張佳，張曉燕*，徐偉華

（重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶，400054）

區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的粗糙隸屬度

張佳，張曉燕*，徐偉華

（重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶，400054）

Pawlak.Z的粗糙集理論與區(qū)間值模糊集相結(jié)合可以得到區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)。本文在已有的區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)概念的基礎(chǔ)上，根據(jù)模糊等價(jià)關(guān)系引入了模糊近似空間。從而給出了相似度，進(jìn)而利用模糊近似空間中任意兩個對象集的相似度，定義了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的粗糙隸屬度并討論研究了粗糙隸屬度的相關(guān)性質(zhì)。最后，實(shí)例驗(yàn)證了這些性質(zhì)的可行性和有效性。

粗糙集；區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)；模糊等價(jià)關(guān)系；粗糙隸屬度

引言

1965年，美國著名控制論專家Zadeh教授提出了模糊集理論[1]。模糊數(shù)學(xué)突破了經(jīng)典數(shù)學(xué)的局限性，用于解決不確定性現(xiàn)象，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍更加廣闊。其中，模糊聚類，決策分析，模糊綜合評判[2]，模式識別等被廣泛地應(yīng)用在醫(yī)學(xué)，農(nóng)業(yè)，科學(xué)，經(jīng)濟(jì)等各個領(lǐng)域。但是，Zadeh的模糊集理論仍有一定的局限性。因此，Dubois D 和Prade H[3]在Zadeh的基礎(chǔ)上推廣了模糊集理論，提出了區(qū)間值模糊集。在處理模糊信息時有效的保護(hù)了信息的完整性。目前，已經(jīng)有許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究，并取得了一定的成果[4-5]。

粗糙集理論[6]最早在 1982年由波蘭科學(xué)家Palwak創(chuàng)立，是一種刻劃不完整性和不確定性的數(shù)學(xué)工具，能有效地分析和處理不精確、不一致、不完整等各種不完備信息。粗糙集理論是經(jīng)典集合論的推廣延伸，近些年將經(jīng)典Palwak的粗糙集推廣為多種形式[7-10]，使得粗糙集理論在多領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展，研究逐漸趨熱。特別地，粗糙集理論的應(yīng)用[11-12]還包括了地震預(yù)報(bào)、數(shù)據(jù)挖掘[13]、模式識別、故障檢測[14]、醫(yī)療診斷[15]、智能信息處理等領(lǐng)域。

粗糙隸屬函數(shù)[16]的概念最初是Pawlak提出的，定義在對象集的等價(jià)類上，函數(shù)值不是和，而是區(qū)間。本文的第二部分介紹了基本的相關(guān)概念，對一些初步概念性質(zhì)做了簡單回顧。在第三部分中，定義了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)中的模糊等價(jià)關(guān)系，并建立了模糊近似空間。根據(jù)模糊等價(jià)關(guān)系又定義了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的粗糙隸屬度。由此，還提出了粗糙隸屬度的一些重要性質(zhì)并給予了證明。在最后，給出了一個例子來證明以上性質(zhì)。

1 基本知識

區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)是以區(qū)間作為屬性值的信息系統(tǒng)，且區(qū)間在 [0,1]之間。

定義1.1[17]設(shè)論域U上的集合A是一個映射：

對于任意x∈U，則稱A為一個模糊集合，A(x)為x對于A的隸屬度。

定義 1.2 設(shè)U是一個非空有限論域，映射A：U→I[0,1]稱為 U上的區(qū)間值模糊集。因此，對任意的其中 AL，AR都是U上的模糊集，分別代表A(x)的左，右兩個端點(diǎn)值。 在區(qū)間值模糊集上定義運(yùn)算：對于任意的x∈U，有

定義 1.3 區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)為一個四元組I=(U,AT,V,f)三元組I=(U,AT,f)為信息系統(tǒng)其中

U={x1,x2,…,xn}是非空有限論域；

AT={a1,a2,…,am}是非空有限屬性集；

f：U×AT→V 是一個信息函數(shù)使對任意的uk∈U在屬性ai∈AT上對應(yīng)一個區(qū)間值即對任意的 xk∈U ai∈AT有其中為[0,1]上的實(shí)數(shù)并且滿足

定義1.4 設(shè)R是U上的一個模糊關(guān)系有

（1）R是自反的如果R(x,x)=1?x∈U

（2）R是對稱的如果滿足?x,y∈U有

（3）R是傳遞的 如果滿足?x,y,z∈U有

則R為 U上的一個模糊等價(jià)關(guān)系二元組(U,R)稱為模糊近似空間。

定義1.5[18]設(shè)(U,R)為模糊近似空間 U是非空有限論域R為 U上的模糊等價(jià)關(guān)系S?U

定理1.1 設(shè)(U,R)是模糊近似空間S,S1,S2?U 則

2 區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的粗糙隸屬度

定義 2.1 設(shè)I=(U,AT,V,f)是一個區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)?at∈ATxi,xj∈U

其中RAT是相似關(guān)系根據(jù)定義1.4我們就可以將區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為在模糊近似空間(U,R)中。則下面兩點(diǎn)成立：

（1）U是一個非空論域U到U的一個模糊二元關(guān)系RAT是U×U上的一個模糊集R：U ×U→[0,1]所以RAT為U上的模糊關(guān)系。

（2）顯然RAT滿足自反性對稱性傳遞性所以RAT是一個模糊等價(jià)關(guān)系。

定義2.2 設(shè)I=(U,AT,V,f)是一個區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)R是I上的模糊等價(jià)關(guān)系S?U ?y∈U則y關(guān)于R在集合S中的粗糙隸屬度為

定理 2.1 設(shè)I=(U,AT,V,f)是一個區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)R是I上的模糊等價(jià)關(guān)系S?U ?y∈U其粗糙隸屬度有以下性質(zhì)：

證明：

（1）根據(jù)定義1.2當(dāng)S=U時可以得到

（2）根據(jù)定義 1.2和定理 1.1的（1）當(dāng)S=?對?xi∈? R(xi,y)=0因此可得到

（3）根據(jù)定義1.5和定義2.2可得

（4）根據(jù)定義1.5定義2.2和性質(zhì)2.1的（2）可得

（5）由（3）和（4）可知結(jié)論成立

（6）根據(jù)定義2.2我們可以得到

定理 2.2 設(shè)I=(U,AT,V,f)是一個區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)R是I上的模糊等價(jià)關(guān)系S?U ?y∈U則

證明：

（1）根據(jù)定理2.1（3）有

（2）根據(jù)定理2.1（4）有

注：

定理 2.3 設(shè)I=(U,AT,V,f)是一個區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)R是I上的模糊等價(jià)關(guān)系?S1,S2?U?y∈U則有

證明：

（1）當(dāng)S1?S2時有

（2）因?yàn)?/p>

脫了衣服，竹韻才發(fā)覺剛才的熱水已經(jīng)給龍斌洗澡用完了，于是，她干脆扭開自來水龍頭用涼水沖起來。水雖然有點(diǎn)涼，但還能適應(yīng)，她邊洗邊想，下個月領(lǐng)了工資，首先得買臺熱水器，免得天天要燒水。

（3）因?yàn)?/p>

（5）由（4）得到

再根據(jù)定理2.1（2）知

因此

定理 2.4 設(shè)I=(U,AT,V,f)是一個區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)R是I上的模糊等價(jià)關(guān)系S?U ?y∈U S={S1,S2,…,ST}是一個集族其中?Si,Sj∈S Si∩Sj=? 則有

（2）如果S={S1,S2,…,ST}是U上的一個劃分則

證明：

（1）由定理2.3的（4）和（5）可得

因?yàn)镾={S1,S2,…,ST}是U上的一個劃分則∪Si=U（i=1,2,…,T）

例2.1 如表1設(shè)I=(U,AT,V,f)是一個區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)其中AT={a1,a2,a3,a4,a5}U={x1,x2,…,x10}R是I上 的模糊等價(jià)關(guān)系(U,R)是I上的模糊近似空間。

設(shè)S={S1,S2}為U的一個劃分其中 S1={x1,x3,x6,x7,x10}S2={x2,x4,x5,x8,x9}

根據(jù)定義2.2我們可以得到xi關(guān)于R在S1,S2中的粗糙隸屬度：

顯然當(dāng){S1,S2}為U 的一個劃分時上面的例子就可以說明對于任意的因此定理2.4成立。

表1 區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)

表2 U 上的模糊等價(jià)關(guān)系

3 結(jié)束語

粗糙集理論的發(fā)展與應(yīng)用領(lǐng)域中將經(jīng)典粗糙集理論推廣到模糊關(guān)系是一個重要的研究方向。本文定義了在區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)中的模糊等價(jià)關(guān)系通過模糊等價(jià)關(guān)系定義了粗糙隸屬度。進(jìn)而又得到了粗糙隸屬度的重要性質(zhì)并通過例子進(jìn)行了證明。目前對于粗糙隸屬度在其他信息系統(tǒng)中的研究還不全面。所以接下來就要在序信息系統(tǒng)中做進(jìn)一步的探討。

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Rough Membership Measure in Interval Valued Fuzzy Information System

ZHANG Jia,ZHANG Xiaoyan*,XU Weihua
(School of Science Chongqing University of Technology,Chongqing,400054,China)

Rough set theory of Pawlak. Z and interval valued fuzzy sets can be combined. On the basis of the existing concepts of interval valued fuzzy information systems the fuzzy approximation space is introduced according to the fuzzy equivalence relation. Moreover the similarity measure is given and the rough membership measure in interval valued fuzzy information system is defined by the similarity measure of any two objects in the fuzzy approximation space. Then the properties of rough membership measure are discussed in the paper.Finally an example is given to illustrate the feasibility and effectiveness of these properties.

Rough set theory; Interval value fuzzy information system; Fuzzy equivalence relation; Rough membership measure

TP18

A

1672-9129(2017)06-0008-04

10.19551/j.cnki.issn1672-9129.2017.06.003

張佳,張曉燕,徐偉華. 區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的粗糙隸屬度[J]. 數(shù)碼設(shè)計(jì),2017,6(6)： 8-11.

Cite：ZHANG Jia,ZHANG Xiaoyan,XU Weihua. Rough Membership Measure in Interval Valued Fuzzy Information System[J]. Peak Data Science,2017,6(6)： 8-11.

2017-03-02。

國家自然科學(xué)基金（NO.61472463，NO.61402064），重慶市自然科學(xué)基金（No.cstc 2015jcyjA40053），重慶市研究生科研創(chuàng)新基金（NO.CYS16217，NO.CYS17281），重慶理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金（NO.YCX2015227，No.YCX2016227）資助。

張佳（1992-）女，山西陽泉，碩士研究生，研究方向：人工智能與粒計(jì)算；張曉燕（1979-）女，山西懷仁，博士副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：不確定性推理；徐偉華(1979-），男，博士，教授，主要研究方向：粗糙集、不確定性推理與粒計(jì)算。

E-mail：zxy19790915@163.com