安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三年級(jí)部 殷 暢 李 正 (郵編：241001)

對(duì)一道壓軸選擇題錯(cuò)誤解答的探析

安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三年級(jí)部 殷 暢 李 正 (郵編：241001)

長(zhǎng)沙市2017屆高三年級(jí)上學(xué)期統(tǒng)一模擬測(cè)試?yán)砜频?2題：對(duì)于滿足0＜b≤3a的任意實(shí)數(shù)a、b,函數(shù)fx()＝ax2＋bx＋c總有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則的取值范圍是( )

圖1

最初的解法 依題意對(duì)于任意的滿足0＜b≤3a的實(shí)數(shù)a、b,有 △＝b2－4ac＞0,題目就變成了“已知的取值范圍”.于是就想到了轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃：已知的取值范圍.很興奮!剩下只需要換元,將、的取值范圍.如圖1所示,當(dāng)1＋x－y到點(diǎn)A(3,時(shí)取到最小,所以范圍是,但是發(fā)現(xiàn)沒(méi)有答案.

再認(rèn)真檢查解答,發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題之所在——題目的條件“實(shí)數(shù)a、b的任意性”沒(méi)有考慮.那就應(yīng)該是相切時(shí)最小.如圖2所示,求出切點(diǎn)為B(2,1),故而范圍是 (2 ,＋∞).答案對(duì)了.

這種解法是將三元消為二元,并利用到線性規(guī)劃這個(gè)看似與本題無(wú)干的知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題,有點(diǎn)激動(dòng)!

但是再仔細(xì)揣摩一下,卻覺(jué)得解答還是有點(diǎn)問(wèn)題.“實(shí)數(shù)a、b的任意性”只是控制 △ ＝b2－4ac＞0的,對(duì)目標(biāo)函數(shù)是沒(méi)有這個(gè)要求的.所以答案應(yīng)該還是不對(duì)!

圖2

原答案解析 依題意對(duì)于任意的滿足0＜b≤3a的實(shí)數(shù)a、b,有△＝b2－4ac＞0,于是c＜,對(duì)于任意的滿足0＜b≤3a的實(shí)數(shù)a、b恒成立.令t＝,因?yàn)?＜b≤3a,故0＜t≤3.因此1＋t－t2∈ (1,2],所以2,選D.

應(yīng)該說(shuō),題目設(shè)計(jì)巧妙,由函數(shù)到不等式再到函數(shù),的確不易想到.但是提供的解答同樣也是有問(wèn)題的!

依題意對(duì)于任意的滿足0＜b≤3a的實(shí)數(shù)a、b,有 △＝b2－4ac＞0,于是c＜,此時(shí)就應(yīng)該得到c的范圍.不存在“從而,對(duì)于任意的滿足0＜b≤3a的實(shí)數(shù)a、b恒成立.”也就是說(shuō),恒成立僅僅是“對(duì)于任意的滿足0＜b≤3a的實(shí)數(shù)的范圍.故而解答是錯(cuò)誤的.

與老師一同分析,最后得到的正確解答應(yīng)該是：任意的滿足0＜b≤3a的實(shí)數(shù)a、b,于是c.先求出c的范圍：由于是恒成立,故c＜而在選項(xiàng)中就沒(méi)有這個(gè)答案了.

通過(guò)整個(gè)解題過(guò)程的探索加深了對(duì)“任意性”的理解.

解題反思 波利亞在《怎樣解題》中指出：“碰上一個(gè)不完整的念頭怎么辦?應(yīng)該加以考慮.如果它看來(lái)有好處,就應(yīng)該多考慮一會(huì)兒.如果它看來(lái)是可靠的,你應(yīng)當(dāng)確定它能引導(dǎo)你走多遠(yuǎn),并重新考慮一下形勢(shì).由于這個(gè)有益的念頭,情況已經(jīng)變化了.你要從各個(gè)方面來(lái)考慮新形勢(shì)并找出它與你現(xiàn)有知識(shí)之間的聯(lián)系.”筆者一開(kāi)始的解答應(yīng)該是非?！坝幸妗钡哪铑^,只是思考不夠完備.但是由于有了這個(gè)“有益的念頭”,題目解答的真相其實(shí)已經(jīng)不遠(yuǎn).線性規(guī)劃的解法結(jié)合數(shù)形結(jié)合,似乎比答案的“放縮”更容易接受,也更容易理解.

題目反思 宋玉在《登徒子好色賦》所描述：東家之子,增之一分則太長(zhǎng),減之一分則太短;著粉則太白,施朱則太赤.筆者的解答與原答案正好一個(gè)是不足,一個(gè)是過(guò)了.回想這個(gè)題目,既然沒(méi)有選項(xiàng)了,應(yīng)該是有缺憾的,不能稱(chēng)為“東家之子”了.編題者原本用意定是希望學(xué)生按照所提供的解答的路子,那么我們也可以認(rèn)為原題目表達(dá)是不足的.

按解答思路,原題可以修改為：已知0＜b≤3a,函數(shù)fx()＝ax2＋bx＋c總有兩個(gè)不同的零點(diǎn),若對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)a、b,m＝

總有意義,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )

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2017-09-20)