徐 琳 劉 凱 崔亞輝 孟培媛

西安理工大學機械與精密儀器工程學院，西安,710048

差動輪系動態(tài)跟隨性能研究

徐 琳 劉 凱 崔亞輝 孟培媛

西安理工大學機械與精密儀器工程學院，西安,710048

以差動輪系為研究對象，分析了三個基本構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩以及功率關(guān)系，在此基礎(chǔ)上提出了相應的靈敏度與貢獻度概念并獲得對應的表達式。進一步研究了靈敏度與貢獻度的影響參數(shù)以及影響規(guī)律并展開了相關(guān)的對比實驗。研究結(jié)果表明：轉(zhuǎn)速靈敏度和轉(zhuǎn)矩貢獻度只與差動輪系特性參數(shù)相關(guān)；轉(zhuǎn)速貢獻度和功率貢獻度由特性參數(shù)以及輪系轉(zhuǎn)速匹配關(guān)系共同決定。靈敏度與貢獻度反映了差動輪系在運動中的動態(tài)跟隨性能，對差動輪系的選型與設計有參考作用。

差動輪系；靈敏度；貢獻度；動態(tài)跟隨性能

0 引言

差動輪系因體積小、傳動比大、傳動穩(wěn)定、傳動方式靈活以及效率高等優(yōu)勢而被廣泛應用，是航空器、風力發(fā)電機、煤礦機械與汽車傳動的重要組成部分[1-6]。

現(xiàn)有的差動輪系研究主要集中在輪系的運動學、靜力學特性和動力學特性。在靜力學分析方面，文獻[7-9]對差動輪系的傳動比與靜力學特性進行了研究并加以試驗驗證;文獻[2-5，10]對差動輪系組成的復合結(jié)構(gòu)進行了運動學與靜力學分析。以上文獻主要研究差動輪系傳動比在復合結(jié)構(gòu)中帶來的運動效果以及傳動比變化產(chǎn)生的能量損失，并以此作為結(jié)構(gòu)選型的依據(jù)。在動力學特性分析方面，國內(nèi)外的研究人員分別考慮了輪系嚙合剛度[11-13]、齒側(cè)間隙[11，13]、軸承間隙[14]、齒間滑動摩擦[15]以及變載激勵[16-17]等因素下的振動問題。這些研究的重要關(guān)注點在行星輪系的固有頻率與振動模態(tài)，考察的是輪系在瞬態(tài)下的特性。

差動輪系在變速箱、分動箱和混合動力汽車等應用中，系統(tǒng)多處于不穩(wěn)定狀態(tài)，速度與載荷的變化迅速且復雜。如何快速有效地調(diào)整速度、轉(zhuǎn)矩和功率,使得輪系能跟隨工作情況的變化而正常運行也是設計選型中需要重點考慮的。本文就此問題提出了轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和功率三種特性的靈敏度及貢獻度的概念。靈敏度反映的是輪系不同基本構(gòu)件在運動過程中轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和功率三種特性的調(diào)整速度；貢獻度反映的是不同基本構(gòu)件在運動過程中這三種特性的調(diào)整效果。靈敏度與貢獻度是差動輪系輸入輸出關(guān)系動態(tài)跟隨性能的重要指標。

1 差動輪系運動學分析

圖1所示為差動輪系的簡化模型，圖中X代表差動輪系，具有兩個自由度，a、b、c為輪系結(jié)構(gòu)的三個伸出端，稱為三個基本構(gòu)件。差動輪系通過a、b、c與外部機構(gòu)連接，實現(xiàn)兩個輸入、一個輸出(以下簡稱“兩入一出”)或兩個輸出、一個輸入(以下簡稱“一入兩出”)的靈活應用。

圖1 差動輪系的簡化模型Fig.1 Simplified model of DGT

基于轉(zhuǎn)化機構(gòu)法，三個基本構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)速關(guān)系滿足Willis公式[18]：

(1)

(2)

因而，式(1)可以表示為

(3)

1.1 靈敏度分析

差動輪系的運動具有兩個自由度，每個構(gòu)件的轉(zhuǎn)速皆受另兩個構(gòu)件轉(zhuǎn)速的共同影響。在此，將任一個基本構(gòu)件相對于另兩個基本構(gòu)件轉(zhuǎn)速變化的靈敏性稱為轉(zhuǎn)速靈敏度，它反映了基本構(gòu)件之間的速度跟隨性的優(yōu)劣，是機械傳動的重要動態(tài)指標之一。

(4)

圖2 轉(zhuǎn)速靈敏度與轉(zhuǎn)矩貢獻度Fig.2 Speed sensitivity curves and torque contribution

當差動輪系基本構(gòu)件a、構(gòu)件b調(diào)速時，構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)速變化量滿足

(5)

1.2 貢獻度分析

(6)

(7)

圖3為構(gòu)件a、構(gòu)件b對構(gòu)件c的轉(zhuǎn)速貢獻度隨特性參數(shù)K變化的曲線，圖3a為na/nb<0情況下的曲線，圖3b為na/nb>0情況下的曲線。

(a)na/nb<0

(b)na/nb>0圖3 轉(zhuǎn)速貢獻度與功率貢獻度Fig.3 Speed and power contribution curves

圖3b與圖3a曲線關(guān)于Y=0軸鏡像，兩者規(guī)律亦關(guān)于Y=0軸鏡像。

2 差動輪系的力學分析

差動輪系的轉(zhuǎn)矩關(guān)系滿足下式：

Ta+Tb+Tc=0

(8)

Ta∶Tb∶Tc=1∶(-K)∶(K-1)

(9)

式中，Ti(i=a、b、c)為構(gòu)件i的轉(zhuǎn)矩。

式(8)、式(9)表明,差動輪系基本構(gòu)件轉(zhuǎn)矩和為零且三者之間滿足的比例關(guān)系與特性參數(shù)K相關(guān)。

2.1 轉(zhuǎn)矩靈敏度

若要將連接負載的構(gòu)件c的帶載能力提高到Tc+ΔTc(ΔTc為Tc的增加量)，有兩種調(diào)節(jié)方式，分別是調(diào)節(jié)構(gòu)件a與調(diào)節(jié)構(gòu)件b的輸入轉(zhuǎn)矩。調(diào)節(jié)構(gòu)件a的方式需要將Ta增大到Ta+ΔTa，根據(jù)式(8)、式(9)，調(diào)節(jié)后的轉(zhuǎn)矩關(guān)系滿足下式：

(Ta+ΔTa)∶(Tb+ΔTb)∶(Tc+ΔTc)=
1∶(-K)∶(K-1)

(10)

即

(11)

由式(9)有

(12)

結(jié)合式(12)將式(11)中等式的每部分減去Ta，得到如下關(guān)系：

ΔTa∶ΔTb∶ΔTc=1∶(-K)∶(K-1)

(13)

(14)

同理可得

(15)

該結(jié)果說明對于差動輪系的轉(zhuǎn)矩而言，無論哪種調(diào)節(jié)方式，輪系轉(zhuǎn)矩的變化過程都一致，故而轉(zhuǎn)矩靈敏度在差動輪系中不存在實際意義。此外構(gòu)件之間的等比例增量說明構(gòu)件之間不存在轉(zhuǎn)矩的補償關(guān)系，因此在設計中輸入構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩時應當分別按照各自轉(zhuǎn)矩的最大需求設計，以滿足工作負載要求。

2.2 轉(zhuǎn)矩貢獻度

(16)

對轉(zhuǎn)矩貢獻度的分析表明,差動輪系的三個基本構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩必然有兩個同向而與第三個反向。值得注意的是K=1以及K=0時的轉(zhuǎn)矩貢獻度情況。當某差動輪系的特性參數(shù)受無級調(diào)速控制變?yōu)?時，此時構(gòu)件c的運動不確定且不受載，而構(gòu)件a、構(gòu)件b互為驅(qū)動負載。當K=0時，nc=na，Ta=-Tc，此時構(gòu)件b的運動不確定且不受載，構(gòu)件a、構(gòu)件c互為驅(qū)動負載。

綜上所述，差動輪系某一基本構(gòu)件對另外兩個基本構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩靈敏度和轉(zhuǎn)矩貢獻度并不存在一致性。

3 差動輪系的功率分析

根據(jù)能量守恒定律，差動輪系的各基本構(gòu)件a、構(gòu)件b、構(gòu)件c所傳遞的功率Pa、Pb、Pc滿足如下關(guān)系：

Pa+Pb+Pc=0

(17)

根據(jù)基本構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩關(guān)系可得

(18)

3.1 功率靈敏度

(19)

由計算結(jié)果可知，在任意K的狀況下，構(gòu)件a、構(gòu)件b的功率發(fā)生任何變化，都將在構(gòu)件c上產(chǎn)生負變化，變化的大小與構(gòu)件a、構(gòu)件b初始變化的大小保持一致。

3.2 功率貢獻度

(20)

假定構(gòu)件c連接負載，Pc對應負載功率。當某基本構(gòu)件功率貢獻度的計算結(jié)果為負，即反映到構(gòu)件c上為負功率時，該構(gòu)件表現(xiàn)為與構(gòu)件c同為負載，而功率貢獻度為正的構(gòu)件，則表現(xiàn)為動力源，起驅(qū)動作用。在圖3a中，在K的整個負軸范圍內(nèi)，構(gòu)件a、構(gòu)件b中總有一個構(gòu)件所貢獻的功率反映到構(gòu)件c上為負功率，而另一個構(gòu)件所貢獻的功率反映到構(gòu)件c為正功率,即在該范圍內(nèi)，總有一個構(gòu)件與構(gòu)件c同為負載。在K的整個正軸范圍內(nèi)，構(gòu)件a、構(gòu)件b都為構(gòu)件c貢獻正功率。這說明在該K值范圍內(nèi)，構(gòu)件a、構(gòu)件b同為動力源，兩者貢獻功率的多少隨K值而變。

圖3b與圖3a曲線關(guān)于Y軸鏡像，曲線規(guī)律相反，說明當構(gòu)件a、構(gòu)件b有且只有一個轉(zhuǎn)速反向時，功率貢獻度關(guān)系將變?yōu)樘匦詤?shù)為-K時所對應功率貢獻度關(guān)系。由此可見差動輪系三個基本構(gòu)件功率的“兩入一出”或“一入兩出”不僅與特性參數(shù)K有關(guān)，還與轉(zhuǎn)速匹配關(guān)系有關(guān)。結(jié)合轉(zhuǎn)矩貢獻度還可知功率概念的“兩入一出”(或“一入兩出”)與轉(zhuǎn)矩概念的“兩入一出”(或“一入兩出”)并不一致。

此外，上述研究還說明差動輪系某一基本構(gòu)件對另外兩個基本構(gòu)件的功率靈敏度和功率貢獻度也不存在一致性。

4 實驗驗證

為了驗證上文分析，選擇轉(zhuǎn)速靈敏度作為研究對象，在差動輪系實驗臺上進行了實驗分析。圖4所示為差動輪系實驗臺及其結(jié)構(gòu)簡圖。

(a)實驗臺

(b)實驗臺結(jié)構(gòu)簡圖圖4 差動輪系實驗臺及其結(jié)構(gòu)簡圖Fig.4 Picture and schematic of DGT test rig

實驗臺中，傳動機構(gòu)由差動輪系部分以及定軸輪系部分組成，由兩個電機驅(qū)動，一個磁粉加載器作為負載輸出，實現(xiàn)“兩入一出”功能。在簡圖中，Z3、Z4、Z5、Z8、Z9、Z10、Z11組成差動輪系部分，其余為定軸輪系部分。其相應齒數(shù)分別為z1=29，z2=20，z3=24，z4=30，z5=24，z6=30，z7=60，z8=82，z9=18，z10=36，z11=18，z12=24，z13=24。令差動輪系的太陽輪Z4為基本構(gòu)件a，由電機1調(diào)速，差動輪系的行星架Z8為基本構(gòu)件b由電機2調(diào)速，另一個太陽輪Z10為基本構(gòu)件c，通過齒輪Z13與磁粉加載器相連。

由以上條件可得差動輪系的特性參數(shù):

在該參數(shù)下，理論轉(zhuǎn)速靈敏度分別為

為驗證構(gòu)件c對構(gòu)件a的轉(zhuǎn)速靈敏度，在實驗過程中，保持電機2轉(zhuǎn)速不變，調(diào)整電機1的轉(zhuǎn)速，觀察磁粉加載器的轉(zhuǎn)速狀況。為驗證轉(zhuǎn)速狀態(tài)對轉(zhuǎn)速靈敏度的影響，任意選取電機2的7個不同轉(zhuǎn)速進行實驗，得到圖5a所示的轉(zhuǎn)速關(guān)系，圖中，nD1、nD2、nL分別為電機1、電機2與磁粉加載器的轉(zhuǎn)速。同理，為驗證構(gòu)件c對構(gòu)件b的轉(zhuǎn)速靈敏度，保持nD1不變，調(diào)整nD2，得到圖5b所示的磁粉加載器隨電機2變化的轉(zhuǎn)速關(guān)系。

(a)負載隨電機1轉(zhuǎn)速變化曲線

(b)負載隨電機2轉(zhuǎn)速變化曲線圖5 實驗測量轉(zhuǎn)速關(guān)系圖Fig.5 Experimental measured speed curves

由圖5可知，nL隨nD1(nD2)的變化并不受nD2(nD1)速度狀態(tài)的影響。將nD1、nD2與nL分別換算到輪系的三個基本構(gòu)件上，可求得調(diào)速過程中構(gòu)件c對構(gòu)件a、構(gòu)件b的轉(zhuǎn)速變化速率即轉(zhuǎn)速靈敏度，得到圖6所示的轉(zhuǎn)速靈敏度理論值與實驗值對比圖，以及表1、表2所示各組實驗所得的轉(zhuǎn)速靈敏度與均方根誤差。

(a)構(gòu)件c對構(gòu)件a的轉(zhuǎn)速靈敏度

(b)構(gòu)件c對構(gòu)件b的轉(zhuǎn)速靈敏度圖6 差動輪轉(zhuǎn)速靈敏度理論與實驗值對比圖Fig.6 Comparison graph of DGT’s theory sensitivity value with experimental values

表1 實驗所得與均方根誤差

表2 實驗所得與均方根誤差Tab.2 Experimental and root mean square errors

5 差動輪系的動態(tài)跟隨性能規(guī)律與意義

將差動輪系的轉(zhuǎn)速靈敏度以及轉(zhuǎn)速貢獻度公式中的K用相對傳動比表達，得到構(gòu)件c隨構(gòu)件a、構(gòu)件b的轉(zhuǎn)速靈敏度：

(21)

構(gòu)件a、構(gòu)件b對構(gòu)件c的轉(zhuǎn)速貢獻度：

(22)

同理，對構(gòu)件a、構(gòu)件b的轉(zhuǎn)速靈敏度以及轉(zhuǎn)速貢獻度進行分析并以相對傳動比進行表達。進而，也可以用相對傳動比表達轉(zhuǎn)矩靈敏度、轉(zhuǎn)矩貢獻度、功率靈敏度、功率貢獻度。由此得到表3所示的差動輪系三個基本構(gòu)件之間靈敏度與貢獻度表達式的總結(jié)。觀察表3中參數(shù)，得出以下規(guī)律：

(1)轉(zhuǎn)速靈敏度的下角標與相對傳動比的下角標一致。功率靈敏度的數(shù)值為-1，轉(zhuǎn)矩靈敏度無意義。

(2)轉(zhuǎn)速貢獻度與功率貢獻度表達式一一對應，且表達式具有一致的格式：相對傳動比的下角標都不出現(xiàn)被分析對象，并以a、b、c逆序排列。

(3)轉(zhuǎn)矩貢獻度的下角標與相對傳動比的下角標一致但是順序相反。

行星輪系的相似定理[18]：具有相同特性參數(shù)K的行星輪系，所對應基本構(gòu)件的運動關(guān)系和力學關(guān)系類似。上述結(jié)論與規(guī)律對行星輪系通用。

表3 差動輪系動態(tài)跟隨性能表達式匯總

在差動輪系的設計過程中，研究人員應根據(jù)應用需求參照表格選擇合適的特性參數(shù)以及合理的速度配比。以混合動力汽車為例，若差動輪系分別以發(fā)動機與電機作為動力輸入，那么應當在靜力學分析的基礎(chǔ)上，選擇能使發(fā)動機具有較大轉(zhuǎn)矩貢獻度的特性參數(shù)并結(jié)合轉(zhuǎn)速配比關(guān)系使其同時具有較大的功率貢獻度。其中轉(zhuǎn)速的配比關(guān)系通過綜合考慮轉(zhuǎn)速靈敏度以及轉(zhuǎn)速貢獻度，結(jié)合發(fā)動機以及電機的轉(zhuǎn)速特性合理選擇以及調(diào)節(jié)。綜上所述，當輪系對動態(tài)跟隨性能有要求時，在設計過程中應當在靜力學分析的基礎(chǔ)上綜合考慮這6個性能指標，結(jié)合輪系負載的特性與原動機的機械特性，找出最優(yōu)的參數(shù)解。

6 結(jié)論

(1)深入研究了差動輪系理想模型中各靈敏度與貢獻度受轉(zhuǎn)速與特性參數(shù)K的影響，總結(jié)了各基本構(gòu)件的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、功率狀況下的靈敏度與貢獻度的表達與規(guī)律,并進行了實驗驗證，得出了各性能指標參數(shù)用相對傳動比表達的方程。

(2)對轉(zhuǎn)速靈敏度與貢獻度的分析說明,各構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)速響應與特性參數(shù)有關(guān)，而轉(zhuǎn)速的大小與速度配比以及特性參數(shù)同時關(guān)聯(lián)。構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)速靈敏度與貢獻度不一定一致。功率靈敏度的分析表明，差動輪系各構(gòu)件對功率變化反應速度恒定。對轉(zhuǎn)矩貢獻度與功率貢獻度的研究揭示了輪系在工作狀態(tài)下各基本構(gòu)件所提供的轉(zhuǎn)矩與功率規(guī)律，為載重機械的力矩與功率分配設計提供指導。

(3)本文初次提出差動輪系動態(tài)跟隨性的研究，這是對輪系運動學分析、靜力學分析與動力學分析的補充與完善。在實際應用中，還存在齒輪材料、齒廓形狀、加工精度以及安裝誤差等影響因素，這些因素也是本課題在進一步研究中所需要考慮的。對運動和力的相關(guān)影響因素的全面考慮可以使系統(tǒng)在工況突變時能更加快速精確地得到調(diào)整。

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DynamicTrackingPerformanceAnalysisofDifferentialGearTrains

XU Lin LIU Kai CUI Yahui MENG Peiyuan

School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an,710048

The speed, torque and power of three DGT’s basic components were analysed, and the concepts of sensitivity and contribution were studied. The parameters and rules that affected the sensitivity and the contribution were analyzed, and corresponding expressions were obtained in the end. In order to verify the speed sensitivity calculation method the tests were completed. The research results show that, sensitivity of speed and contribution torque of three basic components are only associated with the characteristic parameters of DGT, contribution expressions of speed and power are determined by the characteristic parameters and speed matching relationship of differential gear systems. Sensitivity and contribution reflect the dynamic tracking performances of DGT，and provide guidances for selection and design of DGT.

differential gear train(DGT); sensitivity; contribution; dynamic tracking performance

TH132.41

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.23.014

2016-11-25

國家自然科學基金資助項目(51175419)

(編輯袁興玲)

徐琳，女，1987年生。西安理工大學機械與精密儀器工程學院博士研究生。主要研究方向為行星齒輪傳動功率流分析。劉凱，男，1957年生。西安理工大學機械與精密儀器工程學院博士研究生導師。崔亞輝，男，1963年生。西安理工大學機械與精密儀器工程學院博士研究生導師。孟培媛，女，1986年生。西安理工大學機械與精密儀器工程學院博士研究生。