隋秀凜 陳曉奇 焦 艷 廉 沖

哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院，哈爾濱，150080

基于空間填充法的刀具路徑生成算法及其仿真

隋秀凜 陳曉奇 焦 艷 廉 沖

哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院，哈爾濱，150080

針對空間填充曲線法的網(wǎng)格只具有正則矩形，生成的刀具路徑存在頻繁轉(zhuǎn)向、長度冗長、生成時間長等缺點，提出一種基于空間填充法的刀具路徑生成算法。選用T樣條曲面為造型曲面，生成具有非正則矩形的網(wǎng)格并進行回路的規(guī)劃；用改進的Hamiltonian算法初步生成刀具路徑；用改進的倒圓角算法進行拐角優(yōu)化，獲得最終的刀具路徑。開發(fā)出了基于該算法的仿真系統(tǒng)，對算法進行了仿真驗證和實際的加工實驗，結(jié)果表明所提出算法有效可行，生成的刀具路徑長度及生成時間都得到縮短。

空間填充曲線； T樣條曲面；Hamiltonian算法；倒圓角算法

0 引言

機械、航空等領(lǐng)域技術(shù)的飛速發(fā)展對產(chǎn)品的性能和外形提出了更高的要求，被加工的曲面也隨之變得越來越復(fù)雜。目前數(shù)控機床或者加工中心多采用行切法、環(huán)切法以及空間填充曲線(space-filling curve，SFC)法進行加工制造，而空間填充曲線法在復(fù)雜曲面加工上的應(yīng)用優(yōu)于其他兩種加工方法[1-3]。空間填充曲線法是一種降低空間維度的方法，它將數(shù)據(jù)從高維度向低維度映射，使用經(jīng)典線性索引結(jié)構(gòu)存儲數(shù)據(jù)。常用的空間填充曲線有Hilbert 曲線、Gray曲線和Z曲線。雖然國內(nèi)外學(xué)者對空間填充曲線法在刀具路徑規(guī)劃中的運用進行了不同程度的研究，但是空間填充曲線法還是存在著許多問題有待解決，例如：刀具路徑從參數(shù)空間到實際加工表面的映射問題；由于網(wǎng)格的劃分均采用正則的矩形，面對復(fù)雜曲面如何進行合理的細(xì)化和分割問題；生成的刀具路徑均存在的刀具頻繁轉(zhuǎn)向問題[4-6]。

T樣條曲面是一種具有水密性的造型曲面，在構(gòu)建模型時不需進行面片裁剪和拼接，是一個單一的全曲面，具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達式[7-8]，并且T樣條曲面具有的參數(shù)空間和歐氏空間存在一一映射的關(guān)系，數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)完全相同，因此可以極大地降低刀具路徑從空間到實際加工表面的映射難度[9]。同時,由于T樣條曲面在構(gòu)建網(wǎng)格時允許T節(jié)點的存在，所以其劃分存在非正則矩形，從而可以更好地表達曲面[10-11]。因此本文提出一種基于空間填充曲線法的刀具路徑生成算法。首先，選用T樣條曲面作為造型曲面，對工件進行建模，根據(jù)設(shè)置的限定殘高等切削參數(shù)，在參數(shù)空間生成具有非正則矩形的網(wǎng)格，進行回路的規(guī)劃；然后，制定回路合并所產(chǎn)生的代價策略，用改進的Hamiltonian算法對回路進行合并處理，初步生成刀具路徑；最后，用改進的倒圓角算法進行拐角優(yōu)化，得到參數(shù)空間的整體刀具路徑，最終映射到實際空間得到指導(dǎo)實際加工的整體刀具路徑。

1 T樣條曲面的網(wǎng)格和回路

1.1 網(wǎng)格的劃分與生成

以T樣條曲面為造型曲面，對實際加工的工件進行建模，確定工件的歐氏空間與參數(shù)空間。選取參數(shù)空間為刀具路徑的規(guī)劃空間，將參數(shù)空間的刀具路徑映射到歐氏空間內(nèi)，即可得到實際的刀具路徑。在參數(shù)空間內(nèi)，依據(jù)等殘留高度法原理[12-14]，以限定殘高為條件，進行網(wǎng)格的劃分與生成。

設(shè)參數(shù)空間網(wǎng)格曲面的表達式為

S=S(u,v)

(1)

給定限定殘高ε，當(dāng)曲面為凹曲面時，ε與曲面曲率半徑ρ、刀具有效半徑Re以及切削寬度l滿足如下關(guān)系：

(2)

當(dāng)曲面為凸曲面時，滿足如下關(guān)系：

(3)

根據(jù)同樣原理，在u方向上也可以生成一系列的偏置參數(shù)線，將u方向的參數(shù)線與v方向的參數(shù)線相互交疊，就得到參數(shù)域上的網(wǎng)格，所得的交點即設(shè)定為網(wǎng)格的網(wǎng)格點。

1.2 回路的規(guī)劃

若將可形成矩形的相鄰4個網(wǎng)格點連接在一起，那么連接后的矩形即為一個回路，其中網(wǎng)格點之間的連線稱之為回路的邊。圖1所示灰色區(qū)域為參數(shù)空間中工件的形狀。依據(jù)1.1節(jié)方法生成網(wǎng)格，圖1a所示為網(wǎng)格點構(gòu)成的無向圖G。以初始參數(shù)線上的網(wǎng)格點為初始網(wǎng)格點，尋找相鄰的其余三個網(wǎng)格點，并且對非法的回路進行合理的處理，可生成圖1b所示的用于刀具路徑生成的對偶圖G′。

(a)無向圖G (b)對偶圖G′圖1 回路生成示意圖Fig.1 Diagram of loop generation

與傳統(tǒng)的張量積曲面不同，由于T樣條曲面在建模時是單一的全曲面，所以會覆蓋工件上不規(guī)則的邊界與孔洞。在構(gòu)建網(wǎng)格時，網(wǎng)格內(nèi)的網(wǎng)格點可能落入孔洞之中或不規(guī)則邊界之外，在回路生成時會有不同的影響。圖1a中A、B、C、D 4種情況可能無法生成回路，針對這些情況，本文制定了4種處理規(guī)則，如圖2所示。

(a)情況A (b)情況B

(c)情況C (d)情況D圖2 非法回路處理規(guī)則Fig.2 Rules of illegal loop

(1)情況A。造成此情況的原因是在生成網(wǎng)格時存在奇數(shù)列或行，使得邊界部分不包含在網(wǎng)格內(nèi)，無法構(gòu)成回路。針對此情況，遵循圖2a所示的處理規(guī)則：設(shè)Pa1、Pa2為奇數(shù)列或行上的網(wǎng)格點，在邊界曲線上取兩點Pa3、Pa4，并且規(guī)定Pa1Pa3、Pa2Pa4與Pa1Pa2垂直，使Pa3、Pa4滿足構(gòu)成回路的4個網(wǎng)格點的條件，與Pa1、Pa2組成新的回路。

(4)情況D。造成此情況的原因是在生成網(wǎng)格時構(gòu)成回路的4個網(wǎng)格點完全落在孔洞之內(nèi)。針對此情況(圖2d)，在進行后續(xù)的刀具路徑規(guī)劃時可以舍棄，不作處理。

2 刀具路徑的規(guī)劃

2.1 刀具路徑的生成

2.1.1回路的合并代價

如何對回路進行合并，將決定怎樣生成刀具路徑，因此確定回路合并的代價函數(shù)是十分重要的。設(shè)合并的代價函數(shù)為Cost(*)，影響Cost(*)的因素包括刀具的姿態(tài)、刀具路徑的長度以及當(dāng)前狀態(tài)的加工條件等，根據(jù)已確定的影響因素，由下式獲得Cost(*)的大?。?/p>

Cost(*)=(VwV+LwL+CwC+…)

(4)

其中,V表示刀具的姿態(tài)；wV為刀具姿態(tài)的影響權(quán)重；L為刀具路徑的長度，wL為刀具路徑長度的影響權(quán)重；C為當(dāng)前狀態(tài)的加工條件；wC為當(dāng)前狀態(tài)加工條件的影響權(quán)重。這些影響因素可以根據(jù)實際加工的要求進行人為設(shè)定，在這里僅考慮影響因素V和L，并且設(shè)定wP=wL=1，即認(rèn)定V與L是同樣重要的影響因素。

如圖3a所示，回路A與回路B、C、D、E相鄰。以回路A與B合并為例(其中e、f為回路A與B相對的實邊，g、h為合并時需要連接的虛邊)，在回路A時刀具的姿態(tài)為VA，在回路B時刀具的姿態(tài)為VB。根據(jù)下式可得回路A與B合并時所付出的代價Cost(A,B)：

(5)

同樣，依據(jù)式(5)可獲得回路A與回路B、C、D、E進行合并時各自的合并代價，并通過Cost(A,B)、Cost(A,C)、Cost(A,D)與Cost(A,E)相互比較，確定回路A與哪個回路的合并代價最小。假如回路A與B的合并代價值最小，那么將回路A與B進行合并，生成圖3b所示的新回路A″。

(a)合并之前 (b)合并之后圖3 回路合并Fig.3 Coalition of loops

2.1.2改進的Hamiltonian算法

Hamiltonian算法是一種簡單且高效的軌跡解決算法，該算法是一種覆蓋合并算法，可以在任何矩形網(wǎng)格中得到拓展應(yīng)用[1-2,16]。但是該算法是以生成的網(wǎng)格存在奇數(shù)列或行為基礎(chǔ)進行演算的，并且構(gòu)建網(wǎng)格的行或列都是正則的，而根據(jù)第1節(jié)中網(wǎng)格的生成特點以及回路的生成方法，以及2.1.1節(jié)確定的合并代價算法，生成的回路無向圖G覆蓋在工件表面，整體形狀如工件形狀，生成的行或列需要進行不同程度的修剪，使得原Hamiltonian算法不能完全適應(yīng)生成的回路無向圖G，因此本文對Hamiltonian算法進行改進,具體實現(xiàn)步驟如下(圖4，其中，圖4a表示無向圖G，圖4b表示對偶圖G′，圖4c為生成的刀具路徑)：

圖4 刀具路徑生成示意圖Fig.4 Schematic diagram of toolpath generation

(1)設(shè)集合M為刀具路徑的最小生成樹集合，并規(guī)定M為空集。針對非正則的行或列，在對偶圖G′中取外圍的節(jié)點為邊界點，設(shè)邊界點數(shù)為m。如圖4b2所示，取圖中某一節(jié)點，以逆時針方向取m/4～m/2個邊界點，不考慮這些回路的合并代價，將這些邊界點進行連接，相應(yīng)回路進行合并，生成初始的特殊回路(圖4a2)并放入集合M中。

(2)對于圖4b所示的對偶圖G′，將剩余的節(jié)點都作擬合并處理，得到每條邊的合并代價，以合并代價的數(shù)值大小為依據(jù)進行升序的排序。

(3)根據(jù)步驟(2)所得的邊的序列，將第1個元素的2個回路進行合并，得到圖4b3所示的新邊，即合并代價最小的邊，若該邊兩端的節(jié)點與集合M內(nèi)其他節(jié)點相連接，在其對偶圖G′中不構(gòu)成回路，并且滿足合并代價的要求，則將該邊以及相應(yīng)的節(jié)點加入到集合M中；若構(gòu)成回路，則此條邊以及相應(yīng)的節(jié)點不能加入到集合M中。

(4)若將邊放入集合M中，存在于M中的兩個節(jié)點就相互連接，即對偶圖G′中的兩個節(jié)點相互連接，圖4a3所示的相應(yīng)的無向圖G中兩個回路相連接生成新的回路，則進入步驟(5)，否則返回步驟(3)。

(5)如果集合M內(nèi)存在n-1條邊線(其中n為對偶圖G′中節(jié)點的數(shù)量)，則停止回路的合并，此時的集合M即為刀具路徑的生成結(jié)果集合，將集合M進行輸出即可生成圖4c所示的刀具路徑，否則返回步驟(3)。

2.2 刀具路徑的優(yōu)化

盡管采用了改進的Hamiltonian算法進行刀具路徑的規(guī)劃，但是生成后的刀具路徑依舊存在很多90°的直角拐角，這在實際的加工過程中會導(dǎo)致進給方向頻繁轉(zhuǎn)向，對機床和刀具都帶來極大的沖擊，同時還會導(dǎo)致加工表面質(zhì)量下降，因此需要對改進的Hamiltonian算法生成的刀具路徑進行優(yōu)化處理。

倒圓角過渡算法的原理就是把直角過渡替換成相切圓的圓弧過渡，使拐角處的直線部分與圓弧相切，在進行加工時實現(xiàn)圓弧過渡，從而減小沖擊[6]。但是倒圓角過渡算法是應(yīng)用在正則矩形的網(wǎng)格上，而本文生成的網(wǎng)格具有非正則的矩形，因此本文提出了一種改進的倒圓角過渡算法。

根據(jù)倒圓角算法的原理，需要尋找相切點，因此本文提出了一種尋找相切點的方法來改進倒圓角過渡算法，其具體實現(xiàn)如下：

(1)根據(jù)第1節(jié)構(gòu)建網(wǎng)格時生成u、v方向的參數(shù)線不同的偏置距離lu和lv，設(shè)定偏置距離d，并且滿足0

(2)如圖5a所示，p0為某一網(wǎng)格點，根據(jù)步驟(1)中的偏置距離d分別向4個方向進行偏置得到4個點p1、p2、p3和p4。根據(jù)生成的4個偏置點p1、p2、p3、p4的坐標(biāo)信息，判斷其是否在已生成的刀具路徑上面。

(3)根據(jù)刀具路徑的生成情況，偏置點最多有2個存在于刀具路徑上。若只存在1個偏置點在刀具路徑上，則表明該點是刀具路徑的起始點或者終點；若2個偏置點的縱坐標(biāo)相同(如圖5a中的p1與p3)或者2個偏置點的橫坐標(biāo)相同(如圖5a中的p2與p4)，則表明在網(wǎng)格點p0處不存在拐角，此處的刀具路徑是直線型的。若2個偏置點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均不相同(如圖5a中的p1與p4)，則表明在網(wǎng)格點p0處存在拐角，此處的刀具路徑呈直角型轉(zhuǎn)向。

(6)

依據(jù)上述改進算法，對生成的網(wǎng)格中的網(wǎng)格點從上到下、從左到右進行遍歷，進行拐角的判斷與優(yōu)化，最終可獲得圖5b所示的優(yōu)化后的刀具路徑。

(a)優(yōu)化策略(b)優(yōu)化后的刀具路徑圖5 刀具路徑的優(yōu)化Fig.5 Optimization of toolpath

此時生成的刀具路徑存在于T樣條曲面的參數(shù)空間內(nèi)，依據(jù)參數(shù)空間與歐氏空間一一映射的關(guān)系，將得到的刀具路徑從參數(shù)空間向歐氏空間映射，即可得到存在于歐氏空間中的工件表面實際的加工刀具路徑。

3 仿真與實驗

3.1 仿真系統(tǒng)的開發(fā)

本文采用Microsoft Visual Studio 2010 為開發(fā)平臺，以O(shè)pen GL為圖形引擎核心，依據(jù)上述方法，開發(fā)出基于空間填充曲線法的數(shù)控精銑仿真系統(tǒng)，圖6為會員登陸后系統(tǒng)的主要操作界面。

圖6 系統(tǒng)主要操作界面Fig.6 Interface of simulation system

在標(biāo)題欄中“文件”處可以導(dǎo)入待加工的工件信息文件；圖6左側(cè)的空白矩形窗口可以顯示導(dǎo)入的工件模型；參數(shù)窗口可以設(shè)置切削參數(shù)和刀軸參數(shù)；網(wǎng)格窗口是依據(jù)前面設(shè)置的參數(shù)信息生成的網(wǎng)格信息，可以查看u方向的v參數(shù)線、v方向的u參數(shù)線以及生成的整體網(wǎng)格；回路窗口是依據(jù)回路的處理規(guī)則進行規(guī)劃后的回路情況，可以查看回路的無向圖G和對偶圖G′；刀具路徑窗口是依據(jù)前面得到的回路信息和工件信息進行刀具路徑的規(guī)劃，可以查看回路合并時不同序列的無向圖G與對偶圖G′、整體刀具路徑的無向圖G與對偶圖G′，以及采取優(yōu)化算法生成的優(yōu)化后的刀具路徑；仿真加工窗口是依據(jù)前面得到的優(yōu)化后的刀具路徑，將其映射到實際歐氏空間，在工件表面進行仿真加工，可查看加工的仿真結(jié)果，并可以得到相應(yīng)的可用于實際加工的NC程序代碼。

3.2 仿真實驗與分析

本文以鋼盔為加工工件進行仿真實驗。首先在“文件”處導(dǎo)入鋼盔的信息文件，然后在參數(shù)窗口設(shè)置表1所示的切削參數(shù)。對刀軸參數(shù)進行設(shè)置，如表2所示。

表1 切削參數(shù)

表2 刀軸參數(shù)

根據(jù)表1和表2設(shè)置的參數(shù)，在網(wǎng)格窗口生成相應(yīng)的網(wǎng)格，然后根據(jù)生成的網(wǎng)格信息和所獲得工件信息，對回路進行規(guī)劃，規(guī)劃后的回路情況如圖7所示。

(a)無向圖G

(b)對偶圖G′圖7 規(guī)劃后的回路Fig.7 The planned loop

圖7a所示為依據(jù)回路處理原則生成的無向圖G，通過對回路的劃分和重新生成，構(gòu)建了一個圓形區(qū)域的無向圖；圖7b為相應(yīng)的對偶圖G′，可以看出其形狀也近似為一個圓形。

刀具路徑窗口將根據(jù)圖7所生成的回路，運用改進的Hamiltonian算法對刀具路徑進行規(guī)劃，生成圖8所示的刀具路徑，其中，圖8a為無向圖G，圖8b為對偶圖G′，圖8c為優(yōu)化后的刀具路徑。

圖8 刀具路徑生成規(guī)劃示意圖Fig.8 Generation of toolpath

圖8a1所示為相鄰邊界上不計代價進行回路合并而生成的初始路徑，并且該路徑并非是封閉的回路曲線，其起始點與終點是分開的，成一條單獨的路徑，其拐角處呈90°直角；圖8b1為相應(yīng)的對偶圖，代表相應(yīng)回路的對偶節(jié)點已經(jīng)通過邊線連接起來；圖8a2為第43次回路合并后的刀具路徑圖，除了初始路徑外，根據(jù)合并代價的大小，已經(jīng)生成了2個新的不同的回路，在其對應(yīng)的對偶圖(圖8b2)中，相應(yīng)的對偶節(jié)點也通過邊線連接起來，但無論初始路徑還是新生成的回路路徑，其拐角處依舊是90°的直角；圖8a3所示為生成的整體刀具路徑，此時的路徑是一條單連通、無回路的復(fù)雜曲線，其對偶圖(圖8b3)所有的對偶節(jié)點都通過邊線連接起來，并且不構(gòu)成回路，但是生成的刀具路徑在拐角處仍然均是90°的直角；如圖8c所示，經(jīng)過改進的倒圓角過渡算法的優(yōu)化，生成后的刀具路徑在拐角處呈圓弧過渡，不存在90°的直角拐角。

圖8c所示的優(yōu)化后的刀具路徑存在于空間填充曲線的參數(shù)空間中，將其映射到實際歐氏空間進行仿真加工，其仿真結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，所開發(fā)的仿真系統(tǒng)可以實現(xiàn)本文提出的基于空間填充曲線法刀具路徑的生成算法，并且可以進行完整的仿真操作。

圖9 仿真加工結(jié)果Fig.9 Simulation result of machining

3.3 實驗驗證與分析

(a)加工過程

(b)加工結(jié)果圖10 實際加工圖Fig.10 Actual processing

依據(jù)表1與表2的加工參數(shù)，在XH715立式加工中心上進行了實際的加工實驗，如圖10所示。如圖10a所示，使用激光測量儀對加工時的路徑長度進行監(jiān)測，并同時記錄加工所用的時間，加工后的結(jié)果如圖10b所示。隨機測量加工后的工件上200個采樣點處的殘留高度，得到的平均殘留高度、加工時間及路徑長度結(jié)果如表3所示。

表3 實驗結(jié)果

由表3結(jié)果可知，使用本文開發(fā)的仿真系統(tǒng)的仿真結(jié)果與實際加工所獲得的結(jié)果數(shù)值相差不大，生成的刀具路徑長度、加工時間以及平均殘留高度的相對誤差不超過10%，表明本文開發(fā)的仿真系統(tǒng)能夠滿足實際加工要求，符合實際加工的標(biāo)準(zhǔn)，本文算法是有效可行的。同時表3結(jié)果表明：與傳統(tǒng)的空間填充曲線法相比較，運用本文提出的刀具路徑生成算法生成的刀具路徑總長度減小17 175.85 mm，縮短了加工長度；加工時間縮短195.24 s，提高了加工效率；生成的平均殘留高度減小了0.3 μm，提高了加工精度。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于空間填充曲線法的刀具路徑生成算法：選用T樣條曲面為造型曲面，依據(jù)限定殘高，生成具有非正則矩形的網(wǎng)格，并進行回路的規(guī)劃；依據(jù)回路的合并代價，用改進的Hamiltonian算法初步生成刀具路徑；用改進的倒圓角算法進行拐角優(yōu)化，獲得最終的刀具路徑。利用VS2010和OpenGL開發(fā)了基于該算法的仿真系統(tǒng)，并進行了仿真實驗，同時進行了實際的加工驗證。結(jié)果表明，仿真結(jié)果與實際加工結(jié)果的刀具路徑長度、加工時間以及平均殘留高度相對誤差在10%以內(nèi)，證明了本文算法的有效性，同時表明開發(fā)的仿真系統(tǒng)可以滿足實際加工的要求；與傳統(tǒng)空間填充曲線法相比，本文算法生成的刀具路徑長度減小17 175.85 mm，加工的時間縮短195.24 s，生成的平均殘留高度減小0.3 μm，表明本文方法生成的刀具路徑長度更短，生成時間更短，同時還能滿足加工精度要求。

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ToolpathGeneratingMethodandSimulationBasedonSpace-fillingCurves

SUI Xiulin CHEN Xiaoqi JIAO Yan LIAN Chong

School of Mechanical and Power Engineering,Harbin University of Science and Technology,Harbin,150080

In view of grids for space-filling curve were regular rectangles, and toolpath constructed on space-filling curve had defects such as frequent turns, tediously long lengths, long generation time, etc. A tool path generation algorithm was proposed based on space-filling curve. T-spline surfaces were regarded as modeling surfaces for generating grids with irregular rectangles, and a loop planning was performed. And then an improved Hamiltonian algorithm was used for generating tool path preliminarily. At last, the whole tool paths which could be obtained based on optimized corner by using an improved fillet algorithm. A simulation system was developed to verify the tool paths generation algorithm, and the algorithm was also tested by the actual machining. The results show that the algorithm is effective and feasible, and it will reduce lengths and time costs of tool-path’s generatons.

space-filling curve; T-spline surface; Hamiltonian algorithm; fillet algorithm

TH164

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.23.010

2016-08-09

哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項基金優(yōu)秀學(xué)科帶頭人項目(2013RFXXJ064)

(編輯蘇衛(wèi)國)

隋秀凜，女，1962年生。哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院副院長、教授。主要研究方向為計算機集成制造技術(shù)、虛擬制造技術(shù)、數(shù)控技術(shù)。發(fā)表論文20余篇。E-mail:xiulinsui@163.com。陳曉奇，男，1989年生。哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院碩士研究生。焦艷，女，1990年生。哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院碩士研究生。廉沖，女，1989年生。哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院碩士研究生。