安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 劉芹芹 陳克勝 (郵編：241000)

彰顯數(shù)學(xué)文化的弧度制教學(xué)設(shè)計(jì)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 劉芹芹 陳克勝 (郵編：241000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的基本理念之一是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,但在數(shù)學(xué)課堂真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化仍值得我們進(jìn)一步去研究.數(shù)學(xué)文化的物質(zhì)基礎(chǔ)是知識(shí)體系、應(yīng)用框架是工具性、得以發(fā)揚(yáng)的源泉是隱形價(jià)值、歷史積淀是數(shù)學(xué)史,以高中數(shù)學(xué)課程“弧度制”的教學(xué)為研究對(duì)象,從這四個(gè)層面改造弧度制教學(xué)設(shè)計(jì),彰顯弧度制的數(shù)學(xué)文化,真正將數(shù)學(xué)文化融入課堂,在此基礎(chǔ)上,提出在數(shù)學(xué)課堂中彰顯數(shù)學(xué)文化的一點(diǎn)思考.

弧度制;數(shù)學(xué)文化;弧長(zhǎng);教學(xué)設(shè)計(jì)

1 “弧度制”的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵

弧度制的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵可以這樣思考：以弧度制的概念作為數(shù)學(xué)文化教育的載體,在教育載體的背后隱藏著數(shù)學(xué)文化的價(jià)值內(nèi)涵,換言之,用“長(zhǎng)度”度量角是人類(lèi)思想的巨大轉(zhuǎn)變,是用“度”度量角思想之后的又一個(gè)解決角度問(wèn)題的關(guān)鍵性思想;弧度制本質(zhì)上是通過(guò)常用度量衡中長(zhǎng)度的比例計(jì)算思想,統(tǒng)一了角和長(zhǎng)度的單位,彰顯了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美;弧度和弧度符號(hào)的數(shù)學(xué)史展示了數(shù)學(xué)文化豐富的歷史積淀,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的符號(hào)化思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美;弧度制的數(shù)學(xué)文化決定了人的思維方式轉(zhuǎn)變,在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)提供有鮮明特色的思考方式,實(shí)際問(wèn)題往往大多源于生產(chǎn)實(shí)踐,因而,數(shù)學(xué)文化在很多方面為社會(huì)直接創(chuàng)造價(jià)值.

2 “弧度制”的教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)特殊引入——易于轉(zhuǎn)換思維

在單位圓中,半徑繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角度都是“360°”,是不變的定值,用角作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制,角度制規(guī)定圓周的360分之一為1度的角.同樣,在單位圓中,,“C＝2π”也是不變的定值,我們可以分割圓周長(zhǎng)找度量單位,將半徑作為度量單位度量弧長(zhǎng),由此得到＝1”時(shí),此時(shí)弧長(zhǎng)所對(duì)的角叫1弧度的角,用符號(hào)rad表示,讀作弧度,這樣就可以用弧長(zhǎng)來(lái)刻畫(huà)角度,實(shí)現(xiàn)了弧長(zhǎng)與角度在量上的對(duì)等,這種以弧度為單位度量角的單位制就稱為弧度制.

“弧度(radian)”一詞,是愛(ài)爾蘭工程師詹姆斯·湯姆森(JamesThomson)在1875年首先創(chuàng)造使用的,由半徑(radius)和角(angle)兩個(gè)英語(yǔ)單詞組合而成.1935年,我國(guó)《數(shù)學(xué)名詞》把radian譯為“弳(弧和徑兩字合成,讀jing)”,這表明圓心角的弧度數(shù)是由弧長(zhǎng)和半徑r共同決定的.1956年版的《數(shù)學(xué)名詞》廢除此字,定為弧度(梁宗巨,2000)[1].

弧度的符號(hào)表示在歷史上也幾次變換.1881年霍爾斯特德(Halsted)用ρ表示弧度單位;1909年霍爾(Hall)等用R表示;1907年鮑爾(Bauer)用r表示.直到1925年朗尼(Loney)的《平面三角》還用πc表示.近幾十年來(lái),數(shù)學(xué)家卻習(xí)慣將弧度的符號(hào)省去不寫(xiě)[1].這里老師提醒學(xué)生不寫(xiě)“弧度”二字或弧度符號(hào)不等于沒(méi)有,依舊是一個(gè)量而非實(shí)數(shù),要注意和實(shí)數(shù)的區(qū)別.

思考 上述弧度制是在單位圓中給出定義的,那在非單位圓的圓中是否依然成立呢?

設(shè)計(jì)意圖 從單位圓出發(fā),將定值“2π”與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的定值“360°”建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過(guò)程,更容易使學(xué)生轉(zhuǎn)化思維方式.從數(shù)學(xué)文化的角度出發(fā),在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)知識(shí)的基礎(chǔ)上,將學(xué)生的思維方式從角作為單位來(lái)度量角轉(zhuǎn)換為從弧長(zhǎng)作為單位來(lái)度量角,使學(xué)生對(duì)弧度制有初步的感性認(rèn)識(shí).問(wèn)題的引入激發(fā)了學(xué)生探究新知的欲望,提高了學(xué)生的好奇心,為本節(jié)課作下了良好的鋪墊.

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過(guò)程,以學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)作為數(shù)學(xué)文化的物質(zhì)基礎(chǔ),借助定值“360°”研究定值“2π”,建構(gòu)一種學(xué)生思考問(wèn)題的方法,在學(xué)生潛移默化的轉(zhuǎn)變思維方式的過(guò)程中發(fā)揮著其文化價(jià)值的作用.其二,體現(xiàn)用弧長(zhǎng)度量角的思想.其三,從數(shù)學(xué)史的角度,將弧度和弧度符號(hào)的由來(lái)置于豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵之中,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔美,陶冶了學(xué)生的審美情操,對(duì)于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)起著重要的作用.

(二)特殊到一般——得出弧度制概念

在非單位圓的圓中,由于r≠1,弧長(zhǎng)與角度在量上雖然是不對(duì)等的,但只需要將等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的角定義為1弧度的角,即1弧度的角所對(duì)弧長(zhǎng)等于半徑,用符號(hào)rad表示,讀作弧度,依然可以利用“弧長(zhǎng)”來(lái)刻畫(huà)其他的角,比如2弧度的角是此“弧長(zhǎng)”的2倍,3弧度的角是此“弧長(zhǎng)”的3倍等等.這節(jié)課之前我們將角的概推廣到任意角,有正角、負(fù)角、零角,但弧長(zhǎng)與半徑的比值不可能為負(fù).一般地,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0,如果半徑r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是,這里,角α的正負(fù)由角α的終邊旋轉(zhuǎn)方向決定[3].

思考 弧度制作為角的另一種度量單位,如何與角度制轉(zhuǎn)換的呢?

設(shè)計(jì)意圖 從單位圓到非單位圓的圓,從特殊到一般,利用學(xué)生思維已有弧長(zhǎng)度量角的思想自然而然得出弧度制的概念.從數(shù)學(xué)文化出發(fā),在數(shù)學(xué)教學(xué)中介紹“弧度制”的發(fā)展歷程,讓學(xué)生知道它們不是憑空出現(xiàn),是前人積極探索的結(jié)果.

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,常用度量衡中長(zhǎng)度的比例計(jì)算思想,特殊到一般的思想,用“長(zhǎng)度”度量角的思想,向?qū)W生揭示了一種科學(xué)的思維方法,優(yōu)化了學(xué)生的思維,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化對(duì)學(xué)生的精神影響.其二,借助數(shù)學(xué)史上角的其它度量方式并不能使進(jìn)位制統(tǒng)一的問(wèn)題,將弧度制的由來(lái)置于豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵之中,進(jìn)一步表明引入弧度制不是為了引入而引入,而是解決了進(jìn)位制統(tǒng)一的問(wèn)題,讓學(xué)生真正感受到現(xiàn)實(shí)世界需要這種數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵以及引入弧度制的可行性.其三,數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)家所遇到的困難,同樣也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難,向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的研究歷程,反映出人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)研究的精神,讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)家探求知識(shí)的艱難,培養(yǎng)學(xué)生的探索科學(xué)的精神.這種以弧度制的史實(shí)系統(tǒng)作為載體,在學(xué)生逐步建立人文主義精神和數(shù)學(xué)觀念的同時(shí),發(fā)揮著重要的數(shù)學(xué)文化價(jià)值.

36例患者影像測(cè)量結(jié)果見(jiàn)表3。術(shù)后側(cè)凸Cobb角較術(shù)前明顯降低，差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）；前凸角度、椎間孔高度、椎間隙高度、椎間孔面積、椎管面積較術(shù)前明顯升高，差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）。典型病例影像資料見(jiàn)圖2。

(三)引導(dǎo)探究——理解角度與弧度的關(guān)系

圓轉(zhuǎn)一周在角度制下度數(shù)是360,在弧度制下弧度數(shù)是2π,所以

其他[0,2π]內(nèi)的特殊角,可以通過(guò)類(lèi)比如圖1和圖2所示的“形”化出來(lái).

這樣,在弧度制條件下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間就可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這也為后面學(xué)習(xí)把三角函數(shù)看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)打下了基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生領(lǐng)悟到角度制、弧度制都是角的度量制,二者雖然單位不同,但是是互相聯(lián)系,相互統(tǒng)一的,更容易看清角與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而解決了“sin30°＝”這類(lèi)進(jìn)制不統(tǒng)一的問(wèn)題.

圖1 特殊角的圖形

圖2 特殊角的圖形

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,用直觀的圖形將弧度制與角度制關(guān)系聯(lián)系起來(lái),讓學(xué)生學(xué)會(huì)將復(fù)雜繁多的問(wèn)題直觀化,感受圖形所帶來(lái)的方便簡(jiǎn)潔美,從而讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)所帶來(lái)的快樂(lè),欣賞弧度制之美.其二,在直角三角形中,弧度作為三角函數(shù)的自變量等于圓弧長(zhǎng)與半徑的比值,而三角函數(shù)的自變量是三角形邊長(zhǎng)的比,從而可以得出三角函數(shù)是從長(zhǎng)度的比值到長(zhǎng)度的比值的映射,使自變量與因變量的形式統(tǒng)一,極大的彰顯了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

(四)及時(shí)應(yīng)用——體會(huì)弧度制精髓所在

①75° ②22°30′ ③－265°

例2 按照下列要求,將弧度化為角度.

例3 利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式[3];

其中R是半徑,l是弧長(zhǎng),α(0＜α＜2π)為圓心角,S是扇形的面積.

設(shè)計(jì)意圖 例1和例2是讓學(xué)生掌握弧度制和角度制的轉(zhuǎn)換過(guò)程,加深對(duì)弧度制的理解和應(yīng)用.通過(guò)例3使學(xué)生自然而然的體會(huì)到弧度制可以簡(jiǎn)化公式,如為求扇形的面積和弧長(zhǎng)提供了方便,從而大大簡(jiǎn)化了有關(guān)公式及其運(yùn)算并培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和意識(shí).

彰顯的數(shù)學(xué)文化 其一,在解決問(wèn)題的過(guò)程中,讓學(xué)生體會(huì)利用弧度制刻畫(huà)面積公式,感受弧度制給我們學(xué)習(xí)生活所帶來(lái)的簡(jiǎn)便,潛移默化中改變學(xué)生的思維方式,體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的隱形價(jià)值.其二,人渴望欣賞美,數(shù)學(xué)之美正是人所需要的,弧度制下的圓的面積和弧長(zhǎng)公式的流暢,推理的精煉,等式兩邊度量衡的統(tǒng)一,彰顯了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美,弧度制下的圓的面積和弧長(zhǎng)公式與角度制下的圓的面積和弧長(zhǎng)公式對(duì)比,極大的彰顯了弧度制的簡(jiǎn)潔美.

(五)小結(jié)作業(yè)——理順熟練知識(shí)

(1)小結(jié)

不管圓的大小如何發(fā)生改變,圓的周長(zhǎng)與直徑的比值都是“π”,無(wú)理數(shù)“π”具有濃密的傳奇韻味,在以后學(xué)習(xí)中讓我門(mén)慢慢用心去品味他.

弧度制成為角的度量單位之一,可以與角度制進(jìn)行換算,即

用弧度制度量角,不僅數(shù)量簡(jiǎn)單,而且由此更容易看清角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

本節(jié)課有鮮明特色的思想是用“長(zhǎng)度”刻畫(huà)角,我們要學(xué)會(huì)用這種思想去處理各種問(wèn)題.

(2)作業(yè)

必做題：課后練習(xí).選做題：發(fā)揮你的創(chuàng)造性,每人制作一把扇子,然后與其他同學(xué)進(jìn)行比較,從中選擇出一把展開(kāi)看上去形狀較為美觀的扇子,并用計(jì)算器算出它的面積[4].

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在教學(xué)回顧中,整理知識(shí),建立對(duì)弧度制的整體意識(shí),整體地了解把握弧度制.選擇與學(xué)生實(shí)際生活相關(guān)的課后習(xí)題,使學(xué)生體會(huì)弧度制的好處,培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,學(xué)以致用并認(rèn)識(shí)任何新知識(shí)的都會(huì)為我們解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

彰顯的數(shù)學(xué)文化：將弧度制與學(xué)生的實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來(lái),讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,真正感受到數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)中內(nèi)涵,數(shù)學(xué)是為人類(lèi)自身服務(wù),人類(lèi)文明發(fā)展至今,可以說(shuō)生活離不開(kāi)數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)使生活更精彩[4].

3 一點(diǎn)思考

2016年10月8號(hào),教育部考試中心公布了[2016]第179號(hào)文件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》,關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科具體修訂內(nèi)容有如下描述“在能力要求內(nèi)涵方面,增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求,增加了數(shù)學(xué)文化的要求.同時(shí)對(duì)能力要求進(jìn)行了加細(xì)說(shuō)明,使能力要求更加明確具體”其中對(duì)數(shù)學(xué)增加了數(shù)學(xué)文化的要求.這一文化從考試大綱的角度明確要求在數(shù)學(xué)試題中融入數(shù)學(xué)文化,今后的高考試題中也定會(huì)有所體現(xiàn).數(shù)學(xué)文化在教學(xué)如何成功的彰顯出來(lái),對(duì)廣大數(shù)學(xué)教育者而言,是一個(gè)重要的課題.數(shù)學(xué)文化是一個(gè)籠統(tǒng)的概念,正因?yàn)槊總€(gè)數(shù)學(xué)教育者對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解不一樣,導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計(jì)的思路不一樣.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過(guò)介紹數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)思想方法、課本習(xí)題后面的閱讀與思考、數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透數(shù)學(xué)文化,彰顯數(shù)學(xué)文化對(duì)人類(lèi)的精神影響、對(duì)社會(huì)創(chuàng)造的直接價(jià)值、對(duì)人行為的影響以及對(duì)人類(lèi)審美情操的陶冶.

1 王越偲.上海高中生對(duì)弧度制概念的理解[D].上海：華東師范大學(xué),2010

2 江灼豪,何小亞.弧度制發(fā)展的歷史溯源[J].數(shù)學(xué)通報(bào) .2016(7)：14-17

3 中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修4[M].北京：人民教育出版社,2007

4 陳克勝,董杰.彰顯數(shù)學(xué)文化的一元一次方程的教學(xué)案例及其思考[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版)2012(2)：135-138

2017-09-28)