,Li Qun.Crack interacting with an individual inclusion by the fracture criterion of con fi gurational force.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(6):1312-1321