云南 楊相元

由一個(gè)考題得到的球內(nèi)接幾何體的公式化計(jì)算

云南 楊相元

球內(nèi)接幾何體的相關(guān)計(jì)算是考查學(xué)生空間想象能力、作圖能力和計(jì)算能力的有效載體，是最近幾年全國高考卷的核心考點(diǎn)，其基本解法是通過補(bǔ)形，連接“心心距”構(gòu)造直角三角形和建系等，本文通過一個(gè)模考題的深入分析得出解決此類問題的公式化計(jì)算解決方案.

( )

A．3π B．5π

C．9π D．12π

【解析】如圖，在三棱錐A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，

設(shè)高A1A=h，△ABC為邊長(zhǎng)a的正三角形，

過球心O作OK⊥A1A于點(diǎn)K，

于是在Rt△OKA1中，

所以在Rt△OO1A中，

探究：將題中的三棱錐改為“三棱柱A1B1C1-ABC中,A1A⊥底面ABC，底面ABC是正三角形”.

如圖，設(shè)AA1=h，△ABC的邊長(zhǎng)為a，由重心定理易知

類似，若將題中的錐體進(jìn)一步更改，通過補(bǔ)形、構(gòu)造直角三角形等手段(讀者可自行完成)可得如下結(jié)論：

【解析】由公式②得

【解析】由公式③得

所以S=4π×42=64π.

【變式3】在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，且三棱柱ABC-A1B1C1的體積為3，則三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面積為________.

所以S=4π×22=16π.

【變式4】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為

( )

【變式5】(2013·遼寧卷理·10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3，AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為

( )

【解析】由公式⑥得

云南省下關(guān)第一中學(xué))