山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李 兵 (郵編：255090)

函數(shù)的定義域與值域“相似”問題初探

山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李 兵 (郵編：255090)

在茫茫函數(shù)中,有些函數(shù)具有如下特征：當(dāng)自變量取定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間[a,b]時(shí),其函數(shù)值的取值區(qū)間與[a,b]“相似”.函數(shù)的這一特殊的性質(zhì)經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中,而學(xué)生解答這類問題時(shí)往往感到束手無策,不得其門.下面我們就這類問題作一個(gè)集中探討,以期找到解決這類問題的方法和規(guī)律。

1 單調(diào)“正相似”或全等

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a,b]是增函數(shù),且f(x)的值域?yàn)閇a,b]上有兩個(gè)相異實(shí)根.此時(shí)可利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想解決這類問題.

例1 已知函數(shù)f(x)＝x2－2kx＋k＋1.

(1)若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有最小值－5,求k的值;

(2)若同時(shí)滿足下列條件①函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào);②存在區(qū)間[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],則稱y＝f(x)為區(qū)間D上的閉函數(shù).試判斷函數(shù)f(x)＝x2－2kx＋k＋1是否為區(qū)間[k,＋∞)上的閉函數(shù)?若是,求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若否,請說明理由.

解 (1)f(x)＝x2－2kx＋k＋1＝(x－k)2－k2＋k＋1,對(duì)稱軸x＝k.

①當(dāng)k＜1時(shí),fmin(x)＝f(1)＝1－2k＋k＋1＝－5,解得k＝7(舍去);

②當(dāng)1≤k≤2時(shí),fmin(x)＝f(k)＝－k2＋k＋1＝－5,解得k＝－2或3(舍去);

③當(dāng)k＞2時(shí),fmin(x)＝f(2)＝4－4k＋k＋1＝－5,解得k＝.

(2)由函數(shù)f(x)＝x2－2kx＋k＋1的圖象開口向上且對(duì)稱軸為x＝k,

得f(x)＝x2－2kx＋k＋1在區(qū)間[k,＋∞)上是增函數(shù),滿足條件①.

假設(shè)存在區(qū)間[a,b]?[k,＋∞),使得f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],則有即方程x2－2kx＋k＋1＝x在[k,＋∞)上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,得

2 單調(diào)“負(fù)相似”

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a,b]是減函數(shù),且f(x)的值域?yàn)椋?在[a,b]上有兩個(gè)相異實(shí)根.解法與單調(diào)“正相似”的思路一致.

例2 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇－b,－a],那么y＝f(x)叫做對(duì)稱函數(shù),現(xiàn)有f(x)＝－k是對(duì)稱函數(shù),那么k的取值范圍是 .

所以k＝－t2＋t＋2＝－取值范圍是

3 單調(diào)“逆相似”和“模糊相似”

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a,b]是減函數(shù),且f(x)的值域?yàn)榇藭r(shí)解關(guān)于a、b的方程即可;

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a,b]不是單調(diào)函數(shù),且f(x)的值域?yàn)榇藭r(shí)結(jié)合函數(shù)圖象,利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.

A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.無數(shù)對(duì)

a2＋a－2＝(a＋2)(a－1)＝0,

a＝1時(shí),b＝－2,舍去.a＝－2時(shí),b＝1,即實(shí)數(shù)對(duì)(－2,1)滿足條件.

min－2.2,因?yàn)閒(－2.2)＝f(6.2),故當(dāng)2＜b＜6.2時(shí),因f(－2.2)＝＜2,易知,不存在這樣的實(shí)數(shù)b;當(dāng)b≥6.2時(shí),由f(b)＝b得b2－9b－7＝0,

綜上所述,存在兩組實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)滿足條件.

4 在曲折的函數(shù)中尋覓“相似”

有些高次多項(xiàng)式函數(shù)和超越函數(shù)的圖象很“曲折”,是否存在定義域和值域“相似”的情況呢?要對(duì)定義域進(jìn)行分段討論,分析在每一個(gè)區(qū)間上是單調(diào)性,能否把問題轉(zhuǎn)化成前面講過的類型.必要時(shí)可采用排除法剔除不合題意的區(qū)間.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的圖象在x＝1處取得極值4.

(Ⅰ)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)對(duì)于函數(shù)y＝g(x),若存在兩個(gè)不等正數(shù)s、t(s＜t),當(dāng)s≤x≤t,函數(shù)y＝g(x)的值域[s,t],則把區(qū)間[s,t]叫函數(shù)y＝g(x)的“正保值區(qū)間”.問函數(shù)f(x)是否存在“正保值區(qū)間”?若存在,求出所有的“正保值區(qū)間”;若不存在,請說明理由.

解 (Ⅰ)f′(x)＝3x2＋2ax＋b,

所以f(x)＝x3－6x2＋9x,f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3).

由f′(x)＞0,解得x＜1或x＞3,

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(－∞,1)和(3,＋∞),遞減區(qū)間是(1,3).(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的“正保值區(qū)間”是[s,t],所以f(3)＝0＜s,所以極值點(diǎn)x＝3?[s,t],

(1)若極值點(diǎn)x＝1∈[s,t],此時(shí)0＜s≤1≤t＜3,在此區(qū)間上f(x)的最大值是f(1)＝4,不可能等于t.若3∈[s,t],則f(3)＝0與s＞0矛盾.故在區(qū)間[s,t]上沒有極值點(diǎn),即[s,t]為單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)＝x3－6x2＋9x在[s,t]單調(diào)遞增,即0＜s＜t≤1或3＜s＜t,

(3)若f(x)＝x3－6x2＋9x在[s,t]單調(diào)遞

兩式相減并除以s－t得(s＋t)2－6(s＋t)－st＋10＝0 ①

兩式相除可得[s(s－3)]2＝[t(t－3)]2,即s(3－s)＝t(3－t),

整理并除以s－t得s＋t＝3, ②

綜上所述,不存在滿足條件的s,t,即函數(shù)不存在“正保值區(qū)間”.

5 函數(shù)定義域與值域的假“全等”

b＝f(a)＝f(b),

∴a≤1,2＜b.

a＝0或a＝4(舍去).∴b＝4,a＋b＝4.

說明 函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合,其中不能含有不是函數(shù)值的元素.此題并不等價(jià)于f(x)的定義域和值域均為[a,b],因?yàn)閒(x)有最小值1,當(dāng)a≤1,b＞1時(shí)值域不同,定義域可以相同.

6 兩個(gè)函數(shù)間的“跨界相似”

兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,值域具有相關(guān)性時(shí),要結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,分別找出它們值域間的等量關(guān)系,再利用函數(shù)與方程的思想去解決.

(1)求g(x)的解析式;

(2)討論g(x)在(1,＋∞)內(nèi)的單調(diào)性,并加以證明;

(3)令h(x)＝1＋logax,當(dāng)[m,n]?(1,＋∞)(m＜n)時(shí),g(x)在[m,n]上的值域?yàn)閇h(n),h(m)],求a的取值范圍.

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得

a＞1時(shí),g(x)在(1,＋∞)內(nèi)是增函數(shù);0＜a＜1時(shí),在(1,＋∞)內(nèi)是減函數(shù).

(3)當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)、g(x)在(1,＋∞)上都是減函數(shù),由題意得

由g(x)＝h(x)得,ax2＋(a－1)x＋1＝0.

令s(x)＝ax2＋(a－1)x＋1,則s(x)在(1,＋∞)內(nèi)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn),

當(dāng)a＞1時(shí),h(n)＞h(m),區(qū)間[h(n),h(m)]不成立,舍去.

2017-09-29)