薛小平

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 黑龍江 哈爾濱 150001)

關(guān)于2類群體運(yùn)動(dòng)模型的綜述：Cucker-Smale模型與Kuramoto模型

薛小平

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 黑龍江 哈爾濱 150001)

介紹2類重要的群體運(yùn)動(dòng)模型Cucker-Smale(簡(jiǎn)記(C-S))模型與Kuramoto(簡(jiǎn)記(K))模型的研究現(xiàn)狀及發(fā)展動(dòng)態(tài).(C-S)模型是描述動(dòng)物群體能如何成群的數(shù)學(xué)機(jī)制,(K)模型是揭示自然界中廣泛存在的頻率同步現(xiàn)象的形成機(jī)制.2個(gè)模型具有共同的特點(diǎn)，即群體效應(yīng)，但研究的方法和手段卻不相同.重點(diǎn)從數(shù)學(xué)方法上論述研究的成果及其未解決的問(wèn)題，幫助有興趣的讀者能較快地進(jìn)入這一領(lǐng)域.

Cucker-Smale模型； Kuramoto模型； 成群； 鎖相； 頻率同步

鳥(niǎo)群、魚群、羊群等自然界的動(dòng)物成群機(jī)理是什么？從生物學(xué)實(shí)驗(yàn)和觀察可知，它們具有自行組織的群體效果，即使用局部信息和簡(jiǎn)單規(guī)則便可從無(wú)序狀態(tài)過(guò)渡到有序運(yùn)動(dòng).匈牙利著名的生物物理學(xué)家T. Vicsek等在文獻(xiàn)[1]中首次利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法描述了群體運(yùn)動(dòng)的形成機(jī)理.A. Jadbabaie等在文獻(xiàn)[2]中基于一定的假設(shè)條件下從數(shù)學(xué)的角度嚴(yán)格證明了上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)的正確性.在T. Vicsek等的工作后，出現(xiàn)了大量的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究群體行為，這里主要介紹由著名數(shù)學(xué)家T. Cucker和S. Smale于2007年提出的N-體運(yùn)動(dòng)模型[3]及相關(guān)的后續(xù)研究.這類模型在機(jī)器人群體運(yùn)動(dòng)和飛行器編隊(duì)等工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用背景.

17世紀(jì)著名物理學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)同一梁上的鐘擺具有同步振動(dòng)的特性,即振子群體在弱耦合下展現(xiàn)同步效應(yīng).日本物理學(xué)家Y. Kuramoto提出了一個(gè)經(jīng)典的耦合振子模型用于描述惠更斯所觀察到的鐘擺同步現(xiàn)象.盡管模型相對(duì)簡(jiǎn)單，但從大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)可觀察到其豐富的動(dòng)力學(xué)行為.(K)-模型應(yīng)用極其廣泛，它可以描述神經(jīng)細(xì)胞構(gòu)成的神經(jīng)系統(tǒng)的興奮機(jī)制，也可以描述超導(dǎo)系統(tǒng)的物理性態(tài).在工程上，擴(kuò)展的(K)-模型是電力系統(tǒng)的基本方程，對(duì)電網(wǎng)的“暫態(tài)”穩(wěn)定性研究具有重要意義.

1 (C-S)模型及其變種

本章重點(diǎn)介紹連續(xù)(C-S)模型及離散(C-S)模型，主要包括在不同拓?fù)溥B結(jié)情況下如何分析模型展現(xiàn)漸近群體行為.

1.1原始(C-S)模型(對(duì)稱情形) 在d-維歐氏空間中給定N個(gè)粒子，用(xi,vi)表示第i個(gè)粒子的位置和速度，這N個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)服從如下的微分方程(i=1,2,…,N)：

(1)

這里

K是耦合強(qiáng)度，Kgt;0.系統(tǒng)(1)與文獻(xiàn)[3]原始(C-S)模型的參數(shù)形式略有不同，為了后續(xù)方便，均采用統(tǒng)一模式，并不影響模型的性質(zhì).

定義1.1稱系統(tǒng)(1)的解(x,v)具有漸近群體效應(yīng)是指：

1) 相對(duì)速度趨向于0，即

2) 相對(duì)位移聚集，即

(2)

對(duì)于給定的一個(gè)非負(fù)對(duì)稱N×N矩陣A，對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣記為L(zhǎng)=D-A，這里

用(Rd)N表示N個(gè)歐氏空間Rd的乘積，賦予由Rd誘導(dǎo)的內(nèi)積結(jié)構(gòu)，即對(duì)?x=(x1,x2,…,xN),y=(y1,y2,…,yN)∈(Rd)N,

Rd中范數(shù)記為|·|,(Rd)N范數(shù)記為‖·‖,即

這樣(2)式可以寫成如下形式

(3)

這里

x=(x1,x2,…,xN)∈(Rd)N,

v=(v1,v2,…,vN)∈(Rd)N,

Lx表示(2)式中矩陣對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣.

令

Δ={(v,v,…,v)|v∈Rd}?(Rd)N,

Δ⊥表示Δ的垂直補(bǔ)空間.容易看到，對(duì)每個(gè)x∈(Rd)N,都有唯一分解

x=xΔ+x⊥.

定義Q:(Rd)N×(Rd)N→R為

那么Q是Δ⊥×Δ⊥上雙線性、對(duì)稱、正定二次型，因此是Δ⊥上內(nèi)積.

記

注1.11) 定理的證明依賴于Q是Δ⊥的內(nèi)積及其“自有界”方法,這種方法主要是通過(guò)Cucker-Smale建立的一個(gè)引理來(lái)證明位置差有界.這個(gè)基本引理為:

設(shè)c1,c2gt;0,sgt;qgt;0,那么方程

F(z)=zs-c1zq-c2=0

有唯一正根z*.進(jìn)一步，

下面介紹文獻(xiàn)[4]的方法，注意到(2)式第2個(gè)方程右端項(xiàng)具有對(duì)稱性，故

即

因此，分析系統(tǒng)(1)，可以轉(zhuǎn)化為假設(shè)解具有

取(x,v)為滿足(4)式的系統(tǒng)(1)的解，令

‖x‖∞=maxi|xi|, ‖v‖∞=maxi|vi|,

那么有下面的微分不等式成立:

(5)

構(gòu)造Lyapunov泛函

1.2非對(duì)稱連續(xù)(C-S)模型在Cucker-Smale的原始工作之后，文獻(xiàn)[5]中研究了一個(gè)分等級(jí)領(lǐng)導(dǎo)的(C-S)模型.首先引入一些基本概念.

給定一個(gè)非負(fù)矩陣A=(aij)N×N，對(duì)應(yīng)一個(gè)有向圖G=(V,E),這里V={1,2,…,N}是頂點(diǎn)集，E是邊集，E={(i,j)|aijgt;0}.

定義1.2稱非負(fù)矩陣A具有分等級(jí)領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)的，是指

1) 若aijgt;0,那么jlt;i;

2) 記L(i)={j|aijgt;0},當(dāng)igt;1時(shí)，L(i)≠?.

由定義容易看出非負(fù)矩陣A具有分等級(jí)領(lǐng)導(dǎo)?A是下三角矩陣，且對(duì)任何igt;1行，至少存在一個(gè)非對(duì)角正元素aij.aijgt;0意思是粒子j領(lǐng)導(dǎo)粒子i.考察N個(gè)Rd中的粒子(xi,vi),滿足如下方程

(6)

x=(x1,x2,…,xN)∈(Rd)N,

注意L(1)=?，因此v1是自由量.

2) 定理1.2的證明是用數(shù)學(xué)歸納法.事實(shí)上當(dāng)N=2時(shí)，可直接利用定理1.1的結(jié)論.然后，假設(shè)N結(jié)論成立，利用擾動(dòng)方法可以證明N+1時(shí)也成立.

另一個(gè)非對(duì)稱(C-S)模型由S. Motsch和E. Tadmor在文獻(xiàn)[6]中提出，其動(dòng)力學(xué)方程為

(7)

引進(jìn)系統(tǒng)(7)的解(x,v)的直徑

這樣基于文獻(xiàn)[4]中提出的Lyapunov泛函方法有:

定理1.3[6](Motsch-Tadmor) 如果初始值滿足

那么系統(tǒng)(7)對(duì)應(yīng)的解具有群體效應(yīng)，即

系統(tǒng)(7)的解具有群體效應(yīng)是無(wú)條件的.

注1.4系統(tǒng)(7)是非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，與系統(tǒng)(1)有很大不同，注意系統(tǒng)(1)有

因此

對(duì)于系統(tǒng)(7)仍然有

那么A與初始速度(v1(0),v2(0),…,vN(0))之間有什么關(guān)系，是不清楚的.

問(wèn)題1.1對(duì)于系統(tǒng)(7)，每個(gè)粒子都收斂到相同的速度A，那么A與初始速度的依賴關(guān)系是什么？這是一個(gè)未解決的公開(kāi)問(wèn)題，見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

1.3離散(C-S)模型在著名文獻(xiàn)[3]中也研究了如下的離散模型：

(8)

定理1.4[3]對(duì)于系統(tǒng)(8),如果βlt;1/2且當(dāng)h足夠小時(shí),群體效應(yīng)發(fā)生.如果β≥1/2，當(dāng)初始位置和速度滿足一定條件時(shí)，群體效應(yīng)發(fā)生.

注1.5他們給出一個(gè)βgt;1/2的例子，說(shuō)明群體效應(yīng)發(fā)生是有條件的.

下面來(lái)研究系統(tǒng)(8)的變種.首先引入有向圖.記V={0,1,2,…，N}為頂點(diǎn)集，邊集

E={(j,i)?V×V}(i,i):i∈V}，

記圖G=(V,E)，那么G是有向圖.稱(j,i)∈E是指j領(lǐng)導(dǎo)i，L(i)={j:(j,i)∈E}表示i的領(lǐng)導(dǎo)集.文獻(xiàn)[5]中給出了分等級(jí)領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)(見(jiàn)定義1.2)，而N+1個(gè)粒子{0,1,2,…，N}稱為具有分等級(jí)領(lǐng)導(dǎo)的，是指有向圖G滿足:1) 如果j∈L(i)，那么jlt;i；2) 對(duì)?igt;0,L(i)≠?.

給出一個(gè)分等級(jí)的有向圖G，考慮如下模型

(9)

這里

(10)

定義1.3稱圖G具有根領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)，是指頂點(diǎn)0沒(méi)有從其它頂點(diǎn)出發(fā)的路徑連結(jié)，而每個(gè)頂點(diǎn)igt;0，都有頂點(diǎn)0出發(fā)的路徑連結(jié).

可以看出:圖G具有分級(jí)結(jié)構(gòu)，那么G具有根領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu);反之，不成立.在文獻(xiàn)[8]中，證明了如下定理.

上面的定理1.5和1.6都是固定有向圖，在文獻(xiàn)[9]中研究了一個(gè)變化有向圖結(jié)構(gòu)的系統(tǒng).設(shè)對(duì)?t∈N={0,1,2,…},有一個(gè)有向圖Gt=(V,Et)對(duì)應(yīng),考慮如下系統(tǒng)：

(11)

這里

2) 對(duì)于系統(tǒng)(9)和(11),無(wú)條件群體效應(yīng)發(fā)生的參數(shù)β的臨界值βc是多少，仍然是未知的.

問(wèn)題1.2對(duì)于系統(tǒng)(9)和(11),βc是多少？這個(gè)值是與圖的盡度有關(guān)嗎？

注1.7定理1.6和1.7的證明是依賴于一類非負(fù)矩陣，即(sp)矩陣的性質(zhì)，這種矩陣在非負(fù)系統(tǒng)的切換穩(wěn)定性中有很好的應(yīng)用，見(jiàn)文獻(xiàn)[12-13].

1.4關(guān)于(C-S)模型的其他變種文獻(xiàn)[14]中考慮了如下的隨機(jī)模型,對(duì)于t=0,1,2,…

(12)

在Hi(t)假定為均勻分布和正態(tài)分布的情況下，給出了類似于確定模型的結(jié)論.

在文獻(xiàn)[15]中考慮了如下的隨機(jī)模型

(13)

這里

在對(duì)稱和根領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)下證明了系統(tǒng)(13)幾乎依概率1具有群體效應(yīng).

對(duì)于系統(tǒng)(4),當(dāng)N→∞時(shí)，可用一個(gè)粒子的動(dòng)態(tài)密度函數(shù)f=f(x,ξ,t)來(lái)描述，那么系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)化為如下的Vlasov-Mckean方程

(14)

文獻(xiàn)[16]中研究了方程(14)解的存在性、正則性，及其與系統(tǒng)(4)之間的關(guān)系.另外，(C-S)模型與流體耦合形成的動(dòng)力系統(tǒng)也有研究，如文獻(xiàn)[17-18]等.

注1.8(C-S)模型及其變種能反映成群的數(shù)學(xué)機(jī)理，目前，理論上還有很多值得探討的前沿課題.從應(yīng)用角度，如飛行器編隊(duì)、機(jī)器人群體運(yùn)動(dòng)等方面，也有相應(yīng)的工程科學(xué)研究，這里沒(méi)有列出相應(yīng)的文獻(xiàn).

2 Kuramoto模型及其變種

本章討論另一類群體運(yùn)動(dòng)模型，即耦合振子模型，或Kuramoto模型.下面分一階、二階模型分別研究.

2.1一階Kuramoto模型(有限個(gè)振子的情形) 考慮N個(gè)振子，θi表示第i個(gè)振子的轉(zhuǎn)角(相位角)，ωi∈R表示第i個(gè)振子的固有頻率.日本學(xué)者Y. Kuramoto在文獻(xiàn)[19]中提出了這N個(gè)振子耦合的如下模型：

(15)

這里Kgt;0是振子的耦合強(qiáng)度.主要研究方程(15)的以下3個(gè)方面問(wèn)題：

1) 頻率同步解：如果方程(15)的一個(gè)解

θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…，θN(t))

滿足

2) 鎖相解：如果方程(15)的一個(gè)解

θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…，θN(t))

滿足

注意到方程(15)N個(gè)式子相加得

(16)

如果解θ(t)是頻率同步解，那么由(16)式,記

那么

即

于是，可將方程(15)的研究變型成如下方程：

(17)

此時(shí)頻率同步解等價(jià)于

(18)

對(duì)于N個(gè)振子(N大時(shí))，Kc的精確值很難估算.一個(gè)粗略的估計(jì)，可以從(18)式中得到，記

則

文獻(xiàn)[20]中利用凸優(yōu)化方法給出了Kc的一個(gè)較好的估計(jì).

那么，當(dāng)

時(shí)，(18)式有靜態(tài)鎖相解.

關(guān)于Kc的估計(jì)，如文獻(xiàn)[21-23]等.

耦合振子模型可用如下的序參數(shù)表示：

(19)

r=0表示振子空間分布均勻，r=1表示相位同步.由(19)式可以得出另一個(gè)Kc的下界估計(jì).如果θ*表示靜態(tài)鎖相解，那么

由此，K應(yīng)滿足

文獻(xiàn)[24]中給出了Kc一個(gè)精確的計(jì)算公式.

定理2.2[24]N≥2,ω=(ω1,ω2,…，ωN)不完全相同，u*∈[‖ω‖∞,2‖ω‖∞]是如下方程

的唯一解，那么(19)式有靜態(tài)鎖相解的臨界耦合強(qiáng)度

Kuramoto模型(15)的一個(gè)自然推廣是考慮網(wǎng)絡(luò)上的振子模型：

(20)

其中,aij=aji≥0,由矩陣A=(aij)N×N生成的圖是無(wú)向連通的.模型(20)可以寫成如下梯度系統(tǒng)

(21)

這里θ=(θ1,θ2,…，θN)∈RN,

利用一個(gè)著名的Lojasiewicz不等式理論，可以分析(20)式的動(dòng)力學(xué)行為.

定理2.3[25](Lojasiewicz梯度不等式) 設(shè)f:RN→R是實(shí)解析函數(shù)，記臨界點(diǎn)集為

Γ={θ∈RN:▽f(θ)=0},

|f(θ)-f(θ*)|1-r≤c‖▽f(θ)‖,θ∈U(θ*),

通常稱r為f在θ*處的Lojasiewicz指數(shù).

定理2.4[25](Lojasiewicz梯度系統(tǒng)的收斂定理) 設(shè)f:RN→R是實(shí)解析函數(shù)，考慮梯度系統(tǒng)(21),如果θ(t)是系統(tǒng)(21)的一個(gè)有界解，那么存在θ*∈Γ,滿足：

2) 定理2.4的主要應(yīng)用是處理臨界點(diǎn)集Γ是稠密集的情形，此時(shí)通常常微分方程中常用的Lasalle不變?cè)聿荒艿玫浇獾氖諗啃袨?

利用定理2.3和2.4,對(duì)于經(jīng)典的Kuramoto模型(15),有如下定理.

定理2.5[26]對(duì)于系統(tǒng)(15),當(dāng)ωi≡ω(i=1,2,…，N)時(shí)，對(duì)于任何系統(tǒng)(15)的解都是頻率同步解，也是鎖相解.

對(duì)于系統(tǒng)(20),可以計(jì)算在特定區(qū)域梯度系統(tǒng)(21)臨界點(diǎn)的Lojasiewicz指數(shù)，記

對(duì)于Kuramoto模型(20),有如下定理:

注2.21) 由定理2.6可知，如果系統(tǒng)(20)的一個(gè)解θ(t)→θ*(t→∞),θ*∈R(D*),那么收斂率是指數(shù)的.

2) 在文獻(xiàn)[28]中，還計(jì)算了f(θ)在其它區(qū)域中臨界點(diǎn)的指數(shù)，從而用指數(shù)來(lái)判定收斂率.

定理2.7[29]若矩陣A=(aij)N×N生成的無(wú)向圖是連通的，且耦合強(qiáng)度K和初始位置滿足某些約束時(shí)，系統(tǒng)(21)的解是頻率同步解.

關(guān)于系統(tǒng)(20)的拓展是考慮不同的連結(jié)拓?fù)湎碌耐絾?wèn)題，已有許多作者做了相應(yīng)的工作，如文獻(xiàn)[30]中的環(huán)圖連結(jié)、文獻(xiàn)[31]中的完全二分圖連結(jié)等.

問(wèn)題2.1系統(tǒng)(20)的同步解吸引域與拓?fù)渲g的關(guān)系如何？在一定程度上不清楚.

對(duì)于Kuramoto模型研究的文獻(xiàn)很多，包括來(lái)自物理、自動(dòng)化和數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這里僅僅涉及很少一部分，主要是從數(shù)學(xué)的興趣考慮.

2.2連續(xù)Kuramoto模型(振子個(gè)數(shù)為無(wú)限的情形) 考慮系統(tǒng)(19)當(dāng)N→∞的情形.用ρ(θ,ω,t)表示振子在

S1={eiθ:0≤θlt;2π}

上分布的密度函數(shù)，滿足

由質(zhì)量守恒，那么ρ滿足如下的連續(xù)方程

(22)

根據(jù)系統(tǒng)(19),每個(gè)振子的速度v為

v(θ,t,ω)=ω+Krsin(ψ-θ).

(23)

用g(ω)表示固有頻率的密度函數(shù)，那么由系統(tǒng)(19)令N→∞得

將(23)和(24)式代入到(22)式得到連續(xù)型Kuramoto模型為

(25)

對(duì)于0lt;rlt;1,靜態(tài)解滿足如下方程

(26)

下面計(jì)算耦合強(qiáng)度的臨界值.由方程(26)得

令r→0+,解得

對(duì)于上述猜想，文獻(xiàn)[33]得到如下結(jié)論.

定理2.8[33]對(duì)于系統(tǒng)(25),如果頻率分布函數(shù)g:R→[0,+∞)滿足如下條件：方程

Kuramoto模型的另一個(gè)連續(xù)型模型可以按照如下方式導(dǎo)出.

設(shè)N個(gè)振子滿足如下方程

(27)

其中ri是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，利用大數(shù)定理和黎曼積分，令N→∞,得到如下的積分、微分方程

(28)

關(guān)于方程(28)的研究還剛剛起步，目前，在文獻(xiàn)[37]中僅研究了方程(28)靜態(tài)解的存在性問(wèn)題，而穩(wěn)定性和吸引性尚未有任何結(jié)果.

最近，文獻(xiàn)[38-39]研究了隨機(jī)圖意義下的Kuramoto模型的連續(xù)極限模型，通過(guò)隨機(jī)圖的收斂性，建立了離散與連續(xù)之間的關(guān)系，是一個(gè)非常新的研究方向.

2.3二階Kuramoto模型在文獻(xiàn)[40]中，首先考慮了帶有慣量的Kuramoto模型

(29)

其中mgt;0是慣量.

為了研究方程(29)的同步問(wèn)題，他們建立了一個(gè)二階微分不等式的Gronwall不等式.考慮下面的微分不等式：

(30)

其中,agt;0,b、c、d是實(shí)常數(shù).

引理2.1[40](二階Gronwall不等式) 設(shè)y=y(t)是方程(30)的一個(gè)解，那么

1) 當(dāng)b2-4acgt;0時(shí)，成立

2)b2-4ac≤0時(shí)，成立

記

及

當(dāng)ωi≡ω(i=1,2,…，N)時(shí)，得到下面的定理.

定理2.9[40](小慣量定理) 考慮方程(29),若滿足如下條件

那么方程(29)的解θ(t)相位指數(shù)同步、頻率指數(shù)同步，即

Dθ(t)≤Ce-μ1t,Dω(t)≤Ce-μ2t,

其中C,μ1,μ2gt;0為3個(gè)常數(shù).

當(dāng)mK大時(shí)，即大慣量定理，也在文獻(xiàn)[40]中建立了與定理2.9類似的結(jié)論，同時(shí)，也建立了{(lán)ωi}不相同情形的大、小慣量定理.

事實(shí)上，如果取

那么系統(tǒng)(29)也是下面的梯度系統(tǒng)

是否對(duì)于ωi≡ω(i=1,2,…，N)的情形，系統(tǒng)(29)所有的解都是頻率同步解呢？也就是慣量mgt;0對(duì)于頻率同步解不受影響.

猜測(cè)2.1當(dāng)ωi≡ω(i=1,2,…，N)時(shí)，系統(tǒng)(29)的所有解都是頻率同步的，即

從梯度系統(tǒng)的角度來(lái)看，猜測(cè)應(yīng)該是正確的.

文獻(xiàn)[41]中提出如下的電力系統(tǒng)模型

(31)

這里,Migt;0表示第i個(gè)發(fā)電機(jī)的慣量，Digt;0表示第i個(gè)發(fā)電機(jī)的阻尼，φij表示相位偏移，aij表示2個(gè)發(fā)電機(jī)的功率轉(zhuǎn)化，ωi表示自然頻率.

為了研究系統(tǒng)(31),考慮如下的非一致Kuramoto模型

(32)

利用奇異攝動(dòng)理論，有如下結(jié)論：

這里

D=diag(D1,D2,…，DN),

P(θ)=(P1(θ),P2(θ),…，PN(θ)),

i=1,2,…，N.

定理2.10說(shuō)明系統(tǒng)(31)的同步問(wèn)題在一定條件下可用方程(32)來(lái)研究.但無(wú)論如何，對(duì)于電網(wǎng)系統(tǒng)，一般ε的值較大，所以定理僅是一個(gè)特殊情形.文獻(xiàn)[42]中研究了系統(tǒng)(31)當(dāng)φij=0時(shí)靜態(tài)鎖相解的存在條件，特別提出了如下問(wèn)題：對(duì)于系統(tǒng)

(33)

頻率同步解的吸引域如何估計(jì)？

注意到系統(tǒng)(33)是二階梯度系統(tǒng)，在文獻(xiàn)[27]中對(duì)于上述問(wèn)題有如下定理：

定理2.11[27]在慣量與阻尼比相同的情形下，對(duì)于矩陣(aij)N×N在一定條件下，可以估計(jì)系統(tǒng)(33)的頻率同步吸引域，對(duì)于每個(gè)在吸引域內(nèi)的初始值，對(duì)應(yīng)的解都以指數(shù)收斂到靜態(tài)鎖相解.

對(duì)于慣量與阻尼比不相同的情形，系統(tǒng)(33)吸引域問(wèn)題仍然是公開(kāi)的，至今尚未看到任何結(jié)果.

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2010MSC:34D05; 34C15

(編輯 余 毅)

A Survey on Two Types of Multi-agent Models:the Cucker-Smale Model and the Kuramoto Model

XUE Xiaoping

(DepartmentofMathematics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,Heilongjiang)

We introduce the recent research development about two types of multi-agent models: the Cucker-Smale (C-S) model and the Kuramoto (K) model. (C-S) model is a mathematical model used to describe the flocking behavior of animals. K model reveals the mechanism of synchronization phenomenon in natural world. These two models have a common property, which is the group effect. But the methods to study these two models are quite different. We introduce not only the mathematical methods but also some open problems about these two models. We hope this survey can help the interested readers to enter this research area quickly.

Cucker-Smale model; Kuramoto model; flocking; phase locking; frequency synchronization

O175.14

A

1001-8395(2017)06-0711-11

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.001

2017-08-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(11671109)

薛小平(1963—),男,教授,主要從事泛函分析及其應(yīng)用、優(yōu)化與控制、微分包含與動(dòng)力系統(tǒng)的研究,E-mail:xiaopingxue@263.net